5.4 随机事件的独立性（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

5.4　随机事件的独立性 基础过关练 题组一　相互独立事件的判断 1.(2025江苏南京天印高级中学月考)若P(AB)=,P()=,P(B)=,则事件A与B的关系是(　　) A.互斥但不对立　　B.对立 C.相互独立　　D.既互斥又独立 2.一个口袋中装有3个白球和3个黑球,下列事件中,是独立事件的为(　　) A.第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球 B.摸出后放回,第一次摸出的是白球,第二次摸出的是黑球 C.摸出后不放回,第一次摸出的是白球,第二次摸出的是黑球 D.一次摸两个球,共摸两次,第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球 题组二　相互独立事件的概率计算 3.(2024江苏普通高中学业水平合格性考试)一个口袋内装有大小相同的红、蓝球各一个,若有放回地摸出一个球并记下颜色为一次试验,试验共进行三次,则至少摸到一次红球的概率是　(　　) A.　　B.　　C.　　D. 4.(2025安徽阜阳临泉田家炳实验中学月考)甲、乙两人进行围棋决赛,现在的情形是甲只要再赢一局就能获得冠军,乙需要再赢两局才能获得冠军,若甲每局赢的概率为,且没有平局,则甲获得冠军的概率为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 5.(多选题)(2024辽宁丹东期末)已知事件A,B是相互独立事件,且P(B)=,P(AB)=,则(　　) A.P(A)=　　B.P(B)= C.P(A)=　　D.P()= 6.(2025江西九江期末)如图,某电子元件由a,b,c三种部件组成,现将该电子元件应用到某研发设备中,经过反复测试,a,b,c三种部件不能正常工作的概率分别为,,,各个部件能否正常工作相互独立,a,b同时正常工作或c正常工作时,该电子元件能正常工作,那么该电子元件能正常工作的概率是　　　　.  7.在某校运动会中,甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场),共赛三场,每场比赛胜者得3分,负者得0分,没有平局.在每一场比赛中,甲胜乙的概率为,甲胜丙的概率为,乙胜丙的概率为,各场比赛结果相互独立. (1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率; (2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率. 能力提升练 题组　相互独立事件的概率计算 1.(多选题)(2025重庆第一中学校月考)射击场,甲、乙两人独立射击同一个靶子,击中靶子的概率分别为,.记事件A为“两人都击中”,事件B为“至少有1人击中”,事件C为“无人击中”,则下列说法正确的是(　　) A.事件A与C是互斥事件　　 B.事件B与C是对立事件 C.事件A与B相互独立　　 D.P(A∪B)= 2.(2025江西新九校协作体期中)已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题,甲团队独立攻克该难题的概率为,甲、乙两团队中恰有一个团队攻克该难题的概率为,则该难题被攻克的概率为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 3.(2023浙江金华东阳外国语学校、东阳中学月考)某校高三年级在迎新春趣味运动会上设置了一个三分线外定点投篮比赛项目,规则如下:每人投球5次,投中一次得1分,没投中得0分,且连续投中2次额外加1分,连续投中3次额外加2分,连续投中4次额外加3分,全部投中额外加5分.某同学投篮命中的概率为,则该同学投篮比赛得3分的概率为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 4.设甲、乙、丙三台机器是否需要被维护相互之间没有影响,已知在某一小时内,甲、乙都需要被维护的概率为0.05,甲、丙都需要被维护的概率为0.1,乙、丙都需要被维护的概率为0.125,则甲、乙、丙三台机器在这一小时内需要被维护的概率分别为　　　　,　　　　,　　　　.  5.(2023北京平谷期末)某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案. 方案一:考三门课程,至少有两门及格为考试通过. 方案二:在三门课程中随机选取两门,这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者三门指定课程考试及格的概率分别为0.5,0.6,0.9,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.求: (1)该应聘者用方案一考试通过的概率; (2)该应聘者用方案二考试通过的概率. 答案与分层梯度式解析 5.4　随机事件的独立性 基础过关练 1.C 2.B 3.B 4.D 5.ACD 1.C　∵P()=,∴P(A)=1-P()=1-=, ∴P(AB)=P(A)P(B)=≠0, ∴事件A与B相互独立且事件A与B既不互斥也不对立. 2.B　对于A,第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球,是互斥事件,不是独立事件; 对于B,摸出后放回,第一次摸出的是白球,第二次摸出的是黑球,两者不受影响,是独立事件; 对于C,摸出后不放回,第一次摸出的是白球,第二次摸出的是黑球,第二次受第一次的影响,不是独立事件; 对于D,一次摸两个球,共摸两次,第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球,是互斥事件,不是独立事件. 3.B　由题设,可得每次摸到红、蓝球的概率均为,则三次都摸到蓝球的概率为=, 所以至少摸到一次红球的概率是1-=. 4.D　甲获得冠军有两种情况: ①甲在接下来的第一局赢了,概率是; ②甲在接下来的第一局输了,第二局赢了,概率是×=, 则甲获得冠军的概率为+=. 5.ACD　由题意得 解得P(A)=,P(B)=,A正确,B错误; P(A)=P(A)[1-P(B)]=×=,C正确; P()=[1-P(A)][1-P(B)]=×=,D正确. 6.答案　 解析　设事件A=“a部件能正常工作”,B=“b部件能正常工作”,C=“c部件能正常工作”,则P()=,P()=,P()=. 设a,b串联能正常工作为事件M,则M=AB, 则P(M)=P(A)P(B)=×=. 设电子元件能正常工作为事件E,则=, 则P()=P()P()=×=,则1-P(E)=,所以P(E)=,故该电子元件能正常工作的概率是. 7.解析　(1)甲队获第一名且丙队获第二名就是甲胜乙,甲胜丙且丙胜乙,设为事件A,则P(A)=××=. (2)甲队至少得3分有两种情况:甲队两场只胜一场;甲队两场都胜.设事件B为“甲队两场只胜一场”,事件C为“甲队两场都胜”,则事件“甲队至少得3分”为B∪C,易知事件B,C互斥,所以P(B ∪C)=P(B)+P(C)=×+×+×=. 能力提升练 1.ABD 2.B 3.C 1.ABD　依题意得P(A)=×=,P(B)=1-P()=1-×=. 对于A,事件A表示甲、乙都击中,事件C表示甲、乙都未击中,所以A,C不可能同时发生,故A正确; 对于B,事件B表示甲击中乙未击中或甲未击中乙击中或甲、乙都击中,其对立事件为甲、乙都未击中,即为事件C,故B正确; 对于C,因为A∩B=A,所以P(AB)=P(A)=,而P(A)·P(B)=×=,则P(AB)≠P(A)P(B),故事件A与B不相互独立,故C错误; 对于D,因为A∪B=B,所以P(A∪B)=P(B)=,故D正确. 2.B　设A表示“甲团队独立攻克该难题”,B表示“乙团队独立攻克该难题”,则P(A)=,设P(B)=p, 由题意可得P(A+B)=, 即P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=, 即(1-p)+p=,解得p=,则P(B)=, 所以该难题被攻克的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-×=. 3.C　该同学投篮比赛得3分的情况有: ①第一、三、五次分别投中,第二、四次都没有投中, 此时概率P1=××××=; ②第一、二次连续两次投中,其他三次都没有投中, 此时概率P2=×=; ③第二、三次连续两次投中,其他三次都没有投中, 此时概率P3=×=; ④第三、四次连续两次投中,其他三次都没有投中, 此时概率P4=×=; ⑤第四、五次连续两次投中,其他三次都没有投中, 此时概率P5=×=. 故该同学投篮比赛得3分的概率P=P1+P2+P3+P4+P5=++++=. 4.答案　0.2;0.25;0.5 解析　记“机器甲需要被维护”为事件A,“机器乙需要被维护”为事件B,“机器丙需要被维护”为事件C,由题意可知A,B,C是相互独立事件. 由题意得 解得 所以甲、乙、丙三台机器在这一小时内需要被维护的概率分别为0.2,0.25,0.5. 5.解析　记该应聘者三门指定课程考试及格的事件分别为A,B,C,则P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(C)=0.9. (1)应聘者用方案一考试通过的概率P1=P(AB)+P(BC)+P(AC)+P(ABC)=0.5×0.6×(1-0.9)+(1-0.5)×0.6×0.9+0.5×(1-0.6)×0.9+0.5×0.6×0.9=0.75. (2)应聘者用方案二考试通过的概率P2=P(AB)+P(BC)+P(AC)=×0.5×0.6+×0.6×0.9+×0.5×0.9=0.43. 7 学科网（北京）股份有限公司 $