1.2 向量的加法（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（湘教版）

该高中数学课件聚焦平面向量的加法与减法运算，从向量加法的三角形法则、平行四边形法则入手，结合零向量性质、运算律及n个向量相加，延伸至减法定义与法则，构建从基础到应用的知识脉络，为学生提供递进式学习支架。 其亮点在于通过几何图示培养数学眼光中的几何直观，借助知识辨析发展数学思维中的推理意识，结合典例和向量形式的三角不等式强化数学语言表达。学生能深化对向量运算本质的理解，教师可依托系统知识框架提升教学效率。

　向量的加法 知识点 1 必备知识 清单破 1.2　向量的加法 1.向量加法的运算法则 图示 几何意义 前提条件 向量 加法 的运 算法 则 向量 加法的 三角形 法则   已知非零向量a,b,在平面内取任 意一点A,作 =a, =b,则向量  叫作a与b的和,记作a+b,即a+ b= + =  一个向量的终点 为另一个向量的 起点(首尾相连) 向量加 法的平 行四边 形法则   已知非零向量a,b,在平面内任取 一点O,作 =a, =b.以OA,OB 为邻边作▱OACB,则  就是向量a与b的和 两向量不共线且 起点相同 第1章　平面向量及其应用 高中同步 2.零向量的加法性质 任意向量与零向量相加后保持不变,等于这个向量本身,即a+0=0+a=a. 如果两个向量之和为0,即a+b=0,则a与b大小相等,方向相反,即b是a的相反向量,记作b=-a.当 然a也是b的相反向量,因此a=-b=-(-a). 3.加法运算律 (1)加法交换律:a+b=b+a对任意两个向量a,b成立. (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)对任意三个向量a,b,c成立. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 4.n个向量相加 如图所示,在n边形A1A2…An中,有 + +…+ = ,则 + +…+ + =0.   第1章　平面向量及其应用 高中同步 　向量的减法 知识点 2 1.向量减法的定义 已知两个向量a,b,求x满足a+x=b,这样的运算叫作向量的减法,记为x=b-a,x称为b与a之差. 2.向量的减法法则 减去一个向量a,等于加上它的相反向量-a,即b-a=b+(-a). 已知向量a与b,在平面上任取一点O,作 =a, =b,则 =b-a,即b-a表示从向量a的终点指向 向量b的终点的向量.  　　     第1章　平面向量及其应用 高中同步 知识辨析 1.两个向量相加就是它们的模相加吗? 2.向量加法的平行四边形法则适合任意两个向量吗? 3.向量的加法与减法的几何表示有何区别? 第1章　平面向量及其应用 高中同步 一语破的 1.不是.因为向量既有大小,又有方向,所以两个向量相加不是模相加. 2.不是.当两个向量的方向相同或相反或有零向量时不能用平行四边形法则. 3.向量的减法是向量加法的逆运算.用三角形法则时,a+b是指将向量b的起点放在向量a的终 点,然后连接向量a的起点与向量b的终点所得的向量;a-b是指把这两个向量的起点放在一起, 以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量.用平行四边形法则时,以向量 =a,  =b为邻边作平行四边形ABCD,则 =a+b, =b-a. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 　向量的加减法运算及其应用  关键能力 定点破 定点 1 1.向量的加法 (1)当两个不共线的向量求和时,三角形法则和平行四边形法则都可以用. (2)利用向量的三角形法则求向量和时,要保证“首尾顺次连接”;利用平行四边形法则求向 量和时,要保证共起点. 2.向量的减法 (1)可以通过相反向量,将向量的减法转化为向量的加法. (2)向量减法的三角形法则强调两个向量共起点,连终点,指向被减向量. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 3.用已知向量表示其他向量 (1)弄清图形中的相等向量、相反向量以及构成三角形的向量之间的关系,明确已知向量与 被表示向量的转化方式. (2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的运算律分析、解决问题. (3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 典例　如图,已知B是▱ACDE内一点,且 =a, =b, =c,试用a,b,c表示向量 , , ,  及 .   解析    ∵四边形ACDE为平行四边形, ∴ = =c, = - =b-a, = - =c-a, = - =c-b, = + =b-a+c. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 向量形式的三角不等式  (1)当向量a,b方向既不相同也不相反时,作 =a, =b,则a+b= ,如图1所示.根据三角形的 三边关系,有||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|.   (2)当a与b方向相同或a,b中至少有一个为零向量时,如图2所示,此时|a+b|=|a|+|b|. (3)当a与b方向相反或a,b中至少有一个为零向量时,不妨设|a|≥|b|,如图3所示,此时|a+b|=||a|-|b||. 定点 2 第1章　平面向量及其应用 高中同步 故对于任意向量a,b,总有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|①. 因为|a-b|=|a+(-b)|,所以||a|-|-b||≤|a-b|≤|a|+|-b|,即||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|②.将①②两式结合,可得 ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,我们称之为向量形式的三角不等式. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 典例　设|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最大值与最小值分别为　　　    . 20,4 思路点拨    利用向量形式的三角不等式求解. 解析    当a,b方向相同时,|a+b|=|a|+|b|=8+12=20; 当a,b方向相反时,|a+b|=||a|-|b||=4; 当a,b方向既不相同也不相反时,||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|,即4<|a+b|<20. 故|a+b|的最大值为20,最小值为4. 第1章　平面向量及其应用 高中同步 $