第1章 平面向量及其应用 本章复习提升（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

本章复习提升 易混易错练 易错点1　对平面向量基本概念的理解错误致错 1.下列命题正确的是(　　) A.若a∥b,b∥c,则a∥c B.若向量,满足||>||,且与同向,则> C.=的充要条件是A与C重合,B与D重合 D.方向相反的两个非零向量一定共线 2.(多选题)设a,b,c是任意的非零向量,且它们相互不共线,则下列结论正确的是(　　) A.|a|-|b|<|a-b| B.(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直 C.|a·b|=|a||b| D.若a·b=0,则a⊥b 易错点2　解决向量夹角问题时忽略向量共线的情况致错 3.(多选题)(2024江苏镇江期中)下列选项中正确的是(　　) A.已知向量a=(2,),b=(sin θ,cos θ),若a∥b,则tan θ= B.已知向量a=(1,3),b=(m,-2),若a,b的夹角为钝角,则m<6 C.已知非零向量a,b,若|a+b|=|a|+|b|,则a与b同向共线 D.若+3+4=0,则△AOC和△ABC的面积之比为3∶8 4.已知三个非零平面向量a,b,c两两夹角相等,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则|2a-b+3c|=　　　　.  易错点3　忽略三角形边角关系的隐含条件致错 5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,三边a,b,c互不相等,且a为最长边,若a2<b2+c2,则A的取值范围是　　　　.  6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,且4S=a2+b2-c2. (1)求角C; (2)若a=1,c=,求角B. 易错点4　忽略三角形解的个数致错 7.已知△ABC中,∠B=30°,AB=2,AC=2,求△ABC的面积. 8.(2024北京朝阳陈经纶中学期中)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=,b=3,sin B+sin A=2,求△ABC的面积. 思想方法练 一、函数与方程思想在向量的运算及解三角形中的应用 1.(多选题)已知△ABC是边长为2a的等边三角形,P为△ABC所在平面内任意一点,则·(+)的值可能是(　　) A.-2a2　　B.-a2　　C.-a2　　D.-a2 2.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,若a=3,c=7,C=60°,则b=　　　　.  3.已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=5,点O为△ABC外接圆的圆心,若·=12,求当角C取得最大值时△ABC的面积. 二、数形结合思想在向量的运算及解三角形中的应用 4.(2024河南周口鹿邑第二高级中学月考)已知平面向量a,b,c满足|a|=|a-b|=2,|a-c|=1,则b·c的最大值为　　　　.  5.海上某货轮在A处看灯塔B,灯塔B在货轮的北偏东75°方向,距离为12海里处;在A处看灯塔C,灯塔C在货轮的北偏西30°方向,距离为8海里处;货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B的方位角为120°.求: (1)A处与D处之间的距离; (2)灯塔C与D处之间的距离. 三、转化与化归思想在向量的运算及解三角形中的应用 6.(2025甘肃张掖民乐第一中学月考)已知正三角形ABC的边长为2,E为△ABC所在平面内的一点,点E满足=(-),则·=(　　) A.0　　B.1　　C.2　　D.4 7.如图所示,在△ABC中,已知点D在边BC上,且∠DAC=90°,cos∠DAB=,AB=6. (1)若sin C=,求线段BC的长; (2)若E是BC的中点,AE=,求线段AC的长. 答案与分层梯度式解析 本章复习提升 易混易错练 1.D 2.AD 3.ACD 1.D　对于A,零向量和任意向量平行,只有非零向量的平行性才具有传递性(易错点),故A错误. 对于B,向量不能比较大小,故B错误. 对于C,A与C,B与D不一定重合,故C错误. 对于D,由相反向量的概念可知D正确. 2.AD　对于A,a,b不共线,由向量的减法法则和三角形两边之差小于第三边,可得A正确; 对于B,[(b·c)·a-(c·a)·b]·c=(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0,故B错误; 对于C,设a与b的夹角为θ,则|a·b|=||a||b|cos θ|,则|a·b|与|a||b|不一定相等,故C错误; 显然D正确. 易错警示 　　要准确把握向量概念的本质,注意与平面几何相关概念的区别与联系,不要把实数的运算律随意迁移到向量运算中来. 3.ACD　对于A,若a∥b,则sin θ=2cos θ, 可得tan θ=,故A正确; 对于B,若a,b的夹角为钝角,则解得m<6且m≠-,故B错误; 对于C,若|a+b|=|a|+|b|,且a,b为非零向量,则由向量加法的三角形法则可知a,b同向,即a与b同向共线,故C正确; 对于D,若+3+4=0,则(+)+3(+)=0,可得2+6=0(D,E分别为AC,BC的中点),即=-3,故点O在线段DE上,且OD=DE, 则S△ABC=2S△ACE=2×S△AOC=S△AOC,即=, 所以△AOC和△ABC的面积之比为3∶8,故D正确. 选项速解 　　对于D,由+3+4=0及奔驰定理得S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=1∶3∶4,所以S△AOC∶S△ABC=3∶8. 易错警示 　　若向量a与b的夹角为锐角,则a·b>0,但a·b>0时,a与b的夹角为锐角或零角.同理,若向量a与b的夹角为钝角,则a·b<0,但a·b<0时,a与b的夹角为钝角或平角.已知两向量夹角为锐角(或钝角)求参数时,要排除向量共线的情况. 4.答案　或9 解析　因为三个非零平面向量a,b,c两两夹角相等, 所以<a,b>=<b,c>=<a,c>=120°或0°(易错点). 当<a,b>=<b,c>=<a,c>=120°时, |2a-b+3c|= = ==. 当<a,b>=<b,c>=<a,c>=0°,即a,b,c共线且方向相同时,|2a-b+3c|=9.故|2a-b+3c|=或9. 5.答案　{A|60°<A<90°} 解析　∵a2<b2+c2,∴b2+c2-a2>0, 则cos A=>0,∴A<90°, 又∵a为最长边,∴A>60°. 故A的取值范围是{A|60°<A<90°}. 6.解析　(1)∵S=absin C,∴4×absin C=a2+b2-c2,即sin C==cos C, 又0°<C<180°,∴C=45°. (2)由正弦定理,得sin A=sin C=×=. ∵a<c,∴A<C,∴A=30°, ∵A+B+C=180°,∴B=105°. 易错警示 　　在解三角形的有关问题时易忽略“大边对大角”这一隐含条件. 7.解析　由正弦定理,得sin C===,∵AB>AC, ∴∠C=60°或∠C=120°. 当∠C=60°时,∠A=90°,S△ABC=AB·AC=2; 当∠C=120°时,∠A=30°,S△ABC=AB·ACsin A=. 故△ABC的面积为2或. 8.解析　由=,得=,即sin B=3sin A, 又∵sin B+sin A=2, ∴3sin A+sin A=2, 则sin A=. 由△ABC为锐角三角形得A∈,∴A=. 由a2=b2+c2-2bccos A,得7=9+c2-3c,解得c=1或c=2. 当c=1时,由余弦定理得cos B===-<0,则角B为钝角,不符合题设条件,舍去; 当c=2时,c<a<b,则角B为最大内角,由余弦定理得cos B===>0,符合题设条件. 故c=2,∴S△ABC=bcsin A=. 易错警示 　　在已知两边及一角的条件下解三角形时会出现无解、一解、两解的情况,最终解的情况要根据已知条件和三角形的性质进行判断. 思想方法练 1.BCD　建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算求最值,体现了函数与方程思想. 建立如图所示的平面直角坐标系,设P(x,y), 则A(0,a),B(-a,0),C(a,0), ∴=(-x,a-y),=(-a-x,-y),=(a-x,-y), ∴·(+) =(-x,a-y)·[(-a-x,-y)+(a-x,-y)] =(-x,a-y)·(-2x,-2y) =2x2+2y2-2ay =2x2+2-a2≥-a2. 结合选项知B,C,D正确. 2.答案　8 解析　根据余弦定理,得到关于b的方程,体现了方程思想. 由余弦定理,得72=32+b2-2×3b×cos 60°, 即b2-3b-40=0, 解得b=8或b=-5(舍去). 3.解析　设AC的中点为D,因为点O为△ABC外接圆的圆心,所以OA=OB=OC,连接OD,则OD⊥AC,所以·=(+)·=·=(+)·(-)=-=12, 即a2-c2=12,即a2-c2=24. 因为c=5,所以a2=49,所以a=7. 由数量积的运算,得到关于a的方程,求得a的值,体现了方程思想. 由c<a,知角C为锐角,故cos C===≥=,当且仅当b=,即b=2时等号成立, 此时cos C取得最小值,角C取得最大值, 则sin C==, 此时S△ABC=absin C=×7×2×=5. 思想方法 　　函数与方程思想在本章中的体现:(1)利用平面向量基本定理建立向量间的关系;(2)利用向量相等建立系数或坐标之间的相等关系;(3)利用正、余弦定理建立边角之间的相等关系. 利用以上关系构成方程或函数,在求值、求范围、求最值等问题中得以应用. 4.答案　12 解析　根据向量的几何表示和向量的减法作出图形,再由几何图形特征求解,可以化难为易. 如图,设=a,=b,=c,则=a-b,=a-c,由|a|=|a-b|=2,|a-c|=1,得点B在以A为圆心,2为半径的圆上,点C在以A为圆心,1为半径的圆上, b·c=||||cos<,>,由图可知,当A,B,C三点共线(B,C的位置如图中的B',C')时,||取得最大值4,||取得最大值3,cos<,>取最大值1,所以b·c的最大值为12. 5.解析　由题意,画出示意图,如图所示. (1)在△ABD中,由已知得∠ADB=60°,则∠B=45°. 由正弦定理,得AD==24海里,即A处与D处之间的距离为24海里. (2)在△ADC中,由余弦定理,得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos 30°=242+(8)2-2×24×8×=192,∴CD=8海里,即灯塔C与D处之间的距离为8海里. 思想方法 　　数形结合思想在本章中的体现:向量是沟通几何与代数的桥梁,是实现几何问题与代数问题相互转化的强有力的工具,在有关向量的问题中常用数形结合. (1)三角形问题就是代数问题与几何问题的结合体,因此在解三角形的问题中常用数形结合; (2)在有关测量的实际问题中要画出图形,利用数形结合解决问题. 6.C　因为=(-), 所以=+=-+(-)=(-3), 视{,}为平面的一组基,将向量都用基向量表示,从而进行运算,体现了转化思想. 所以·=·=(-)·(-3) =(+3-4·) =×22+3×22-4×2×2×=2. 7.解析　(1)由条件可得sin∠BAC=sin(90°+∠DAB)=cos∠DAB=. 在△ABC中,由正弦定理,得=, 即=,得BC=4. (2)由(1)知sin∠BAC=, 因为∠BAC为钝角,所以cos∠BAC=-. 由题意得+=2,所以(+)2=||2+||2+2||·||cos∠BAC=4||2, 所以36+||2+2×6×||×=68, 整理,得||2-4||-32=0, 解得||=8(负值舍去),所以线段AC的长为8. 思想方法 　　转化与化归思想在本章中的体现:(1)把几何问题转化为代数问题或把代数问题转化为几何问题;(2)利用正、余弦定理对三角形的边角关系进行转化;(3)利用正、余弦定理把三角形边角的问题转化为三角函数问题. 7 学科网（北京）股份有限公司 $