10.1.3 两角和与差的正切（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（苏教版）

10.1.3　两角和与差的正切 基础过关练 题组一　给角求值 1.(2024江苏南通海门中学学情调研)计算:=(　　) A.- 2.(2025江苏苏州中学月考)tan 67.5°-tan 22.5°的值为(　　) A.2　　　　B.2　　　　 C.2 3.(2025江苏常州联盟学校学情调研)下列各式结果为2的有(　　) A.tan 15°+tan 75° B.tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°tan 60° C.(1+tan 5°)(1+tan 40°) D. 题组二　给值求值 4.(2024江苏南京师范大学附属中学期中)已知角α的顶点为坐标原点O,始边与x轴的非负半轴重合.若角α的终边绕着原点按顺时针方向旋转后经过点(1,2),则tan α=(　　) A.-3　　　　B.-　　　　 C.　　　　D.3 5.(2025江苏马坝高级中学月考)若tan β=3,tan(α-β)=-2,则tan α=(　　) A.　　　　C.1　　　　D.-1 6.(2024江西抚州金溪第一中学月考)如图,AB=BD,AB⊥BD,C为BD的中点,E为AC的中点,则tan∠CED=(　　) A. 7.(2024江苏淮安高中校协作体期末)已知tan=2,tan(α+β)=-3,则tan=(　　) A.1　　　　B.-1　　　　C.- 8.(2025江苏南京师范大学附属中学阶段性检测)在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值是　　　　.  题组三　给值求角 9.(教材习题改编)设tan α,tan β是方程x2+6x+7=0的两根,且α,β∈,则α+β=(　　) A.　　　　 C.或- 10.(2025河南郑州期末)在△ABC中,已知tan A·tan B-tan A-tan B=1,则角C=　　　　.  11.(2025江苏常州高级中学阶段检测)在△ABC中,若tan A+tan B+tan Atan B=,则C=　　　　.  能力提升练 题组一　利用两角和与差的正切公式求值 1.已知cos(π+θ)=cos2θ-sin2θ,且sin θ≠0,则tan的值为(　　) A. C.2- 2.(多选题)(2024江苏镇江中学学情检测)已知α,β∈,且sin β=2cos(α+β)sin α,则以下结论正确的是(　　) A.tan(α+β)=3tan α　　　　B.tan β有最大值 C.tan β有最大值　　　　D.tan β有最小值 3.(2025吉林BEST合作体期末)已知α为第一象限角,sin,则tan(α+β)=　　　　.  4.(2025江苏常州田家炳中学期中)已知,则sin4θ+cos4θ=　　　　.  5.(2025江苏南京六校联合体月考)在斜△ABC中,A为锐角,且满足3sin(2B+C)=-sin C,则的最小值为　　　　.  6.(2025江苏苏州星海实验中学月考)如图,正方形ABCD的边长为1,P,Q分别为边AB,AD延长线上的点,∠DCQ=α,∠BCP=β,且α+β=45°,则PQ的长的最小值为　　　　.  题组二　利用两角和与差的正切公式求角 7.(2025江苏启东中学月考)已知α和β均为锐角,且sin(α+β)=2sin(α-β),则(　　) A.α-β有最小值　　　　B.α-β有最大值 C.α-β有最小值　　　　D.α-β有最大值 8.(2025江苏南通、镇江期中)使得(sin 11°-cos 11°)tan θ=sin 11°+cos 11°成立的θ的一个值为　　　　.  9.若△ABC的三个内角A,B,C满足:2B=A+C,且A<B<C,tan Atan C=2+,求A,B,C的大小. 答案与分层梯度式解析 10.1.3　两角和与差的正切 基础过关练 1.D　. 2.A　tan 67.5°-tan 22.5° =tan(45°+22.5°)-tan(45°-22.5°) = = = =2tan 45°=2. 3.C　对于A,tan 15°+tan 75°=tan(45°-30°)+tan(45°+30°)= ==4,故A错误; 对于B,tan 60°=tan(20°+40°)=, 所以tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°=, 即tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°tan 60°=,故B错误; 对于C,(1+tan 5°)(1+tan 40°)=1+tan 5°+tan 40°+tan 5°tan 40°=1+(1-tan 5°tan 40°)+tan 5°tan 40°=2,故C正确; 对于D,=tan(45°-15°)=tan 30°=,故D错误. 技巧点拨　“1”的代换:在与T(α±β)有关的分式中,若分子上出现了“1”,则常利用“1=tan. 4.A　设旋转后的角为β,则β=α-,tan β=2, 所以tan α=tan=-3. 5.A　tan α=tan[(α-β)+β]=. 6.C　取BC的中点F,连接EF,则EF∥AB. 设AB=BD=4,则EF=2,CF=1,DF=3, 因为AB⊥BD,所以EF⊥BD, 所以tan∠DEF=, 则tan∠CED=tan(∠DEF-∠CEF) =. 7.A　因为tan=2,tan(α+β)=-3, 所以tan ==1. 8.答案　8 解析　由sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C得tan B+tan C=2tan Btan C, 又tan A=-tan(B+C)=, 所以tan Atan Btan C=tan A+tan B+tan C=tan A+2tan Btan C≥2,则tan Atan Btan C≥8,当且仅当tan A=2tan Btan C时取等号,故tan Atan Btan C的最小值为8. 解后反思　消元与降次是高中数学常用的解题技巧,利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题的突破口,斜三角形ABC中恒有tan Atan Btan C=tan A+tan B+tan C. 9.B　因为tan α,tan β是方程x2+6x+7=0的两根, 所以tan α+tan β=-6,tan αtan β=7, 所以tan α<0,tan β<0, 因为α,β∈,所以α+β∈(-π,0), 则tan(α+β)=, 所以α+β=-. 10.答案　 解析　由tan Atan B-tan B=1, 得, 又A+B∈(0,π),所以A+B=. 11.答案　 解析　因为tan A+tan B+, 所以tan Atan B≠1. (点拨:若tan Atan B=1,则tan A+tan B=0,又A,B为三角形内角,所以A,B互补,显然不成立,故tan Atan B≠1)  解法一:因为tan(A+B)==-tan C, 所以tan A+tan B=-tan C(1-tan Atan B). 又tan A+tan B+, 所以tan A+tan B=(1-tan Atan B), 所以-tan C(1-tan Atan B)=(1-tan Atan B), 所以tan C=-. 解法二:因为tan A+tan B+, 所以tan(A+B)=, 所以tan C=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-, 所以C=. 能力提升练 1.D　∵cos(π+θ)=cos2θ-sin2θ, ∴(-cos θ)=cos2θ-sin2θ, ∴-cos θ(sin θ-cos θ)=(cos θ-sin θ)(cos θ+sin θ), ∴sin θ(cos θ-sin θ)=0, ∵sin θ≠0,∴cos θ-sin θ=0,∴tan θ=1, ∴tan. 2.AC　对于A,因为sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)·cos α-cos(α+β)sin α,且sin β=2cos(α+β)sin α, 所以sin(α+β)cos α=3cos(α+β)sin α,易知cos(α+β),cos α≠0,则tan(α+β)=3tan α,故A正确; 对于B,C,D,令tan α=t,则tan(α+β)=3tan α=3t, 因为α∈,所以tan α>0,则t>0, 所以tan β=tan[(α+β)-α]=, 当且仅当3t=,故C正确,B,D错误. 3.答案　 解析　∵α是第一象限角,∴2kπ<α<2kπ+,k∈Z, ∴2kπ-,k∈Z, 又∵sin,∴2kπ<α-,k∈Z, ∴cos, 则tan, ∴tan(α+β)=tan =. 4.答案　 解析　tan(θ-2θ)==-tan θ,故tan θ-tan 2θ=-tan θ(1+tan θtan 2θ), 因此, 所以tan 2θ, 故, 即2tan2θ+5tan θ+2=0,故tan θ=-2或tan θ=-, 当tan θ=-2时,sin θcos θ=, 当tan θ=-, 故sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2×. 5.答案　 解析　由3sin(2B+C)=-sin C,得3sin[(B+C)+B]=-sin[(B+C)-B],　 ∴3sin(B+C)cos B+3cos(B+C)sin B=-sin(B+C)cos B+cos(B+C)sin B, ∴2sin(B+C)cos B=-cos(B+C)sin B, ∴2tan(B+C)=-tan B, 又∵A+B+C=π,∴tan B=-2tan(π-A)=2tan A, ∴tan C=-tan(A+B)=-, ∵A为锐角,∴tan A>0, ∴, 当且仅当时等号成立. 故答案为. 6.答案　2 解析　依题意得DQ=CDtan α=tan α,BP=BCtan β=tan β,显然tan α>0,tan β>0, 由α+β=45°得tan(α+β)==1, 即tan α+tan β=1-tan αtan β,整理得(1+tan α)(1+tan β)=2, 在Rt△PAQ中,PQ==2, 当且仅当tan α=tan β,即α=β=22.5°时取等号, 所以PQ的长的最小值为2. 7.B　因为sin(α+β)=2sin(α-β), 所以sin αcos β+cos αsin β=2(sin αcos β-cos αsin β), 即sin αcos β=3cos αsin β, 又α和β均为锐角,所以cos αcos β≠0,tan αtan β≠0,α-β∈, 所以tan α=3tan β且tan β>0, 则tan(α-β)=, 因为y=tan x在. 8.答案　-56°(答案不唯一,满足θ=-56°+k·180°,k∈Z即可) 解析　∵(sin 11°-cos 11°)tan θ=sin 11°+cos 11°, ∴tan θ==-tan(45°+11°)=-tan 56°=tan(-56°),　 ∴θ=-56°+k·180°,k∈Z. 故答案为-56°(答案不唯一,满足θ=-56°+k·180°,k∈Z即可). 9.解析　由题意知 ∴B=60°,A+C=120°. ∵tan Atan C=2+, ∴tan A+tan C=tan(A+C)(1-tan Atan C) =tan 120°×(1-2-×(-1-. ∴tan A,tan C可作为一元二次方程x2-(3+=0的两个不同的实数根, 易得该方程的两个实数根分别为1和2+, 又∵0°<A<B<C<180°, ∴tan A=1,tan C=2+, ∴A=45°,C=75°. ∴A,B,C的大小分别为45°,60°,75°. 方法技巧　两角和与差的正切公式有两种变形形式:①tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β);②1∓tan αtan β=.当α±β为特殊角时,常考虑使用变形形式①,遇到1与正切的乘积的和(差)时常用变形形式②. 12 学科网（北京）股份有限公司 $