第12章 复数 综合拔高练（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（苏教版）

综合拔高练 高考真题练 考点1　复数的相关概念 1.(2025全国一卷,1)(1+5i)i的虚部为(　　) A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.6 2.(全国Ⅲ理,2)复数的虚部是(　　) A.- 3.(2024上海,9)已知虚数z,其实部为1,且z+=m(m∈R)①,则实数m为　　　　.  ①关键点拨复数的和为实数,则虚部为0. 考点2　复数的四则运算 4.(2025全国二卷,2)已知z=1+i,则=(　　) A.-i　　　　B.i　　　　C.-1　　　　D.1 5.(2024新课标Ⅰ,2)若=1+i,则z=(　　) A.-1-i　　　　B.-1+i　　　　C.1-i　　　　D.1+i 6.(2024全国甲理,1)若z=5+i,则i(+z)=(　　) A.10i　　　　B.2i　　　　C.10　　　　D.2 7.(2024北京,2)若复数z满足=-1-i,则z=(　　) A.-1-i　　　　B.-1+i　　　　 C.1-i　　　　D.1+i 8.(2023全国乙理,1)设z=,则=(　　) A.1-2i　　　　B.1+2i　　　　C.2-i　　　　D.2+i 9.(2023全国甲理,2)设a∈R,(a+i)(1-ai)=2,则a=(　　) A.-2　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.2 10.(2022全国甲理,1)若z=-1+i,则=(　　) A.-1+i C.-i 考点3　复数的几何意义 11.(2023新课标Ⅱ,1)在复平面内,(1+3i)·(3-i)对应的点位于(　　) A.第一象限　　　　B.第二象限 C.第三象限　　　　D.第四象限 12.(2025上海,10)已知复数z满足z2=,|z|≤1,则|z-2-3i|的最小值①是　　　　.  ①关键点拨转化为求复平面上的点Z到点(2,3)距离的最小值,数形结合求解;对点突破P397定点2 考点4　复数的模 13.(2025北京,2)已知复数z满足i·z+2=2i,则|z|=(　　) A.　　　　C.4　　　　D.8 14.(2023全国乙文,1)|2+i2+2i3|=(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.　　　　D.5 15.(2022全国甲文,3)若z=1+i,则|iz+3|=(　　) A.4 16.(2025天津,10)i为虚数单位,则=　　　　.　  强基计划 17.(2024江苏南京大学强基计划)已知△ABC的三条边长a,b,c∈R,复数z1,z2满足|z1|=a,|z2|=b,|z1+z2|=c,则为　　　　数(填“实”或“虚”).  高考模拟练 应用实践 1.(2024宁夏银川模拟)已知复数z=m2-1+(m+i2)·i(m∈R)为纯虚数,则m=(　　) A.1　　　　B.-1 C.1或-1　　　　D.2 2.(2024上海闵行学业质量调研)已知复数z1,z2在复平面内对应的点分别为P,Q,OP=5(O为坐标原点),且-z1z2·sin θ+=0,则对任意θ∈R,下列选项中为定值的是(　　) A.OQ　　　　B.PQ C.△OPQ的周长　　　　D.△OPQ的面积 3.(多选题)(2024山东省实验中学调研)已知复数z满足z2+z+1=0,则(　　) A.z=-i　　　　B.|z|=1 C.z2=　　　　D.z+z2+z3+…+z2 024=0 4.(多选题)(2025福建泉州期中)在实数集内,我们通常用绝对值来描述大小,在复数集中,我们规定复数的“长度”即为模,规定在复平面实轴上方的复数为正,在实轴下方的复数为负,在实轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示,我们用[z]来表示复数的“大小”,例如:[1+2i]=,则下列说法正确的是(　　) A.[z]=1在复平面内表示一个圆 B.若z∈C,则方程[z]2=-1无解 C.若z1,z2为虚数,且z1=,则[z1]+[z2]=0 D.复数z满足[z-i]=1,则|z|的取值范围为[,2] 5.(2025江苏淮安中学学情检测)设函数f(z)(z为复数)满足f(f(z))=(z)2.若f(1)=0,则|f(i)-1|=　　　　.  6.(2025江苏南通如皋江安高级中学学情检测)如果复数z=x+yi(x,y∈R),z1=-2,z2=-,z3=i在复平面内对应的点分别为Z,Z1,Z2,Z3,复数z满足|z-z1|=2|z-z2|,且(λ∈R,μ∈R),则3λ+2μ的最大值为　　　　.  迁移创新 7.(2024湖南张家界期末)现有以下三个式子:①(i为虚数单位),某同学在解题时发现以上三个式子的值都等于同一个常数. (1)从三个式子中任选一个,求出这个常数; (2)根据三个式子的结构特征及(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个复数恒等式,并证明你的结论. 答案与分层梯度式解析 综合拔高练 高考真题练 1.C　(1+5i)i=i+5i2=i-5,所以虚部为1. 2.D　. 3.答案　2 真题降维 关键信息 信息处理 虚数z的实部为1 设z=1+bi(b≠0,b∈R) z+=m(m∈R) 两个复数的和为实数,通过计算把和化为c+di(c,d∈R)的形式,令虚部d=0 解析　由题意可设z=1+bi(b≠0,b∈R), 所以z+i, 因为m∈R,所以b-=0,解得b=±1,所以m=1+=1+1=2. 4.A　因为z=1+i,所以=-i. 5.C　解法一:由已知可得z=(1+i)·(z-1),即z·i=1+i,故z=+1=1-i. 解法二:由=-i,得z=1-i. 6.A　∵z=5+i,∴=5-i.∴i(+z)=10i. 7.C　z=i·(-1-i)=-i+1=1-i. 8.B　z==1+2i. 9.C　因为(a+i)(1-ai)=a-a2i+i-ai2=2a+(1-a2)i=2,所以解得a=1. 10.C　由z=-1+i. 11.A　(1+3i)(3-i)=6+8i,其在复平面内对应的点为(6,8),位于第一象限. 12.答案　2 真题降维 关键信息 信息处理 z2= a=0或b=0 |z|≤1 赋予其几何意义,即z在复平面内对应的点Z(a,b)在以原点O为圆心,1为半径的圆内部(含边界)的坐标轴上运动 |z-2-3i|的 最小值 赋予其几何意义,转化为求点Z到点(2,3)的距离的最小值,数形结合求解 解析　设z=a+bi(a,b∈R),∴=a-bi, 由题意可知z2=a2+2abi-b2==a2-2abi-b2,则ab=0,故a=0或b=0, |z|=≤1,由复数的几何意义知z在复平面内对应的点Z(a,b)在以原点O为圆心,1为半径的圆内部(含边界)的坐标轴上运动,如图所示,即在线段AB,CD上运动, 设E(2,3),连接BE,CE,则|z-2-3i|=ZE, 由图可知ZEmin=CE=2. 13.B　z=. 14.C　|2+i2+2i3|=|2-1-2i|=|1-2i|=. 15.D　因为z=1+i,所以=1-i, 所以iz+3=i(1+i)+3(1-i)=2-2i, 所以|iz+3. 16.答案　 解析　.　 17.答案　虚 解析　c2=|z1+z2|2=(z1+z2)() =|z1|2+|z2|2+z1z2 =a2+b2+ =a2+b2+b2, 故a2+b2-c2+b2=0, 方程两边同乘+a2=0, 这是一个关于的实系数一元二次方程, 又三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边, 所以Δ=(a2+b2-c2)2-4a2b2=(a2+b2-c2+2ab)(a2+b2-c2-2ab)=[(a+b)2-c2][(a-b)2-c2]=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)<0, 故为纯虚数. 高考模拟练 1.B　z=m2-1+(m+i2)·i=m2-1+(m-1)i,因为复数z为纯虚数,所以解得m=-1. 2.A　因为复数z1在复平面内对应的点为P,OP=5(O为坐标原点),所以z1≠0, 由sin θ+1=0, 令x=,则对于实系数一元二次方程x2-xsin θ+1=0,其判别式Δ=sin2θ-4<0, 解此方程可得x=, 所以,所以OQ=|z2|=|z1|=OP=5. 在△OPQ中,因为∠POQ不是定值,所以△OPQ的面积及周长,PQ均不是定值. 3.BC　设z=a+bi(a,b∈R),由z2+z+1=0得(a+bi)2+(a+bi)+1=0,即(a2-b2+a+1)+(2ab+b)i=0, 所以 所以z=-i,故A错误. 由z=-±=1,故B正确. 当z=-; 当z=-,故C正确. 因为z3-1=(z-1)(z2+z+1)=0,所以z3=1,所以z+z2+z3+…+z2 024=(z+z2+z3)+(z4+z5+z6)+…+(z2 020+z2 021+z2 022)+z2 023+z2 024=(z+z2+1)+z3(z+z2+1)+…+z2 019(z+z2+1)+z+z2=0+0+…+0+(-1)=-1,故D错误. 4.BCD　对于A,由题意知[z]=1表示模为1,在复平面位于实轴上方的复数,所以并不是一个圆,故A错误; 对于B,若z∈C,则[z]为一个实数,所以[z]2=-1无解,故B正确; 对于C,设z1=a+bi(a,b∈R,b≠0),则,故[z1]+[z2]=0,故C正确; 对于D,设z=c+di(c,d∈R),则[z-i]=[c+(d-1)i]=1,所以=1,且1≤d≤2, 故c2=1-(d-1)2,所以|z|=,2],故D正确. 5.答案　1 解析　因为f(f(z))=(z)2, 所以f(f(i))=(i·)2=[i·(-i)-i-(-i)]2=(-i2-i+i)2=12=1, 所以f(f(f(i)))=f(1)=0. 设f(i)=z1,z1为复数, 则f(f(f(i)))=f(f(z1))=(z1)2=0, 所以z1=0, 即(z1-1)(-1)=1,即|z1-1|=1,故|f(i)-1|=1. 6.答案　4+2 解析　由题意得Z(x,y),Z1(-2,0),Z2=(2,1). 由于+y2, 故|z-z1|=2|z-z2|即为(x+2)2+y2=4, 展开得x2+4x+4+y2=4x2+4x+4y2+1,化简得3x2+3y2=3,所以x2+y2=1, 故(x-y)2≤(x-y)2+(x+y)2=(x2+y2-2xy)+(x2+y2+2xy)=2(x2+y2)=2,所以x-y≤|x-y|=. 由, 所以3λ+2μ=2, 经验证,当x=. 所以3λ+2μ的最大值是4+2. 7.解析　(1)①=i, ②=i, ③=i.(选一个即可) (2)根据三个式子的结构特征及(1)的计算结果,可以得到=i(a,b∈R,且a,b不同时为零). 下面进行证明: =i. 素养评析　本题第(1)问主要体现了数学运算的核心素养,要求学生能够熟练掌握复数的相关运算;第(2)问考查了逻辑推理的核心素养,要求学生能够从多个式子中找出其中的内在联系,用式子表示出一般性结论并进行证明. 10 学科网（北京）股份有限公司 $