12.4 复数的三角形式（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（苏教版）

该高中数学课件聚焦复数的三角形式，系统涵盖辐角、辐角主值、三角形式定义、乘除运算及几何意义，通过知识辨析题导入，衔接复数代数形式，搭建从代数到三角的学习支架。 其亮点在于以知识辨析澄清易混概念，结合复平面几何意义培养数学眼光，通过运算推导训练数学思维，转化典例提升数学语言表达。如辨析复数0的辐角，典例1结合象限求辐角主值，助力学生深化理解，教师可高效开展概念教学与能力培养。

复数的三角形式 12.4 复数的三角形式❋ 必备知识 清单破 知识点 1 1.辐角 　　复数z=a+bi(a,b∈R)、复平面内的点Z(a,b)和平面向量 之间存在一一对应关系.如图, 以x轴的非负半轴为始边、向量 所在的射线(起点是原点O)为终边的角θ叫作复数z=a+bi (a,b∈R)的辐角.   第12章　复数 高中同步 2.辐角主值 　　我们把适合于0≤θ<2π的辐角θ的值叫作复数z=a+bi(a,b∈R)的辐角主值,记作arg z,即0 ≤arg z<2π.每一个非零的复数z=a+bi(a,b∈R)都有唯一确定的模与辐角主值;反过来,复数的 模与辐角主值可以唯一确定这个复数. 两个非零的复数相等,当且仅当它们的模与辐角主值分别相等. 设复数z=a+bi(a,b∈R,z≠0)的辐角为θ,则cos θ= ,sin θ= ,其中r= . 3.复数的三角形式 z=r(cos θ+isin θ) 其中r= ,cos θ= ,sin θ=  称为复数z的三角形式. 第12章　复数 高中同步 复数三角形式的乘、除运算 知识点 2 1.乘法运算法则 　　设z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),则z1z2=r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)= r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]. 这就是说,两个复数相乘,其积的模等于这两个复数的模的积,其积的辐角等于这两个复数的 辐角的和. 2.除法运算法则 　　设z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),且z2≠0,则 = = [cos(θ1-θ2)+ isin(θ1-θ2)]. 这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除 数的辐角减去除数的辐角所得的差. 第12章　复数 高中同步 复数乘、除法的几何意义 知识点 3 1.复数乘法的几何意义 　　如图,在复平面内分别画出与复数z1,z2对应的向量 , (假定θ1,θ2均取辐角主值,其他 取值不影响讨论),然后把向量 按逆时针方向旋转一个角θ2得 (模仍为r1),再把 的 模r1变为原来的r2倍,从而得到一个新的向量 , 所对应的复数r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]即 为z1z2,这就是复数乘法的几何意义.   第12章　复数 高中同步 2.复数除法的几何意义 　　在复平面内分别画出与复数z1,z2对应的向量 , ,然后把向量 按顺时针方向旋转 一个角θ2(θ2>0)得 (如果θ2<0,就要把 按逆时针方向旋转角|θ2|得 ),再把 的模r1 变为原来的 ,从而得到一个新的向量 , 所对应的复数 [cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]即为 , 这就是复数除法的几何意义. 第12章　复数 高中同步 知识辨析 1.复数0的辐角为0吗? 2.每一个复数都有唯一确定的辐角主值吗? 3.在复数z=r(cos θ+isin θ)中,r一定不等于0吗? 4.复数的辐角θ∈[0,2π)吗? 5.复数z=2没有三角形式,对吗? 第12章　复数 高中同步 一语破的 1.不是.对于复数0,它对应着零向量,而零向量的方向是任意的,所以复数0的辐角也是任意的. 2.不一定.复数0的模为0,辐角主值不确定,除0以外的复数,都有唯一确定的辐角主值. 3.不一定.r为复数的模,可以等于0,当r=0时,z=0. 4.不是.复数的辐角θ∈R,辐角主值arg z∈[0,2π). 5.不对.复数z=2的三角形式可以为z=2×(cos 0+isin 0). 第12章　复数 高中同步 关键能力 定点破 定点 1 复数的代数形式与三角形式的转化 1.复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位)的代数形式转化为三角形式的两个关键 (1)确定复数的模:利用公式r= ; (2)确定辐角:①先利用cos θ= 求出cos θ,再由复数在复平面内对应点的坐标(a,b)确定辐角θ 的终边所在象限,进而求出辐角θ;②先利用sin θ= 或tan θ= 求出sin θ或tan θ,再由复数在复 平面内对应点的坐标(a,b)确定辐角θ的终边所在象限,进而求出辐角θ. 2.复数的三角形式转化为代数形式 　　求出三角形式中的三角函数值,并使之与模相乘并化简即可. 第12章　复数 高中同步 典例1 (1)将复数z=-1+ i表示成三角形式为　　　                           ; (2)将复数z=6 表示成代数形式为　　　            . z=2     z=-3-3 i 解析    (1)由z=-1+ i可知其在复平面内对应的点为Z(-1, ),在第二象限,故辐角为第二象限 角. 又tan θ= =- ,∴arg z= . ∵r= =2, ∴复数z=-1+ i的三角形式为z=2 . (2)z=6 =6 =-3-3 i.     第12章　复数 高中同步 典例2 把下列复数表示成三角形式. (1)-2;(2)2-2 i;(3)-3i. 思路点拨    根据复数三角形式的定义求出r,θ即可. 解析    (1)r=2,cos θ= =-1,sin θ=0,θ可取π,所以-2=2(cos π+isin π). (2)r= =4,cos θ= = ,sin θ= =- ,θ可取 , 所以2-2 i=4 . (3)r=3,cos θ=0,sin θ=-1,θ可取 , 所以-3i=3 . 第12章　复数 高中同步 定点 2 三角形式下的复数的乘、除运算 1.两个复数的三角形式的乘法法则可简记为“模相乘,辐角相加”,并且可以推广如下: (1)有限个复数相乘,结论亦成立,即若z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),……,zn=rn(cos θn+ isin θn),则z1z2…zn=r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)·…·rn(cos θn+isin θn)=r1r2…rn[cos(θ1+θ2+…+θ n)+isin(θ1+θ2+…+θn)]. (2)当z1=z2=…=zn=r(cos θ+isin θ)时,[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ),这就是复数三角形式的 乘方法则,即“模乘方,辐角n倍”.     2.两个复数的三角形式的除法法则可简记为“模相除,辐角相减”. 第12章　复数 高中同步 典例 已知z1= (1- i),z2=sin  -icos  ,求z1z2和 . 解析    ∵z1= (1- i)=cos +isin , z2=sin  -icos  =cos +isin , ∴z1z2=cos +isin =-i,  =cos +isin = - i. 第12章　复数 高中同步 素养解读 　　与复数概念有关的问题通常是给出复数满足的条件求参数值(范围).解决这类问题时需 要把所给的复数化为代数形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,找到复数实部与虚部满足的条件,建立 关系式求解.复数的四则运算通常会和复数模的计算、复数的概念综合,解决问题的关键是 掌握复数的四则运算法则,有时需要先将已知式子变形,再利用复数代数形式的乘、除运算 法则进行计算,记住 =i, =-i,(1±i)2=±2i等结论可提高计算速度.在求解方程、式子变形 和乘除运算中发展数学运算的核心素养. 在复数的概念和四则运算中发展数学运算的核心素养 学科素养 情境破 素养 第12章　复数 高中同步 典例呈现 例题　已知复数z1=(i-a)2,z2=4-3i,其中a是实数. (1)若z1=iz2,求实数a的值; (2)若在复平面内,z1·z2所对应的点位于第二象限,求实数a的取值范围; (3)若 是纯虚数,a是正数,求 + + + +…+ 的值. 主编点评    本题涉及复数概念的综合以及i的乘方运算,关键是利用概念将问题转化成实数 问题去求解. 第12章　复数 高中同步 解题思路    (1)因为z1=(i-a)2,z2=4-3i,z1=iz2, 所以(i-a)2=i(4-3i),即a2-1-2ai=3+4i, 由复数相等的充要条件得  解得a=-2,所以实数a的值为-2. (2)z1·z2=(i-a)2·(4-3i)=(a2-1-2ai)·(4-3i)=(4a2-6a-4)-(3a2+8a-3)i, 因为在复平面内,z1·z2所对应的点位于第二象限, 所以 所以- <a< ,即实数a的取值范围是 . (3)依题意得 = =  =  第12章　复数 高中同步 =  = . 因为 是纯虚数,所以  所以a=-2或a= , 又因为a是正数,所以a= . 当a= 时,z1= =- -i, 所以 = =-i, 因为i1=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,……,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1(n∈N), 第12章　复数 高中同步 所以 + + + +…+  =(-i)+(-i)2+(-i)3+(-i)4+…+(-i)1 003 =(-i-1+i+1)+[(-i)5+(-i)6+(-i)7+(-i)8]+…+[(-i)1 001+(-i)1 002+(-i)1 003] =0+0+…+(-i-1+i) =-1, 所以 + + + +…+ =-1. 第12章　复数 高中同步 思维升华 求解有关复数的概念和四则运算的综合问题的一般思路 (1)认真阅读题设条件,明确运算形式和相关概念. (2)运用运算法则将所给复数化为z=a+bi(a,b∈R)的形式. (3)利用复数的相关概念建立关系式. (4)求解关系式,得出结论. 第12章　复数 高中同步 $