第9章 平面向量 测评卷（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（苏教版）

第9章　平面向量

全卷满分150分　考试用时120分钟

一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.平面向量a与b的夹角为,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=(　　)

A.2

2.设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则(　　)

A.“x=-3”是“a⊥b”的必要条件　　　　B.“x=-3”是“a∥b”的必要条件

C.“x=0”是“a⊥b”的充分条件　　　　D.“x=-1+”是“a∥b”的充分条件

3.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线,以等边三角形每个顶点为圆心,其边长为半径,在另两个顶点间作一段圆弧,三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中,已知AB=2,P为弧上的点且∠PBC=45°,则=(　　)

A.+4

4.在△ABC中,点D是AC的中点,且BD=2,若点P为平面ABC内一点,则·()的最小值是(　　)

A.-　　　　D.-6

5.由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如图所示,已知=a,=b,,则=(　　)

A.a+b　　　　B.a+b　　　　C.a+b　　　　D.a+b

6.已知.若点P是△ABC所在平面内一点,且,则的最大值为(　　)

A.13　　　　B.5-2

7.如图,在等腰△ABC中,已知||=2,∠A=120°,E,F分别是边AB,AC上的点(包含边界),且,其中λ+2μ=1,若线段EF,BC的中点分别为M,N,则||的最小值是(　　)

A.

8.在四边形ABCD中,AB∥CD,AD=BC=2,AB=3CD=3,若P为△ABC三条边上的一个动点,且,则以下说法正确的是(　　)

①满足m=的点P有且只有1个;

②满足m+n=1的点P恰有2个;

③能使m+n取最大值的点P恰有2个;

④能使3m+2n取最大值的点P有无数个.

A.①②　　　　B.①③　　　　C.②③　　　　D.②④

二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)

9.已知a=(t,1),b=(2,t),则下列说法正确的是(　　)

A.|a|的最小值为1

B.若a⊥b,则t=0

C.若t=1,则与a垂直的单位向量只能为

D.若向量a与向量b的夹角为钝角,则t的取值范围为(-∞,0)

10.如图,在△ABC中,BC=12,D,E是BC的三等分点,则(　　)

A.　　　　B.若AB⊥AC,则=32

C.若=9,则=40　　　　D.若=4,则=88

11.如图,直线l1∥l2,点A是l1,l2之间的一个定点,点A到l1,l2的距离分别为AE,AD的长,且AE=1,AD=2.点B是直线l2上的一个动点,过点A作AC⊥AB,交直线l1于点C,若G是l1,l2所在平面内一点,且=0,则(　　)

A.)　　　　B.△GAB面积的最小值是

C.||≥1　　　　D.存在最小值

三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)

12.已知向量a在向量b上的投影向量为b,且|a|=|b|,则向量a与向量b的夹角为　　　　. 

13.已知向量a与b的夹角为,|b|=2,若对任意x∈R,恒有|b+xa|≥,则(t∈R)的最小值为　　　　. 

14.如图,△AB1C1,△B1B2C2,△B2B3C3是三个边长为1的等边三角形,且有一条边在同一直线上,边B3C3上有5个不同的点P1,P2,P3,P4,P5,设mi=(i=1,2,…,5),则m1+m2+…+m5=　　　　. 

四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分13分)如图,已知N是直角△ABC所在平面内一点,BC=AB=2,M是BC的中点,D是AM的中点.

(1)当时,求的值;

(2)当||=1时,求的取值范围.

 

 

 

 

 

16.(本小题满分15分)如图所示,在△ABC中,,BQ与CR相交于点I,AI的延长线与边BC交于点P.

(1)用;

(2)若,求实数λ和μ的值;

(3)确定点P在边BC上的位置.

 

 

 

 

 

17.(本小题满分15分)如图,在△ABC中,AB=2,AC=4,∠BAC=120°,.

(1)求的值;

(2)线段BC上是否存在一点P,使得CD⊥AP?若存在,请求出点P的位置;若不存在,请说明理由;

(3)若O是△ABC内一点,且满足=0(m∈R),求的最小值.

 

 

 

 

 

 

 

18.(本小题满分17分)在平面直角坐标系中,已知A,C(7-m,0),t,m∈R,t≠0.

(1)若t=1,m=4,P为x轴上的一个动点,点A'(1,-2).

①当A',P,B三点共线时,求点P的坐标;

②求||的最小值;

(2)若t=sin θ,θ∈(0,π),且的夹角α∈,求m的取值范围.

 

 

 

 

 

 

 

19.(本小题满分17分)在平面直角坐标系xOy中,定义两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的“相离度”为d(a,b)=,易知a,b平行的充要条件为d(a,b)=0.

(1)已知a=(2,1),b=(-4,2),求d(a,b);

(2)①已知a,b的夹角为θ1,c,d的夹角为θ2,证明:d(a,b)=d(c,d)的充要条件是sin θ1=sin θ2;

②在△ABC中,AB=2,AC=4,且AD=,P为△ABC内一点,若=0,求d().