1.4.1 向量分解及坐标表示-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（湘教版）

1.4　向量的分解与坐标表示 1.4.1　向量分解及坐标表示(教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学) [课时目标] 1.理解平面向量基本定理及其意义，能运用平面向量基本定理解决某些数学问题. 2.理解平面向量的正交分解、标准正交基的概念，并会用坐标表示平面向量. 1.平面向量基本定理及相关概念 条件 设e1，e2是平面上两个不共线向量，则 结论 (1)平面上每个向量v都可以分解为e1，e2的实数倍之和，即v=xe1+ye2，其中x，y是实数. (2)实数x，y由v=xe1+ye2唯一决定.也就是： 如果v=xe1+ye2=x'e1+y'e2，则x=x'，y=y' 基 平面上不共线的两个向量e1，e2组成的集合称为平面上的一组基{e1，e2} 坐标 分解式v=xe1+ye2中的系数x，y组成的有序数组(x，y)，称为v在这组基下的坐标. 取定了平面上一组基{e1，e2}之后，可以将平面上每个向量v用它在这组基下的坐标来表示，记为v=(x，y) |微|点|助|解|　 (1)平面向量基本定理的作用 平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的. (2)基的性质 ①不共线性 平面内两个不共线的向量才可以作为一组基.由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为基. ②不唯一性 对基的选取不唯一，平面内任一向量a都可被这个平面的一组基{e1，e2}线性表示. 2.平面向量的正交分解与坐标表示 正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解 标准正交基 平面上相互垂直的单位向量组成的基称为标准正交基，记作{i，j}.显然i=(1，0)，j=(0，1) 向量坐标的 计算公式 设单位向量e1，e2的夹角<e1，e2>=90°，非零向量v的模|v|=r且<e1，v>=α，则v=(rcos α，rsin α) |微|点|助|解|　 点的坐标与向量的坐标的区别与联系 区别 表示形式不同 向量a=(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号 意义不同 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a=(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y) 联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个向量都可以作为基. (　　) (2)平面向量的基不是唯一的. (　　) (3)零向量不可作为基中的向量. (　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2.已知e1，e2是平面内两个相互垂直的单位向量，且a=4e1-3e2，则向量a的坐标为 (　　) A.(4e1，3e2)　　　　　　 B.(4e1，-3e2) C.(4，3) D.(4，-3) 解析：选D　∵e1，e2是互相垂直的单位向量，且a=4e1-3e2，∴a=(4，-3). 3.如图所示，向量可用向量e1，e2表示为　　　　.  答案：4e1+3e2 题型(一)　用基表示向量 [例1]　设M，N，P是△ABC三边上的点，它们使===，若=a，=b，试用a，b将表示出来. 解：如图，==-=-() ==b-a. ===a-b. =-=-(+)=a+b. |思|维|建|模| 　　平面内任何一个向量都可以用二组基进行表示，转化时一定要看清转化的目标，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，同时结合实数与向量积的定义，牢记转化方向，把未知向量逐步往基方向进行组合或分解. 　　[针对训练] 1.在△ABC中，=a，=b，=，则= (　　) A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 解析：选B　∵=a，=b，∴==b-a.又=，∴=+=a+=a+(b-a)=a+b.故选B. 2.设{e1，e2}是平面内一组基，且a=e1+2e2，b=-e1+e2，则向量e1+e2可以表示为另一组基{a，b}的线性组合，即e1+e2=　　 　a+　　　b.  解析：由题意，设e1+e2=ma+nb.因为a=e1+2e2，b=-e1+e2，所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.由平面向量基本定理，得所以 答案：　- 题型(二)　平面向量基本定理的应用 [例2]　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值. 解：设=e1，=e2， 则=+=-3e2-e1， =+=2e1+e2. ∵A，P，M和B，P，N分别共线， ∴存在实数λ，μ使得=λ=-λe1-3λe2， =μ=2μe1+μe2. 故=+==(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.而=+=2e1+3e2， 由平面向量基本定理， 得解得 ∴==， ∴AP∶PM=4，BP∶PN=. |思|维|建|模| 用向量解决平面几何问题的一般步骤 (1)选取不共线的两个平面向量为基； (2)将相关的向量用基向量表示，将几何问题转化为向量问题； (3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解； (4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解. 　　[针对训练] 3.平面内有一个△ABC和一点O(如图)，线段OA，OB，OC的中点分别为E，F，G，BC，CA，AB的中点分别为L，M，N，设=a，=b，=c. (1)试用a，b，c表示向量； (2)求证：线段EL，FM，GN交于一点且互相平分. 解：(1)如题图，∵=a，=(b+c)， ∴==(b+c-a). 同理，=(a+c-b)，=(a+b-c). (2)证明：设线段EL的中点为P1， 则=(+)=(a+b+c). 设FM，GN的中点分别为P2，P3， 同理可求得=(a+b+c)，=(a+b+c). ∴==，∴P1，P2，P3三点重合.即线段EL，FM，GN交于一点且互相平分. 题型(三)　平面向量的坐标表示 [例3]　在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|=2，|b|=3，|c|=4，分别计算出它们的坐标. 解：设a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，c=(c1，c2)， 则a1=|a|cos 45°=2×=， a2=|a|sin 45°=2×=， b1=|b|cos 120°=3×=-， b2=|b|sin 120°=3×=， c1=|c|cos(-30°)=4×=2， c2=|c|sin(-30°)=4×=-2. 因此a=()，b=，c=(2，-2). |思|维|建|模| 求平面向量坐标的方法 (1)若i，j是分别与x轴、y轴同方向的单位向量，则当a=xi+yj时，向量a的坐标即为(x，y). (2)向量的坐标等于其终点的相应坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标. (3)求向量的坐标一般转化为求点的坐标.解题时，常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算. 　　[针对训练] 4.如图，在平面直角坐标系xOy中，OA=4，AB=3，∠AOx=45°，∠OAB=105°，=a，=b，四边形OABC为平行四边形，求向量a，b的坐标. 解：如图，作AM⊥x轴于点M， 则OM=OA·cos 45°=4×=2，AM=OA·sin 45°=4×=2. ∴A(2，2)， 故a=(2，2). ∵∠AOC=180°-105°=75°，∠AOy=45°， ∴∠COy=30°. 又∵OC=AB=3，∴C， ∴==， 即b=. 学科网（北京）股份有限公司 $