12.3 复数的几何意义（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

12.3 复数的几何意义 (教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学) 课时目标 1.了解复平面的概念,理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系. 2.掌握用向量的模来表示复数的模的方法,会求复数的模,并能解决相关的问题. 3.了解复数加、减运算的几何意义,能利用其几何意义解答平面几何问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.复平面与复数的几何意义 (1)复平面:我们把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作_______, x轴叫作实轴, y轴叫作虚轴. (2)复数的几何意义 复平面 (3)复数的模 ①定义:向量的模叫作复数z=a+bi的模(或绝对值),记作|z|或|a+bi|. 如果b=0,那么z=a+bi就是实数a,它的模等于|a|(即实数a的绝对值). ②计算公式:|z|=|a+bi|=____________. 2.复数加法、减法的几何意义 (1)加法的几何意义 如图,设向量,分别与复数a+bi,c+di对应,且,不共线,以,为两条邻边画▱OZ1ZZ2,则对角线OZ所表示的向量就是与复数_______________对应的向量.这就是复数加法的几何意义. (a+c)+(b+d)i (2)减法的几何意义 如图,若向量,分别与复数z1,z2对应,则它们的________对应着向量-,即向量.如果作=,那么点Z对应的复数就是______.这就是复数减法的几何意义. 差z1-z2 z1-z2 (3)复数模的几何意义 设z1=a+bi,z2=c+di,则z1-z2=(a-c)+(b-d)i,故|z1-z2|=||=||= _______________________. 这表明:两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离. 基础落实训练 1.已知复数z的实部为-1,虚部为2,则|z|= (　　) A.2 B.5 C. D.4 2.已知复数z=-i,复平面内对应点Z的坐标为 (　　) A.(0,-1) B.(-1,0) C.(0,0) D.(-1,-1) 解析:复数z=-i的实部为0,虚部为-1,故复平面内对应点Z的坐标为(0,-1). √ √ 3.已知向量对应的复数为2-3i,向量对应的复数为3-4i,则向量对应的复数为　　　　.  解析:=-=(3-4i)-(2-3i)=1-i. 1-i 4.在复平面内,O是原点,,,对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,那么对应的复数为　　　　.   解析:=-=-(+) =3+2i-(-2+i+1+5i) =(3+2-1)+(2-1-5)i =4-4i. 4-4i 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　复数与复平面内的点、向量的关系 [例1]　(1)已知z=(2+i)i,其中i为虚数单位,则在复平面内z的共轭复数对应的点位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:因为z=2i+i2=-1+2i,所以=-1-2i.所以对应的点(-1,-2)位于第三象限.故选C. √ (2)向量对应的复数是5-4i,向量对应的复数是-5+4i,则+对应的复数是(　　) A.-10+8i B.10-8i C.0 D.10+8i 解析:因为向量对应的复数是5-4i,向量对应的复数是-5+4i,所以=(5,-4),=(-5,4).所以+=(5,-4)+ (-5,4)=(0,0).所以+对应的复数是0.故选C. √ |思|维|建|模| 1.利用复数与点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的根据. (2)列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解. 2.复数与平面向量的对应关系 (1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原点时, 向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之,复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量. (2)解决复数与平面向量一一对应的题目时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化. 针对训练 1.复数4+3i与-2-5i分别表示向量与,则向量表示的复数是　　　　. 解析:因为复数4+3i与-2-5i分别表示向量与,所以=(4,3), =(-2,-5).又=-=(-2,-5)-(4,3)=(-6,-8),所以向量表示的复数是-6-8i. -6-8i 2.已知i为虚数单位,实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点: (1)位于第四象限; 解:要使复数z在复平面内对应的点位于第四象限,需满足 ∴∴-7<m<3. 故满足条件的实数m的取值范围为(-7,3). (2)在实轴负半轴上; 解:要使复数z在复平面内对应的点在实轴负半轴上,需满足 ∴∴m=4. (3)位于上半平面(含实轴)? 解:要使复数z在复平面内对应的点位于上半平面(含实轴),需满足m2+3m-28≥0,解得m≥4或m≤-7. 故满足条件的实数m的取值范围为(-∞,-7]∪[4,+∞). 题型(二)　复数模的计算及其应用 [例2]　已知复数z1=+i,z2=-+i. (1)求|z1|及|z2|并比较大小; 解:因为|z1|=|+i|==2,|z2|== =1,所以|z1|>|z2|. (2)设z∈C,满足条件|z|=|z1|的复数z对应的点Z的集合是什么图形? 解:法一　设z=x+yi(x,y∈R),则点Z的坐标为(x,y). 由|z|=|z1|=2,得 =2,即x2+y2=4. 所以满足条件的点Z的集合是以原点为圆心,2为半径的圆. 法二　由|z|=|z1|=2知||=2(O为坐标原点), 所以Z到原点的距离为2.所以满足条件的点Z的集合是以原点为圆心, 2为半径的圆. |思|维|建|模| 　　解决复数模的几何意义的问题,应把握两个关键点:一是|z|表示点Z到原点的距离,可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形;二是利用复数模的概念,把模的问题转化为几何问题来解决. 针对训练 3.设z∈C,则在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域的面积是 (　　) A.5π B.9π C.16π D.25π 解析:满足条件|z|=3的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径为3的圆.满足条件|z|=5的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径为5的圆,则在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域为圆环,如图中阴影部分区域所示,在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域的面积是π×(52-32)=16π.故选C. √ 4.(多选)已知z1,z2是复数,以下结论正确的是 (　　) A.若z1+z2=0,则z1=0,且z2=0 B.若|z1|+|z2|=0,则z1=0,且z2=0 C.若|z1|=|z2|,则向量和重合 D.若|z1-z2|=0,则= 解析:z1+z2=0只能说明z1=-z2,A错误; |z1|+|z2|=0说明|z1|=|z2|=0,即z1=z2=0,B正确; |z1|=|z2|说明||=||,但与方向不一定相同,C错误; |z1-z2|=0,则z1=z2,故=,D正确.故选BD. √ √ 题型(三)　复数加、减运算的几何意义的应用 [例3]　如图所示,平行四边形OABC的顶点O, A,C对应复数分别为0,3+2i,-2+4i,试求: (1)所表示的复数,所表示的复数; 解:∵=-,∴所表示的复数为-3-2i. ∵=,∴所表示的复数为-3-2i. (2)对角线所表示的复数; 解:∵=-,∴所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)对角线所表示的复数及的长度. 解:对角线=+,它所对应的复数z=(3+2i)+(-2+4i)=1+6i, ||==. |思|维|建|模| 1.用复数加减法的几何意义解题的技巧 (1)形转化为数:利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理. (2)数转化为形:对于一些复数运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用于几何之中. 2.常见结论 在复平面内,z1,z2对应的点分别为A,B(O,A,B不共线),z1+z2对应的点为C,O为坐标原点,则四边形OACB为平行四边形;若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形;若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形. 针对训练 5.已知△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|= |z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的 (　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析:由复数模及复数减法运算的几何意义,结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A,B,C的距离相等,所以P为△ABC的外心. √ 6.已知平行四边形ABCD中,与对应的复数分别是3+2i与1+4i,两对角线AC与BD相交于O点. (1)求对应的复数; 解:由于四边形ABCD是平行四边形, 所以=+,于是=-, 而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i, 即对应的复数是-2+2i. (2)求对应的复数. 解:由于=-,而(3+2i)-(-2+2i)=5,所以对应的复数是5. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.(2024·新课标Ⅱ卷)已知z=-1-i,则|z|=(　　) A.0 B.1 C. D.2 解析:由z=-1-i,得|z|==. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.在复平面内,复数1+i的共轭复数所对应的点位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:∵复数1+i的共轭复数为1-i,∴其对应的点(1,-1)位于第四象限. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.在复平面内,O是原点,向量对应的复数为5+3i,与关于虚轴对称,则点B对应的复数是(　　) A.5-3i B.-5-3i C.5+3i D.-5+3i 解析:设向量对应的复数为a+bi,则对应复平面的坐标为.因为向量对应的复数为5+3i,所以对应复平面的坐标为.因为与关于虚轴对称,所以a=-5,b=3,即向量对应的复数为-5+3i.因为点O为坐标原点,所以点B对应的复数是-5+3i.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面内对应的点在同一条直线上,则实数a的值为 (　　) A.5 B.-2 C.-5 D. 解析:设复数3-5i,1-i,-2+ai对应的向量分别为,,(O为坐标原点), 则=(3,-5),=(1,-1),=(-2,a).∵A,B,C三点共线,∴=t,即-=t(-).∴(-2,4)=t(-3,a+1).∴解得故实数a的值为5.故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.(多选)已知复数z满足z(2-i)=i(i为虚数单位),复数z的共轭复数为,则(　　) A.|z|= B.=- C.复数z的实部为-1 D.复数z对应复平面上的点在第二象限 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:因为复数z满足z(2-i)=i,所以z===-+i, 所以|z|==,故A错误; =--i,故B正确; 复数z的实部为-,故C错误; 复数z对应复平面上的点在第二象限,故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.若复数z的共轭复数是2+3i,则|z|=　　　　. 解析:易得复数z=2-3i,则|z|= =. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.在复平面内表示复数z=(m-3)+2i的点在直线y=x 上,则实数m的值为　　　　.  解析:∵z=(m-3)+2i表示的点在直线y=x上,∴m-3=2,解得m=9. 9 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.已知复数z满足|z|-z=1-3i,则|z|=　　　　.  解析:设z=a+bi,a,b∈R,则|z|=.因为|z|-z=1-3i,所以-a-bi=1-3i.所以解得即z=4+3i.所以|z|==5. 5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(10分)在复平面内画出下列复数对应的向量,并求出各复数的模:z1=1-i; z2=-+i;z3=-2;z4=2+2i. 解:在复平面内分别画出点Z1(1,-1),Z2, Z3(-2,0),Z4(2,2),则向量,,, 分别为复数z1,z2,z3,z4对应的向量,如图所示. 各复数的模分别为|z1|==; |z2|==1;|z3|==2;|z4|==2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(12分)实数x取什么值时,复平面内表示复数z=x2+x-6+(x2-2x-15)i的点Z: (1)位于第三象限; 解:因为x是实数,所以x2+x-6,x2-2x-15也是实数. 当实数x满足 即-3<x<2时,点Z位于第三象限. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)位于第四象限; 解:当实数x满足 即2<x<5时,点Z位于第四象限. (3)位于直线x-y-3=0上. 解:当实数x满足(x2+x-6)-(x2-2x-15)-3=0,即3x+6=0,x=-2时,点Z位于直线x-y-3=0上.所以x=-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.已知i为虚数单位,a为实数,复数z=a+2+(1-2a)i在复平面内对应的点为M,则“a>”是“点M在第四象限”的(　　) A.充分且不必要条件 　　B.必要且不充分条件 C.充要条件 　　D.既不充分又不必要条件 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:当a>时,a+2>>0,1-2a<0,所以点M在第四象限;若点M在第四象限,则解得a>.所以“a>”是“点M在第四象限”的充要条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.已知复数2+i是关于x的方程x2-ax-b=0(a,b∈R)的一个解,则复数z=a+bi在复平面内对应的点位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:因为复数2+i是关于x的方程x2-ax-b=0的一个解,所以方程的另一解为2-i.由根与系数的关系可得解得所以复数z=a+bi在复平面内对应的点为(4,-5),在第四象限.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(多选)关于x的方程x2=-4的复数解为z1,z2,则 (　　) A.z1·z2=-4 B.z1与z2互为共轭复数 C.若z1=2i,则满足z·z1=2+i的复数z在复平面内对应的点在第二象限 D.若|z|=1,则|z-z1·z2|的最小值是3 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:因为(±2i)2=-4,所以不妨令方程x2=-4的复数解z1=2i,z2=-2i. z1·z2=2i·(-2i)=4,A错误; z1与z2互为共轭复数,B正确; z1=2i,由z·z1=2+i,得z====-i,则复数z在复平面内 对应的点在第四象限,C错误; 设z=x+yi(x,y∈R),由|z|=1,得x2+y2=1,显然有-1≤x≤1,由选项A知z1·z2=4,因此|z-z1·z2|=|(x-4)+yi|==≥3, 当且仅当x=1,即z=1时取等号,D正确.故选BD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.在复平面中,点O为坐标原点,记,,表示的复数分别为2+i, -1+2i,1-2i,记z为所表示的复数,则z·=　　　　.  解析:因为,,表示的复数分别为2+i,-1+2i,1-2i, 所以=(2,1),=(-1,2),=(1,-2). 所以=-=(-1,2)-(2,1)=, 则=-=(-3,1)-(1,-2)=(-4,3), 那么z=-4+3i.所以z·=25. 25 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(14分)在复平面内,点A,B,C对应的复数分别为1+4i,-3i,2, O为复平面的坐标原点. (1)求向量 +,对应的复数; 解:由复数的几何意义,得=(1,4),=(0,-3),=(2,0). 所以+=(1,4)+(0,-3)=(1,1),=-=(2,0)-(1,4)=(1,-4).所以+对应的复数是1+i,对应的复数是1-4i. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数. 解:法一　由已知得点A,B,C的坐标分别为(1,4),(0,-3),(2,0),则AC的中点为.由平行四边形的性质知BD的中点也是.设D(x0,y0), 则解得所以D(3,7).故顶点D对应的复数为3+7i. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 法二　由(1)知=(1,4),=(0,-3),=(2,0),所以=(1,7),=(2,3). 由平行四边形的性质得=+=(3,10),而=(0,-3),于是D(3,7),故顶点D对应的复数为 3+7i. $$