1.4.2 向量线性运算的坐标表示（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

1.4.2　向量线性运算的坐标表示 基础过关练 题组一　平面向量线性运算的坐标表示 1.(2025山东名校联盟校际联考)已知向量=(-2,1),=(3,4),则=(　　) A.(1,5)　　B.(-1,-5)　　 C.(-5,-3)　　D.(5,3) 2.(2025陕西西安月考)已知a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y),若a-2b+3c=0,则c=(　　) A.　　B. C.　　D. 3.(2025江西抚州临川第一中学月考)已知a=(2,1),b=(-3,4),若表示向量3a+4b,-3b,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c=(　　) A.(-15,31)　　B.(15,-31)　　 C.(3,7)　　D.(-3,-7) 4.(多选题)(2025安徽庐巢联盟联考)已知O为坐标原点,向量=(2,3),=(6,-3),P是线段AB的三等分点,则P的坐标可能为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 5.(2025江苏徐州铜山月考)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB=4,E为AD的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=(　　) A.　　B.　　C.2　　D. 6.(2024江苏盐城五校联盟学情调研)已知向量a=(x+3,x2-3x-4)与相等,其中A(1,2),B(3,2),则x=　　　　.  7.已知A,B,C三点的坐标分别是(-2,1),(2,-1),(0,1),且=3,=2,求点P,Q和向量的坐标. 题组二　平面向量平行的坐标表示 8.(2025甘肃嘉峪关第一中学月考)若a=(6,6),b=(5,7),c=(2,4),则下列结论成立的是(　　) A.a-c与b共线　　B.b+c与a共线 C.a与b-c共线　　D.a+b与c共线 9.(2025四川成都树德中学月考)已知向量m=(λ,1),n=(-3,2-λ),若m与n共线且反向,则实数λ的值为(　　) A.3　　B.1　　C.-1　　D.-1或3 10.已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时是同向还是反向? 能力提升练 题组一　平面向量线性运算的坐标表示及其应用 1.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AD=AB=4,CD=1,动点P在边BC上(不包含端点),且满足=m+n(m,n均为正数),则+的最小值为(　　) A.1　　B.　　C.-　　D. 2.(2023浙江杭州九中期中)已知平行四边形ABCD中,=2,=2,=2. (1)用,表示; (2)若||=6,||=3,∠BAD=45°,建立如图所示的平面直角坐标系,求和的坐标. 题组二　平面向量平行的坐标表示及其应用 3.(2025甘肃弘毅绿地实验学校月考)向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),若A,B,C三点共线,则k的值为(　　) A.-2　　B.11 C.-2或11　　D.2或11 4.(2025甘肃兰州第一中学月考)已知点A(3,-4)与B(-1,2),点P在直线AB上,且||=2||,则点P的坐标为(　　) A.(-5,8)　　B.　　 C.(7,-10)　　D.或(-5,8) 5.若a=(2cos α,1),b=(sin α-,-1),且a∥b,则tan α=　　　　.  6.(2025甘肃兰州西北中学月考)已知向量a=(m,4-m2),b=(2cos θ,λ+3sin θ),并且a=b,则实数λ的取值范围为　　　　.  7.(2025河北邯郸联考)已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,=2e1+e2,=-e1+λe2,=-2e1+e2,且A,E,C三点共线. (1)求实数λ的值; (2)若e1=(2,1),e2=(2,-2),求的坐标; (3)设有点D(3,5),在(2)的条件下,若四边形ABCD为平行四边形,求点A的坐标. 答案与分层梯度式解析 1.4.2　向量线性运算的坐标表示 基础过关练 1.D 2.D 3.D 4.AC 5.B 8.C 9.A 1.D　=-=(5,3). 2.D　a-2b+3c=(5,-2)-2(-4,-3)+3(x,y)=(13+3x,4+3y)=0, 所以解得即c=-,-. 3.D　由题意得3a+4b=(-6,19),-3b=(9,-12), 因为表示向量3a+4b,-3b,c的有向线段首尾相接能构成三角形, 所以3a+4b-3b+c=0,则c=(-3,-7). 4.AC　因为=(2,3),=(6,-3), 所以=-=(4,-6). 因为P是线段AB的三等分点, 所以=或=. 当=时,=,所以=+=,则点P的坐标为; 当=时,=,所以=+=,则点P的坐标为. 综上,点P的坐标为或. 易错警示 　　若P是线段AB的三等分点,则P有两种可能:一种是靠近A的三等分点,一种是靠近B的三等分点. 5.B　解法一:建立平面直角坐标系,转化为坐标运算. 如图,以D为原点,DC所在直线为x轴,DA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系, 则D(0,0),C(4,0),A(0,4),B(2,4),E(0,2), 所以=(-4,4),=(-4,2),=(2,4). 因为=λ+μ(λ,μ∈R), 所以(-4,4)=λ(-4,2)+μ(2,4), 则解得λ=,μ=, 所以λ+μ=. 解法二:利用平面向量基本定理求解. 依题意得=-①,=-②,=+③, 由②③得=+,=-, 将这两个式子代入①,得=+. 所以λ=,μ=, 所以λ+μ=. 6.答案　-1 解析　因为A(1,2),B(3,2),所以=(2,0), 又=a=(x+3,x2-3x-4), 所以解得x=-1. 解题模板 　　坐标形式下向量相等,可以通过对应坐标相等建立等量关系,由此可求出参数的值或点的坐标. 7.解析　易得=(-2,0),=(2,-2), ∴=3=(-6,0),=2=(4,-4). 设P(x,y),则=(x,y-1), ∴解得y=1, ∴P(-6,1). 同理可得Q(4,-3),∴=(10,-4). 8.C　∵b=(5,7),c=(2,4),∴b-c=(3,3),∴b-c=a,∴a与b-c共线,故C正确. 同理可得A,B,D错误. 9.A　由m与n共线可得λ(2-λ)=-3,故λ2-2λ-3=0,解得λ=-1或λ=3, 因为m与n方向相反,所以<0,所以λ>0,故λ=3. 10.解析　解法一:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4), 若ka+b与a-3b平行,则存在λ∈R,使得ka+b=λ(a-3b), 即(k-3,2k+2)=λ(10,-4)=(10λ,-4λ), 所以解得 所以ka+b=-(a-3b), 所以当k=-时,ka+b与a-3b平行,且ka+b与a-3b反向. 解法二:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2), a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4), 若ka+b与a-3b平行,则-4(k-3)=10(2k+2), 解得k=-,此时ka+b=-(a-3b), 所以当k=-时,ka+b与a-3b平行,且ka+b与a-3b反向. 能力提升练 1.D 3.C 4.D 1.D　如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系, 则A(0,0),B(4,0),D(0,4),C(1,4), 则=(4,0),=(0,4),=(-3,4). 设=λ=(-3λ,4λ)(λ∈(0,1)), 则=+=(4-3λ,4λ). 又因为=m+n=(4m,4n), 所以 消去λ,得m+n=1, 因为m>0,n>0, 所以+==1+++≥+2=, 当且仅当m=n时等号成立. 故+的最小值为. 2.解析　(1)连接AE,AF, 易得=+,=+, 因为=2, 所以-=2(-), 所以=+=+. (2)过点D作AB的垂线交AB于点D',如图所示: 在Rt△ADD'中,∠D'AD=45°,||=3, 所以AD'=DD'=3, 易得A(0,0),B(6,0),C(9,3),D(3,3),E(5,3),F(7,1),所以=(4,-2),=(6,0),=(3,3), 所以=+=, 所以=-=. 故的坐标为,的坐标为(4,-2). 3.C　=-=(4-k,-7),=-=(6,k-5), 由题意知∥,故(4-k)(k-5)-(-7)×6=0, 解得k=11或k=-2. 4.D　令P(x,y),则=(x-3,y+4),=(-1-x,2-y), 由点P在直线AB上,||=2||,得=±2. 当=2时,(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y), 则解得则P. 当=-2时,(x-3,y+4)=-2(-1-x,2-y), 则解得则P(-5,8). 故点P的坐标为或(-5,8). 5.答案　 解析　因为a∥b,所以2cos α×(-1)-1×(sin α-)=0,即2cos α+sin α=, 两边同时平方,得4cos2α+4cos αsin α+sin2α=5, 所以==5, 整理得4tan2α-4tan α+1=0,即(2tan α-1)2=0, 所以tan α=. 6.答案　 解析　∵向量a=(m,4-m2),b=(2cos θ,λ+3sin θ),并且a=b, ∴m=2cos θ,4-m2=λ+3sin θ, ∴4-(2cos θ)2=λ+3sin θ, ∴λ=4sin2θ-3sin θ=-, ∵-1≤sin θ≤1, ∴当sin θ=时,λmin=-;当sin θ=-1时,λmax=7, ∴实数λ的取值范围为. 7.解析　(1)由题意可得=+=(2e1+e2)+(-e1+λe2)=e1+(1+λ)e2, ∵A,E,C三点共线,∴存在实数k,使得=k, 即e1+(1+λ)e2=k(-2e1+e2)=-2ke1+ke2, ∵e1,e2是平面内两个不共线的向量, ∴解得 (2)由(1)得=-e1-e2,则=+=-3e1-e2=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2). (3)∵四边形ABCD为平行四边形,∴=. 设A(x,y),则=(3-x,5-y), 又=(-7,-2),∴解得 ∴点A的坐标为(10,7). 7 学科网（北京）股份有限公司 $