1.4.2 向量线性运算的坐标表示 课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

第1章 平面向量及其应用 1.4.2 向量线性运算的坐标表示 平面向量基本定理： 设e1，e2是平面上两个不共线向量，则 (1)平面上每个向量v都可以分解为e1，e2的实数倍之和，即v＝xe1＋ye2，其中x，y是实数. (2)实数x，y由v＝xe1＋ye2唯一决定.也就是：如果v＝xe1＋ye2＝x′e1＋y′e2， 则x____x′，y____y′. ＝ ＝ {e1，e2}. 一组基 v＝(x，y) 基下的坐标 问题1：什么是平面向量基本定理？向量的坐标表示？标准正交基？ 2 问题2：用坐标可以表示向量，那向量的和、差、数乘等线性运算又如何用坐标来表示呢？ (x,y) y O x P 如图，设{i，j}是一组标准正交基，向量，在基{i，j}下的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则 　 + =　　　 向量线性运算的坐标表示 － = 　λ = 自行推导看看 如图，设{i，j}是一组标准正交基，向量，在基{i，j}下的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则 　 + 　　　 =(x1，y1)+(x2，y2) =(x1i+ y1j)+(x2i+ y2j) =(x1i+ x2i)+(y1j+ y2j)=(x1+ x2)i+(y1+ y2)j， 所以+ 的坐标为(x1+ x2，y1+ y2). － = 　　　　λ =λ(x1，y1) 　　　　　　=λ(x1i+ y1j) 　　　　　　=(λx1)i+(λy1)j， 　　故λ 的坐标为(λx1，λ y1). (x1，y1)－(x2，y2) =(x1i+ y1j)－(x2i+ y2j) =(x1i－ x2i)+(y1j－ y2j) =(x1－x2)i+(y1－y2)j， 所以－ 的坐标为(x1－x2，y1－y2). 向量线性运算的坐标表示： (1)两个向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)的和(或差)的坐标等于这两个向量相应坐标的 ，即a±b=(x1，y1)±(x2，y2)= . (2)一个实数λ与向量a=(x，y)的积的坐标等于这个数 向量相应的坐标，即λa=λ(x，y)= . (3)有向线段的坐标表示： 在平面直角坐标系中，向量的坐标等于 终点Q的坐标(x2，y2)减去起点P的坐标(x1，y1)， 即= . 和(或差) (x1±x2，y1±y2) 乘以 (λx，λy) (x2-x1，y2-y1) 关于平面向量的坐标表示的两点说明： (1)向量的坐标只与向量的起点、终点的相对位置有关，而与向量的具体位置无关； (2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．　　 例1 如图，已知 　 的三个顶点为A(－1，3)，B(－2，1)，C(2，2)，求顶点D的坐标. 　解：因为= + = + 　　　　　　　 =(－1，3)+(2－(－2)，2－1) 　　　　　　　 =(－1，3)+(4，1) 　　　　　　 =(3，4)， 　　所以点D的坐标是(3，4). 要求顶点D的坐标，可以 通过哪些向量转化得到？ = + = + = = 1.已知 A （－2，4）， B （3，－1）， C （－3，－4）.设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c 求3 a ＋ b －3 c ； 3 a ＋ b －3 c ＝3（5，－5）＋（－6，－3）－3（1，8） ＝（15－6－3，－15－3－24）＝（6，－42）. 解：由已知，得 a ＝（5，－5）， b ＝（－6，－3）， c ＝（1，8）. 2.已知平面向量 a ＝（0，1）， b ＝（－1，2），则向量2 a － b 等于 （　D　） A. （－，） B. （，－） C. （－，－） D. （，） 解：2 a － b ＝2（0，1）－ （－1，2） ＝（0，2）－（－ ， ）＝（ ， ）. D 例2 已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P是直线P1P2上一点，且＝λ (λ∈R，且λ≠－1)，求点P的坐标. 　　解：由题意可知， = + ，　　　① 　　 = . 　　　② 　　①+λ×②得 　(1+λ)= + +λ －λ. 可以通过哪些向量转化得到？ 　　又已知　　　　　　=λ ， 　　所以　　　　　 (1+λ)= + λ ， 　　从而 　　因此，点P的坐标为 特别地，当λ=1时得到线段PP的中点坐标公式 定比分点坐标公式 可求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比. 3.已知两点A(3，-4)，B(-9，2)，点P在直线AB上，且||=||，则点P的 坐标为 . 解：设点P的坐标为(x，y)， ①若点P在线段AB上，则=， ∴(x-3，y+4)=(-9-x，2-y). 解得x=-1，y=-2， ∴P(-1，-2). ②若点P在线段BA的延长线上， 则=-， ∴(x-3，y+4)=-(-9-x，2-y). 解得x=7，y=-6，∴P(7，-6). (-1，-2) 定比分点坐标公式：(,) 或(7，-6) 议一议：已知两个非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，当两个向量平行(也就是共线)时，它们的坐标应该满足什么条件？ 向量共线的坐标表示 因为a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0， 由a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a=λb， 则有(x1，y1)=λ(x2，y2)⇒消去λ，得x1y2-x2y1=0. 平面向量平行(共线)的坐标表示：(x1，y1)∥(x2，y2)⇔x1y2-x2y1=0. 例3 已知A(2，4)，B(4，3) ，C(－2，x)三点共线，求x的值. 　　 解：因为A，B，C三点共线，所以与共线. 　　而　　　　 =(4－2，3－4)=(2，－1) ， 　　　　　　　 =(－2－2，x－4)=(－4，x－4)． 　　所以　　　2×(x－4)－(－1)×(－4)=0， 　　整理得　　　　　　　2x=12， 　　解得　　　　　　　 　x=6. 提示：先用坐标表示出相应向量，再根据共线向量坐标关系求解. 4.（1）若向量 a ＝（ ，1）， b ＝（0，－2），则与 a ＋2 b 共线的向量可以是（　D　） A. （，－1） B. （－1，－） C. （－，－1） D. （－1，） 提示：利用向量 a ， b 的坐标计算出 a ＋2 b 的坐标，再结合选项给出正确答案. [解析]　因为 a ＋2 b ＝（ ，1）＋2（0，－2）＝（ ，－3）， D选项， × －（－1）×（－3）＝0， 所以（－1， ）与 a ＋2 b 是共线的向量，D选项正确，经验证，ABC选项皆不满足题意，故选D. D （2）已知 a ＝（2，1）， b ＝（3，－4），当λ为何值时，满足λ a － b 与 a ＋2 b 平行？平行时，它们是同向还是反向？ [解析]　λ a － b ＝λ（2，1）－（3，－4）＝（2λ，λ）－（3，－4） ＝（2λ－3，λ＋4）， a ＋2 b ＝（2，1）＋2（3，－4）＝（2，1）＋（6，－8）＝（8，－7）. ∵（λ a － b ）∥（ a ＋2 b ）， ∴8（λ＋4）＋7（2λ－3）＝0，解得λ＝－ . ∴－ a － b ＝（－ ×2－3，－ ＋4）＝（－4， ）＝－ （ a ＋2 b ）， 即λ a － b ＝－ （ a ＋2 b ）. 故当λ＝－ 时，λ a － b 与 a ＋2 b 平行，且两向量方向相反. 提示：先求出λ a － b 与 a ＋2 b 的坐标表示，再根据向量平行条件构造关 于λ的方程，求出λ的值，最后由λ与0的大小关系判断方向. 说一说：现在你能归纳求两个向量共线的表示方法有哪些吗？它们各有怎样的特点？ 向量线性运算的坐标表示 1. 在平行四边形 ABCD 中， A （1，2）， B （3，5）， ＝（－1，2）， 则 ＋ ＝（　A　） A. （－2，4） B. （4，6） C. （－6，－2） D. （－1，9） 解析：在平行四边形 ABCD 中，因为 A （1，2）， B （3，5）， 所以 ＝（2，3）. 又 ＝（－1，2），所以 ＝ ＋ ＝（1，5）， ＝ － ＝（－3，－1），所以 ＋ ＝（－2，4），故选A. A 2. 下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基的是（　C　） A. e1＝（2，2），e2＝（1，1） B. e1＝（1，－2），e2＝（4，－8） C. e1＝（1，0），e2＝（0，－1） D. e1＝（1，－2），e2＝（－，1） 解析：选项C中， e 1， e 2不共线，可作为一个基. C 两个向量不共线 3.已知平面向量 a ＝（1，2）， b ＝（－2， m ），且 a ∥ b ，则2 a ＋3 b ＝ （　C　） A. （－2，－4） B. （－3，－6） C. （－4，－8） D. （－5，－10） 解析：由 a ∥ b ⇒ m ＝－4，得 b ＝（－2，－4）， 所以2 a ＋3 b ＝（－4，－8）， 故选C. C 4. 已知点 A （1，－2），若线段 AB 的中点坐标为（3，1）且 与向量 a ＝（1，λ）共线，则λ＝ ⁠. 解析：由题意，得点 B 的坐标为（3×2－1，1×2＋2）＝（5，4）， 则 ＝（4，6）. 又 与 a ＝（1，λ）共线，则4λ－6＝0，得λ＝ . 　 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且b≠0. (1)a∥b⇔a＝λb(λ∈R)．这是几何运算，体现了向量a与向量b的 长度及方向之间的关系； (2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.这是代数运算，用它解决平面向量共线问题 的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少 了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征； (3)当x2y2≠0时，a∥b⇔eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)，即两个向量的相应坐标成比例．这种形式不易出现搭配错误．　　　　 (x2－x1，y2－y1) x1y2－x2y1 1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，那么， (1)a＋b＝(x1，y1)＋(x2，y2)＝_______________； (2)a－b＝(x1，y1)－(x2，y2)＝______________； (3)λa＝λ(x1，y1)＝_____________． 2．如图，在平面直角坐标系中，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则eq \o(PQ,\s\up17(―→))＝eq \o(OQ,\s\up17(―→))－eq \o(OP,\s\up17(―→))＝______________． 3．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b⇔(x1，y1)∥(x2，y2)⇔__________＝0. (x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (λx1，λy1) $