1.4.1 向量分解及坐标表示（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

1.4　向量的分解与坐标表示 1.4.1　向量分解及坐标表示 基础过关练 题组一　对平面向量基本定理的理解 1.(2023陕西西安期中){e1,e2}是平面的一组基,下面说法正确的是(　　) A.若存在实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0 B.空间内任一向量a都可以表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2为实数) C.λ1e1+λ2e2(λ1,λ2≠0)不一定在该平面内 D.对平面内任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对 2.(2024广东深圳月考)如图,点O为正六边形ABCDEF的中心,则下列向量中可构成平面的一组基的是(　　) A.,　　B.,　　 C.,　　D., 3.(多选题)(2025甘肃平凉庄浪紫荆中学月考)设{e1,e2}是平面的一组基,则下列四组向量中,能组成平面的一组基的是(　　) A.e1+e2和e1-e2　　B.3e1-4e2和6e1-8e2 C.e1+2e2和2e1+e2　　D.e1和e1+e2 题组二　用基表示向量 4.(2025甘肃张掖民乐第一中学期中)如图,在△ABC中,N是BC的中点,M是AN的中点,设=a,=b,那么=(　　) A.-a+b　　B.a-b　　 C.-a+b　　D.-a-b 5.设D是△ABC所在平面内一点,=3,设=e1,=e2,则在基{e1,e2}下的坐标为(　　) A.　　B. C.　　D. 6.(2023福建福州期中)我国古代数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示.在“赵爽弦图”中,若=a,=b,=3,则可用基{a,b}表示为=(　　) A.a+b　　B.a+b C.a+b　　D.a+b 7.(2024重庆南开中学阶段测试)在平行四边形ABCD中,=a,=b. (1)如图1,如果E,F分别是BC,DC的中点,试用a,b表示,; (2)如图2,如果O是AC与BD的交点,G是DO的中点,试用a,b表示. 　　 题组三　平面向量基本定理的应用 8.(2023福建泉州期中)在△ABC中,D为AC边的中点,E为线段BD上一点,且满足=-3,若=λ+μ,则+μ=(　　) A.1　　B.　　C.　　D. 9.在平面四边形ABCD中,已知△ABC的面积是△ACD的面积的2倍.若存在正实数x,y使得=+成立,则2x+y的最小值为(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 10.在△ABC中,过重心G的直线l交边AB于P,交边AC于Q,若=p,=q,其中p,q为非零常数.求证: (1)++=0; (2)+为定值. 11.(2024河南信阳期中)如图,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,AC交BD于点O. (1)若·=8,求AP的长; (2)若||=6,||=8,∠BAC=,=x+y(x,y∈R),求y-x的值. 题组四　平面向量的正交分解与坐标表示 12.已知=(-2,4),则下面说法正确的是(　　) A.A点的坐标是(-2,4) B.B点的坐标是(-2,4) C.当B点是原点时,A点的坐标是(-2,4) D.当A点是原点时,B点的坐标是(-2,4) 13.如图所示,{e1,e2}为单位正交基,则向量a,b的坐标分别是　(　　) A.(3,4),(2,-2)　　B.(2,3),(-2,-3) C.(2,3),(2,-2)　　D.(3,4),(-2,-3) 14.已知向量a的方向与x轴的正方向的夹角是30°,且|a|=4,则a的坐标为　　　　.  答案与分层梯度式解析 1.4　向量的分解与坐标表示 1.4.1　向量分解及坐标表示 基础过关练 1.A 2.B 3.ACD 4.A 5.D 6.D 8.B 9.A 12.D 13.C 1.A　由基的定义可知,e1和e2是平面内不共线的两个向量,所以若存在实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0,A正确;易知平面内的任一向量a都可以表示为a=λ1e1+λ2e2,其中实数λ1,λ2有且只有一对,B,D错误;λ1e1+λ2e2(λ1,λ2≠0)一定在该平面内,C错误. 2.B　由基的概念可知,构成基的一组向量不能共线.由题图可知,与共线,与共线,与共线,与不共线. 3.ACD　因为{e1,e2}是平面的一组基,所以e1,e2不共线. 因为e1+e2和e1-e2没有倍数关系,所以二者不共线,能组成平面的一组基; 因为e1+2e2和2e1+e2没有倍数关系,所以二者不共线,能组成平面的一组基; 因为e1和e1+e2没有倍数关系,所以二者不共线,能组成平面的一组基; 因为6e1-8e2=2(3e1-4e2),所以3e1-4e2和6e1-8e2共线,不能组成平面的一组基. 4.A　因为在△ABC中,N是BC的中点,M是AN的中点,=a,=b, 所以=-=-=-×(+) =--=-+=-a+b. 5.D　因为=3, 所以==(-), 所以=+=+(-)=-+=-e1+e2,因此向量在基{e1,e2}下的坐标为. 6.D　由题意,得=+=+=+(+)=+, ∴=+,∴=+, ∴=a+b. 7.解析　(1)因为E,F分别是BC,DC的中点, 所以=+=-=b-a, =+=-=a-b. (2)因为O是AC与BD的交点,G是DO的中点, 所以==(-), 所以=+=+(-)=+=a+b. 8.B　如图所示, 由=-3得BE∶ED=2∶1, ∴=+, ∵D是AC的中点, ∴=,∴=+. 又=λ+μ,,不共线, ∴λ=,μ=,∴+μ=. 记忆结论 　　分点恒等式:在△ABC中,D是BC上的点(不包含端点),若BD∶CD=m∶n,则=+. 9.A　如图,连接BD,CA,BD与CA交于点M, 由△ABC的面积是△ACD的面积的2倍,可得BM=2MD, 所以=+=+=+(-)=+. 因为A,M,C三点共线,所以,共线, 所以存在实数k,使得=k, 则=k+k. 又因为=+, 所以消去k,可得+=9, 又因为x>0,y>0, 所以2x+y=(2x+y)=≥=1, 当且仅当=,即x=y=时等号成立, 所以2x+y的最小值为1. 10.证明　(1)由题意,延长AG交BC于D,则D为BC的中点,可得+=2. 因为G是△ABC的重心,所以=-2, 所以++=-2+2=0. (2)设=a,=b, 因为=p,=q,所以=a,=b,==×(+)=(a+b), 又因为P,G,Q三点共线,所以存在实数λ,使得=λ,即-=λ(-), 即b-a=λ=a+b, 可得整理得λ==, 故=,即2-=+1, 所以+=1. 11.解析　(1)由题意得·=·2=2·(+)=2+0=8, ∴==4,解得||=2, 故AP的长为2. (2)∵=x+y=x+2y,且B,P,O三点共线,∴x+2y=1①. ∵||=6,||=8,∠BAC=, ∴·=||·||cos∠BAC=12. 由AP⊥BD可知·=(x+2y)·(-)=0,即2y-x+(x-2y)·=0,∴y=3x②, 联立①②解得x=,y=,故y-x=. 12.D　由平面向量的坐标表示可知,当A点是原点时,B点的坐标是(-2,4). 13.C　根据平面直角坐标系,可知a=2e1+3e2,b=2e1-2e2,∴a=(2,3),b=(2,-2). 14.答案　(2,2)或(2,-2) 解析　设a=(x,y),当向量a在第一象限时,x=4×cos 30°=2,y=4×sin 30°=2,故a=(2,2); 当向量a在第四象限时,x=4×cos(-30°)=2,y=4×sin(-30°)=-2,故a=(2,-2). 综上,a的坐标为(2,2)或(2,-2). 7 学科网（北京）股份有限公司 $