1.4.1 第1课时 平面向量基本定理 课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

第1章 平面向量及其应用 1.4.1 第1课时 平面向量基本定理 ①证明三点共线； ②利用共线求待定系数； ③判断向量是否共线. （1）定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数λ，使 b ＝λ a （ a ≠0），则 a 与 b 共线；反之，若 a （ a ≠0）与 b 共线，则必存在一个实数λ，使 b ＝λ a . （2）若 a ， b 不共线，且λ a ＝μ b ，则必有λ＝μ＝0. 2.对共线向量定理的理解： 1.共线向量定理及其应用 a∥b⇔存在实数λ，使得b=λa或a=λb(a，b为非零向量). 想一想：共线向量定理的实质是，所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，则其他向量都可以用这个向量表示出来．那么，这个结论是否可以推广到所有共面的向量呢？ 如图所示，已知向量a，b，c，d，e，f的始点相同，你能分别将向量c，d，e，f写成向量a，b的线性运算吗？ 如图，对平面上任一个向量，均可分解为两个不共线向量，的实数倍之和. =x + 想一想：对，有什么要求？这里的系数x,y唯一确定吗？为什么？ 平面向量基本定理 假设实数x´,y´满足 OP=x´+y´ 若x´≠x,则=, 这说明与共线，与已知矛盾，因此x´=x. 同理y´=y. → 证明： =x + 想一想：对，有什么要求？这里的系数x,y唯一确定吗？为什么？ 1.平面向量基本定理 设e1，e2是平面上两个不共线向量，则 (1)平面上每个向量v都可以分解为e1，e2的实数倍之和，即v＝xe1＋ye2，其中x，y是实数. (2)实数x，y由v＝xe1＋ye2唯一决定.也就是：如果v＝xe1＋ye2＝x′e1＋y′e2，则x____x′，y____y′. 2.基: 不共线向量e1，e2组成平面上的一组基{e1，e2}. ＝ ＝ 6 (1)对于平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解成两个不共线的向量的和的形式. (2)向量的基是指平面内不共线的两个向量，事实上，若{e1，e2}是一组基，则必有e1≠0，e2≠0，且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1+e2与2(e1+e2)等均不能构成一组基. 7 1.设{e1，e2}是平面内所有向量的一组基，则下列四组向量中不能作为一组基的是（ ） A.{e1+e2，e1-e2} B.{3e1-4e2，6e1-8e2} C.{e1+2e2，2e1+e2} D.{e1，5e2} B 解：选项B中，6e1-8e2=2(3e1-4e2)， ∴6e1-8e2与3e1-4e2共线， ∴不能作为一组基，选项A，C，D中两向量均不共线，可作为一组基，故选B. 8 例1 (多选)若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，λ，μ是实数，下列说法正确的是（ ） A.若λ，μ满足λe1+μe2=0，则λ=μ=0 B.对于平面α内任意一个向量a，使得a=λe1+μe2成立的实数λ，μ有无数对 C.λe1+μe2可以表示平面α内的所有向量 D.当λ，μ取不同的值时，向量λe1+μe2可能表示同一向量 AD 9 解析： 若λ≠0，则e1=-e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，∴λ=0，同理可得μ=0，故A正确； 由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定，故B不正确； 平面α内的每个向量a可表示成λe1+μe2的形式，反之也成立，故C正确； 结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1+μe2 便唯一确定，故D不正确. A.若λ，μ满足λe1+μe2=0，则λ=μ=0 B.对于平面α内任意一个向量a，使得a=λe1+μe2成立的实数λ，μ有无数对 C.λe1+μe2可以表示平面α内的所有向量 D.当λ，μ取不同的值时，向量λe1+μe2可能表示同一向量 10 1.分解式v=xe1+ye2中的系数x，y组成的有序数组 ，称为v在这组基下的坐标. 2.取定了平面上一组基{e1，e2}之后，可以将平面上每个向量v用它在这组基下的坐标来表示，记为v= . (x，y) (x，y) 用基表示向量以及基下的坐标 11 例2 如图，在平行四边形ABCD中，设对角线 =a，=b. (1)试用基{a，b}表示，； 方法一　由题意知，===a， ===b. 所以=+=-=a-b， =+=a+b. 方法二　设=x，=y，则==y， 又 所以 即=a-b，=a+b. 你能想到哪些方法？ 12 (2)求向量，在基{a，b}下的坐标. 由(1)知向量在基{a，b}下的坐标为在基{a，b}下的坐标为. 13 第一步：利用平面向量基本定理将向量a分解为e1，e2的实数倍之和，即a=xe1+ye2； 第二步：将e1，e2的系数分别作为向量a的横、纵坐标，即可求出a在基{e1，e2}下的坐标. 求向量a在基{e1，e2}下的坐标的步骤： 例3 在平行四边形ABCD中，AE=AB，AF=AD，CE与BF相交于G点。若AB=a，AD=b，则AG等于多少？ → → → → → → → 解：B、G、F三点共线， AG=λAF+(1-λ)AB =λb+(1-λ)a. E、G、C三点共线， AG=μAE+(1-μ)AC =μa+(1-μ)(a+b). → → → → → → 由平面向量基本定理得, → . AG=a+b. 练习：如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若=λ+μ，其中λ，μ∈R，则λ+μ=　　　　.  解：设=a，=b， 则=a+b，=a+b， 又∵=a+b，∴=+)， 即λ=μ=，∴λ+μ=. 16 1、下列说法是否正确？ 在平面内只有一对基底。 在平面内有无数对基底。 零向量不可作为基底。 平面内不共线的任意一对向量，都可作为基底。 × √ √ √ B 4.在△ABC中，=，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设=a，=b，则在基{a，b}下的坐标为 . 解：由题意得==-)=-)=(b-a)，所以在基{a，b}下的坐标为. 本节课你学到了哪些知识与方法？ 1.知识清单： (1)平面向量基本定理. (2)用基表示向量和基下的坐标. (3)平面向量基本定理的应用. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：忽视基中的向量必须是不共线的两个向量. 2.如图所示，设O是▱ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组： ①eq \o(AD,\s\up17(―→))与eq \o(AB,\s\up17(―→))；②eq \o(DA,\s\up17(―→))与eq \o(BC,\s\up17(―→))；③eq \o(CA,\s\up17(―→))与eq \o(DC,\s\up17(―→))；④eq \o(OD,\s\up17(―→))与eq \o(OB,\s\up17(―→)). 其中可作为该平面内所有向量的一组基的是(　　) A．①②　　　　 B．①③ C．②④ D．③④ 解析：由题图可知，eq \o(AD,\s\up17(―→))与eq \o(AB,\s\up17(―→))不共线，eq \o(CA,\s\up17(―→))与eq \o(DC,\s\up17(―→))不共线， 故①③可作为基． 3．如图，在平行四边形ABCD中，eq \o(AB,\s\up17(―→))＝a，eq \o(AD,\s\up17(―→))＝b，M是DC的中点，以{a，b}为基表示向量eq \o(AM,\s\up17(―→))＝________． 解析：eq \o(AM,\s\up17(―→))＝eq \o(AD,\s\up17(―→))＋eq \o(DM,\s\up17(―→))＝eq \o(AD,\s\up17(―→))＋eq \f(1,2)eq \o(DC,\s\up17(―→))＝eq \o(AD,\s\up17(―→))＋eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up17(―→))＝b＋eq \f(1,2)a. b＋eq \f(1,2)a $