10.1.3两角和与差的正切同步练习-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

10.1.3　两角和与差的正切 基础过关练 题组一　给角求值 1.(2022江苏淮阴中学期末)求值:tan 15°+=(　　) A.4　　B. 2.(2024江苏南通海门中学学情调研)计算:=(　　) A.- 3.(2024江苏扬州新华中学期中)计算:tan 73°-tan 13°-tan 73° ·tan 13°=　　　　.  题组二　给值求值 4.(2024江苏南京师范大学附属中学期中)已知角α的顶点为坐标原点O,始边与x轴的非负半轴重合.若角α的终边绕着原点按顺时针方向旋转后经过点(1,2),则tan α=(　　) A.-3　　B.-　　D.3 5.(2024广东梅州梅县东山中学期中)已知θ为第二象限角,且cos(θ+π)==(　　) A.-7　　B.-　　D.7 6.(2024江苏淮安高中校协作体期末)已知tan=(　　) A.1　　B.-1　　C.- 7.(2024江西抚州金溪第一中学月考)如图,AB=BD,AB⊥BD,C为BD的中点,E为AC的中点,则tan∠CED=(　　) A. 8.(2024青海部分学校联考)若α+β=,tan α=2,则tan β=　　　　.  题组三　给值求角 9.(2022江苏宿迁泗阳实验高级中学阶段测试)已知sin α=,且α为锐角,tan β=-3,且β为钝角,则α+β的值为(　　) A. 10.已知tan α,tan β是方程x2+3,则α+β=(　　) A.- C.- 11.(2024内蒙古鄂尔多斯达拉特旗第一中学开学考试)已知角α,β∈(0,π),tan(α+β)=,则2α+β=(　　) A. C. 能力提升练 题组一　利用两角和与差的正切公式求值 1.已知的值为(　　) A. C.2- 2.(2023江苏南京师大附中开学考试)我国古代数学典籍《九章算术》卷九“勾股”中有一测量问题:“今有立木,系索其末,委地三尺.引索却行,去本八尺而索尽,问索长几何?”这个问题体现了古代对直角三角形的研究.现有一竖立的木柱子,其高为4米,绳索系在柱子上端,牵着绳索退行,当绳索与地面的夹角为75°时,绳索未用尽,再退行4米,绳索用尽(绳索与地面接触),则绳索的长为(　　) A.3米 C.5米 3. (多选题)(2024江苏镇江中学学情检测)已知α,β∈,且 sin β=2cos(α+β)sin α,则以下结论正确的是(　　) A.tan(α+β)=3tan α　　B.tan β有最大值 C.tan β有最大值 4.(2022江苏南通期末)△ABC中,若A,B∈,sin C=sin Asin B,则tan(A+B)的取值范围是(　　) A. C. 5.(2024贵州凯里第一中学二模)已知0<α<β<π,且sin(α+β)=2cos(α+β),sin αsin β-3cos α·cos β=0,则tan(α-β)=　　　　.  6.(2024上海交通大学附属中学阶段测试)已知△ABC中,A,B,C为其三个内角,且tan A,tan B,tan C都是整数,则tan A+tan B+tan C=　　　　.　  题组二　利用两角和与差的正切公式求角 7.(2024新疆乌鲁木齐第二十三中学月考)已知α,β均为锐角,且满足=2cos α,则α-β的最大值为(　　) A. C. 8.(2024湘豫名校联考)已知角α,β满足β≠kπ,α+β≠kπ(k∈Z),tan(α+β) ·cos β=sin β+tan αcos β,则sin α=　　　　　.  9.若△ABC的三个内角A,B,C满足:2B=A+C,且A<B<C, tan Atan C=2+,求A,B,C的大小. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1. A　∵tan 15°=tan(45°-30°)= =4. 故选A. 2.D　.故选D. 技巧点拨　“1”的代换:在与T(α±β)有关的分式中,若分子上出现了“1”,则常利用“1=tan. 3.答案　 解析　因为tan 60°=tan(73°-13°)=, 所以tan 73°-tan 13°=(1+tan 73°tan 13°), 所以tan 73°-tan 13°-. 技巧点拨　若待化简或求值的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α· tan β”两个整体,则常考虑应用tan(α±β)的变形公式来解决. 4.A　设旋转后的角为β,则β=α-,tan β=2, 所以tan α=tan=-3.故选A. 5.D　因为θ为第二象限角,且cos(θ+π)=-cos θ=, 所以cos θ=-, 则tan θ=, 所以tan=7. 故选D. 6.A　因为tan=2,tan(α+β)=-3, 所以tan ==1.故选A. 7.C　取BC的中点F,连接EF. 设AB=BD=4,则EF=2,CF=1,DF=3,且EF∥AB. 因为AB⊥BD,所以EF⊥BD, 所以tan∠DEF=, 则tan∠CED=tan(∠DEF-∠CEF)=. 故选C. 8.答案　3 解析　因为α+β==3. 9.B　由题意得cos α=, 所以tan α=. 所以tan(α+β)==-1. 易得α+β∈.故选B. 10.C　因为tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两个不等实根, 所以 则tan(α+β)=, 又α,β∈. 故选C. 11.A　因为角β∈(0,π),cos β=上单调递增, 所以β∈, 而tan α=tan[(α+β)-β]=, 所以tan(2α+β)=tan[(α+β)+α]==1, 又2α+β∈.故选A. 能力提升练 1.D　∵cos(π+θ)=cos2θ-sin2θ, ∴(-cos θ)=cos2θ-sin2θ, ∴-cos θ(sin θ-cos θ)=(cos θ-sin θ)(cos θ+sin θ), ∴sin θ(cos θ-sin θ)=0, ∵sin θ≠0,∴cos θ-sin θ=0,∴tan θ=1, ∴tan.故选D. 2.B　如图,AB⊥BD,AB=4,CD=4,∠ACB=75°, 则∠CAB=90°-75°=15°, 所以BC=ABtan∠CAB=4tan 15°=4tan(45°-30°) =4×, 所以BD=BC+CD=8, 所以AD=, 故绳索的长为4米.故选B. 3.AC　对于A,因为sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)·cos α-cos(α+β)sin α,且sin β=2cos(α+β)sin α, 所以sin(α+β)cos α=3cos(α+β)sin α,易知cos(α+β),cos α≠0,则tan(α+β)=3tan α,故A正确; 对于B,C,D,令tan α=t,则tan(α+β)=3tan α=3t, 因为α∈,所以tan α>0,则t>0, 所以tan β=tan[(α+β)-α]=, 当且仅当3t= ,故C正确,B,D错误.故选AC. 4.A　 思路分析　 解析　∵A,B∈,∴cos Acos B≠0, ∵sin C=sin Asin B,即sin(A+B)=sin Asin B, ∴sin Acos B+cos Asin B=sin Asin B, 两边同时除以cos Acos B,得tan A+tan B=tan Atan B, ∴tan(A+B)= =,∴tan A,tan B>0, ∴tan A+tan B≥2,当且仅当tan A=tan B时等号成立, ∴tan Atan B≥4, ∴0<, ∴-<-1, 即tan(A+B)的取值范围是.故选A. 5.答案　- 解析　∵sin αsin β-3cos αcos β=0, ∴sin αsin β=3cos αcos β, ∴tan αtan β=3①, ∵sin(α+β)=2cos(α+β),∴tan(α+β)=2⇒=2, ∴tan α+tan β=-4②, 由①②解得 ∵0<α<β<π,∴tan α<tan β, ∴. 6.答案　6 解析　在△ABC中,不妨令A≤B≤C,显然A为锐角,且tan A>0,又tan A是整数,故tan A≥1且tan A∈Z. 若tan A≥2,tan A∈Z,因为2>, 此时A+B+C≥3A>π,与A+B+C=π矛盾,因此tan A=1,则A=, 则tan(B+C)==-1, 整理得(tan B-1)(tan C-1)=2, 又tan B,tan C都是整数,且tan B≤tan C,所以tan B=2,tan C=3, 所以tan A+tan B+tan C=6. 7.B　由=2cos α,得sin(α-β)=2cos αsin β, 即sin αcos β-cos αsin β=2cos αsin β,即sin αcos β=3cos αsin β, 易知cos α,cos β≠0,则tan α=3tan β, 由β为锐角,得tan β>0,所以tan(α-β)=, 当且仅当时等号成立, 由题得α-β∈. 故选B. 8.答案　0 解析　由已知得[tan(α+β)-tan α]cos β=sin β,显然cos β≠0,否则sin β=0,与sin2β+cos2β=1矛盾, 则tan(α+β)-tan α=tan β,即tan(α+β)=tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β), 于是tan(α+β)tan αtan β=0,而β≠kπ,α+β≠kπ(k∈Z),即tan(α+β)tan β≠0, 因此tan α=0,所以sin α=0. 9.解析　由题意知 ∴B=60°,A+C=120°. ∵tan Atan C=2+, ∴tan A+tan C=tan(A+C)(1-tan Atan C) =tan 120°×(1-2-) =-. ∴tan A,tan C可作为一元二次方程x2-(3+=0的两个不同的实数根, 易得该方程的两个实数根分别为1和2+, 又∵0°<A<B<C<180°, ∴tan A=1,tan C=2+, ∴A=45°,C=75°. ∴A,B,C的大小分别为45°,60°,75°. 方法技巧　两角和与差的正切公式有两种变形形式:①tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β);②1∓tan αtan β=.当α±β为特殊角时,常考虑使用变形形式①,遇到1与正切的乘积的和(差)时常用变形形式②. 13 学科网（北京）股份有限公司 $$