12.3 复数的几何意义（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（苏教版）

该高中数学课件聚焦复数的几何意义，涵盖复平面、复数与点及向量的对应关系、复数的模、加减法几何意义等核心知识点，通过知识辨析搭建学习支架，引导学生从概念理解过渡到应用，形成完整知识脉络。 其亮点在于以“知识辨析”培养数学眼光，通过易错点提问（如虚轴上点是否为纯虚数）发展抽象能力与几何直观，结合典例（如平行四边形顶点求解）和模的最值问题，用数学思维（推理能力）实现数形转化，帮助学生深化理解，也为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

复数的几何意义 12.3 复数的几何意义 必备知识 清单破 知识点 1 1.复平面 　　我们把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面,x轴叫作实轴,y轴叫作虚轴.实 轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 第12章　复数 高中同步 2.复数的几何意义 　　复数z=a+bi(a,b∈R)、复平面内的点Z(a,b)和平面向量 (O为坐标原点)间的关系如图 所示.   第12章　复数 高中同步 　　向量 的模叫作复数z=a+bi(a,b∈R)的模(或绝对值),记作|z|或|a+bi|.如果b=0,那么z=a+ bi就是实数a,它的模等于|a|(即实数a的绝对值).由模的定义可知|z|=|a+bi|= . 复数的模 知识点 2 第12章　复数 高中同步 复数加、减法的几何意义 知识点 3 1.复数加法的几何意义 如图1,设向量 , 分别与复数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R)对应,且 , 不共线,以OZ1,OZ2为 邻边画▱OZ1ZZ2,则对角线OZ所表示的向量 就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.   第12章　复数 高中同步 2.复数减法的几何意义 (1)如图2,若向量 , 分别与复数z1,z2对应,则它们的差z1-z2对应着向量 - ,即向量  .如果作 = ,那么点Z对应的复数就是z1-z2.   (2)设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1-z2=(a-c)+(b-d)i,故|z1-z2|=| |=| |= ,即 两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离. 第12章　复数 高中同步 知识辨析 1.在复平面内,实数对应的点都在实轴上,虚数对应的点都在虚轴上吗? 2.在复平面内,虚轴上的点所对应的复数一定是纯虚数吗? 3.复数的模一定为正数吗? 4.若|z1|=|z2|,则z1=z2一定成立吗? 5.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模 吗? 第12章　复数 高中同步 一语破的 1.不一定.实数对应的点都在实轴上,纯虚数对应的点都在虚轴上. 2.不一定.除原点外,虚轴上的点对应的复数才是纯虚数. 3.不一定.复数的模一定是非负实数. 4.不一定.|z1|=|z2|只能说明两个复数的模相等,如当z1=2+3i,z2=3+2i时,|z1|=|z2|,z1≠z2. 5.是. 第12章　复数 高中同步 关键能力 定点破 定点 1 复数加、减法的几何意义 1.复数加、减法的几何意义的应用 (1)形转化为数:利用复数加、减法的几何意义可以将复平面内几何图形中的点的坐标或向 量的坐标转化成复数,将几何图形的变换转化成复数的运算进行解题; (2)数转化为形:对一些复数运算给予几何解释,将复数作为工具运用于几何之中. 第12章　复数 高中同步 2.复数加、减法的几何意义的常见结论 　　在复平面内,设z1,z2对应的点分别为A,B,z1+z2对应的点为C,O为坐标原点(点O,A,B不共 线). (1)四边形OACB为平行四边形; (2)若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形; (3)若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形; (4)若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形. 第12章　复数 高中同步 典例 在复平面内,点A,B,C对应的复数分别为1+4i,-3i,2,O为坐标原点. (1)求向量 + , 对应的复数; (2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数. 思路点拨    (1)写出 , , 的坐标,得出 + 和 对应的坐标,求出对应的复数. (2)思路一:由平行四边形的性质得到BD的中点坐标,由中点坐标公式求出D的坐标,进而得解. 思路二:由 = + 得到 的坐标,再根据 = + 得出D的坐标,进而求出相应的复 数. 思路三:根据平行四边形的性质得到 = ,再根据向量相等得到D的坐标,进而求出相应的 复数. 第12章　复数 高中同步 解析    (1)由已知得 , , 所对应的复数分别为1+4i,-3i,2, 于是 =(1,4), =(0,-3), =(2,0), 因此 + =(1,1), = - =(1,-4), 故 + 对应的复数为1+i, 对应的复数为1-4i. (2)解法一:由已知得点A,B,C的坐标分别为(1,4),(0,-3),(2,0),则AC的中点坐标为 ,故由平 行四边形的性质知BD的中点坐标是 . 设D(x0,y0),则 解得  故D(3,7),故点D对应的复数为3+7i. 解法二:由(1)知 =(1,4), =(0,-3), =(2,0),所以 = - =(1,7), = - =(2,3). 第12章　复数 高中同步 易得 = + =(3,10), 所以 = + =(3,7),即D(3,7), 故点D对应的复数为3+7i. 解法三:由已知得点A,B,C的坐标分别为(1,4),(0,-3),(2,0),设D(x0,y0), 则有 =(-1,-7), =(2-x0,-y0). 因为四边形ABCD为平行四边形, 所以 = ,所以 解得  所以D(3,7),故点D对应的复数为3+7i. 第12章　复数 高中同步 定点 2 复数模的最值问题 1.两个复数的差的模|z1-z2|表示复数z1,z2在复平面内对应的点之间的距离;|z-z0|=r(r>0)表示在 复平面内以z0对应的点为圆心,r为半径的圆,以这两点为依据,我们在解决涉及复数模的最值 和点的集合所对应的图形问题时,均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判 断,然后通过几何方法进行求解. 2.复数模的两个重要性质 (1)||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|; (2)|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2. 第12章　复数 高中同步 典例1 复数z满足|z-1-i|=1,求|z+1+i|的最小值. 解析    因为|z-1-i|=|z-(1+i)|=1,所以由复数减法的几何意义可知,在复平面内,z对应的点的集合 是以点(1,1)为圆心,1为半径的圆,而|z+1+i|=|z-(-1-i)|表示该圆上的点到点(-1,-1)的距离, 所以|z+1+i|min= -1(圆心(1,1)到点(-1,-1)的距离减去半径) =2 -1. 规律总结 　　|z-(a+bi)|(a,b∈R)表示复平面内复数z对应的点到复数a+bi对应的点的距离;而|z+(a+bi)| 表示复平面内复数z对应的点与-a-bi对应的点之间的距离. 第12章　复数 高中同步 典例2 若复数z满足|z+i|+|z-i|=2,求|z+i+1|的最小值. 解析    解法一:设复数-i,i,-(1+i)在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,如图,   因为|z+i|+|z-i|=2,即|Z1Z2|=2, 所以复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2. 问题转化为动点Z在线段Z1Z2上移动时,求|ZZ3|的最小值,由图可知|Z1Z3|为其最小值且最小值 为1. 解法二:设z=x+yi(x,y∈R). 因为|z+i|+|z-i|=2, 第12章　复数 高中同步 所以 + =2, 又 =2- ≥0, 所以0≤ ≤2, 因为 =2- , 所以两边平方可得1-y= , 即(1-y)2=x2+(y-1)2,且0≤1-y≤2, 所以x=0且-1≤y≤1,则z=yi(-1≤y≤1). 所以|z+i+1|=|1+(y+1)i|= ≥1,当且仅当y=-1,即z=-i时等号成立. 所以|z+i+1|的最小值为1. 第12章　复数 高中同步 $