10.1.1 两角和与差的余弦（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（苏教版）

第10章　三角恒等变换 10.1　两角和与差的三角函数 10.1.1　两角和与差的余弦 基础过关练 题组一　给角求值 1.(2025江苏南京师范大学附属实验学校月考)已知a=(cos 105°,sin 105°),b=(cos 45°,sin 45°),则a·b等于(　　) A.- 2.(2025江苏南京田家炳高级中学阶段性测试)cos 24°cos 69°+sin 24°sin 111°=(　　) A.- 3.(2024陕西西安一模)等于(　　) A.　　　　D.1 题组二　给值求值 4.(2025江苏淮安涟水第一中学月考)已知α∈,cos α=,则cos的值为(　　) A.　　　　C.-或- 5.(2025江苏南京中华中学期中)在△ABC中,A为锐角,若sin A=,cos B=,则cos C=(　　) A. 6.(2025河北部分学校联考)已知cos α-cos β=,sin α-sin β=,则cos(β-α)=(　　) A. 7.(2025江苏南通第一中学阶段性考试)已知0<β<α<,则tan αtan β的值为(　　) A.　　　　D.2 8.(2025江苏南京二十九中月考)已知向量e1=(cos α,sin α),e2=(cos β,sin β),m=(0,1),若e1+e2=m,则cos(α-β)=　　　　.  题组三　给值求角 9.(多选题)若α∈[0,2π],sin=0,则α的值可以是(　　) A. 10.(2025江苏南通如皋质量调研)已知α,β∈(0,π),且tan α=,cos β=,则α+β=(　　) A. 11.(2025江苏南京第一中学月考)已知α∈,β∈,sin β=-,且cos(α-β)=,则α的值为(　　) A. 12.(2025河北廊坊月考)若cos(α-β)=,cos 2α=,α为锐角,β为钝角,则α+β=　　　　.  能力提升练 题组一　利用两角和与差的余弦公式求值 1.(2025江苏常州武进高级中学月考)已知cos+sin α=,则sin的值是(　　) A.- 2.(2025江苏扬州大学附属中学月考)已知cos,α,β∈,则cos(α+β)=(　　) A. 3.(2025江苏常州学情测试)已知α,β为锐角,且cos(α+β)sin β=sin α,则tan α的最大值为(　　) A. 4.(2025江苏南通月考)人脸识别技术应用在各行各业,改变着人类的生活,而所谓人脸识别,就是利用计算机分析人脸视频或者图像,并从中提取出有效的识别信息,最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试,常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点A(x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,余弦相似度为向量夹角的余弦值,记作cos(A,B),余弦距离为1-cos(A,B).已知P(cos α,sin α),Q(cos β,sin β),R(cos α,-sin α),若P,Q的余弦距离为,tan αtan β=,则Q,R的余弦距离为(　　) A. 5.(2024江苏连云港东海高级中学第一次检测)已知0<β<α<,sin αsin β=,cos αcos β=,则cos 2α=　　　　　.  题组二　利用两角和与差的余弦公式求角 6.(2025江苏邳州毓秀高级中学月考)若α+β∈,β为锐角,sin(α+β)=,cos 2β=,则α-β的值为(　　) A. 7.(2024四川成都百师联盟冲刺)已知α,β,γ∈,若sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,则α-β=(　　) A.- 8.(2025江苏常州北郊高级中学期中)已知0°<θ<180°,cos(40°-θ)+cos(40°+θ)+cos(80°-θ)=0,则θ=　　　　.  9.已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β)(0<α<β<π). (1)求证:a+b与a-b互相垂直; (2)若ka+b与a-kb的模相等(其中k为非零实数),求β-α 的值. 答案与分层梯度式解析 第10章　三角恒等变换 10.1　两角和与差的三角函数 10.1.1　两角和与差的余弦 基础过关练 1.C　a·b=cos 105°cos 45°+sin 105°sin 45°=cos(105°-45°)=cos 60°=. 2.B　cos 24°cos 69°+sin 24°sin 111° =cos 24°cos 69°+sin 24°sin(180°-69°) =cos 24°cos 69°+sin 24°sin 69° =cos(69°-24°)=cos 45°=. 3.C　 = = ==cos 30°=. 4.A　由α∈, 则cos××. 5.A　在△ABC中,cos B=>0,∴B为锐角,∴sin B=, ∵sin A=,A为锐角,∴cos A=, 则cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=-××. 6.C　对cos α-cos β=①, 对sin α-sin β=②, ①+②得,cos2α+sin2α+cos2β+sin2β-2(cos αcos β+sin αsin β)=, 即2-2(cos αcos β+sin αsin β)=, 即2-2cos(β-α)=. 7.A　由题意知cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,① 因为sin(α-β)=, 所以, 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,② 联立①②,得cos αcos β=, 所以tan αtan β=. 8.答案　- 解析　由e1+e2=m可知(cos α,sin α)+(cos β,sin β)=(0,1),即cos α+cos β=0,sin α+sin β=1, 将两式平方再相加可得(cos α+cos β)2+(sin α+sin β)2=1, 即cos2α+2cos αcos β+cos2β+sin2α+2sin αsin β+sin2β=2+2(cos αcos β+sin αsin β)=1, ∴cos αcos β+sin αsin β=-, 故cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-. 9.CD　由已知得cos=cos α=0, 又α∈[0,2π],所以α=. 10.A　因为α,β∈(0,π),且tan α=, 所以α,β∈, 又tan α=,sin2α+cos2α=1,sin2β+cos2β=1, 所以sin α=, 所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=××, 因为α+β∈(0,π),所以α+β=. 11.B　∵β∈,∴cos β=, ∵α∈,∴α-β∈(0,π), 又cos(α-β)=, ∴sin(α-β)=, 故cos α=cos(α-β+β)=cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β =××, 又α∈,∴α=. 12.答案　 解析　∵cos 2α=,且α为锐角, ∴2α∈, ∵β为钝角,即β∈,∴α-β∈,∴sin(α-β)=-, ∴cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]=cos 2αcos(α-β)+sin 2αsin(α-β)=××, ∴α+β=. 能力提升练 1.D　cossin α+sin α = =, 所以cos. 2.D　∵α,β∈,∴α+,∴sin<0, ∴sin, ∴cos(α+β)=cos =cos =××. 3.D　因为α,β为锐角,所以sin α>0,cos α>0,tan α>0,sin β>0,cos β>0,tan β>0, 由cos(α+β)sin β=sin α,得(cos αcos β-sin αsin β)sin β=sin α,即cos αcos βsin β-sin αsin2β=sin α, 则cos βsin β-tan αsin2β=tan α, 整理得tan α=. 方法技巧　三角函数式的化简要遵循“三看”原则: 一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的区别和联系,把角进行合理拆分,从而正确使用公式; 二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”; 三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式通分”等. 4.A　由题意知=(cos α,-sin α), 则cos(P,Q)==cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β), cos(Q,R)==cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β), 由题意知1-cos(α-β)=,① tan αtan β=,② 联立①②可得sin αsin β=, 因此,Q,R的余弦距离为1-cos(α+β)=1-cos αcos β+sin αsin β=1-. 5.答案　0 解析　∵sin αsin β=, ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=, cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=, ∵0<β<α<,∴0<α-β<,0<α+β<π, ∴sin(α-β)=, 则cos 2α=cos[(α+β)+(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)=××=0. 方法技巧　用两角和与差的余弦公式求值时,常将所求角进行拆分或组合,常见的变换如下:α=(α+β)-β,α=β-(β-α),2α=(α+β)+(α-β)等. 6.B　因为α+β∈, 因为β∈, 因为sin(α+β)=, 所以, 所以0<α-β<, 故cos(α-β)=cos[(α+β)-2β]=cos(α+β)cos 2β+sin(α+β)sin 2β=-××, 所以α-β=. 7.A　由sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,得sin α-sin β=-sin γ,cos α-cos β=cos γ, ∴(sin α-sin β)2+(cos α-cos β)2=(-sin γ)2+cos2γ=1, (提示:所求角与γ无关,则需根据已知条件消去γ) 即2-2sin αsin β-2cos αcos β=1, 即2-2cos(α-β)=1,解得cos(α-β)=. ∵γ∈, ∴sin α-sin β=-sin γ<0,∴sin α<sin β, 又α,β∈,∴0<α<β<,∴-<α-β<0, ∴α-β=-. 8.答案　120° 解析　因为cos(40°-θ)+cos(40°+θ)+cos(80°-θ)=0, 所以cos 40°cos θ+sin 40°sin θ+cos 40°cos θ-sin 40°sin θ+cos 80°cos θ+sin 80°sin θ=0, 即2cos 40°cos θ+cos 80°cos θ+sin 80°sin θ=0, 所以2cos 40°+cos 80°+sin 80°tan θ=0, 所以tan θ=- =- =-. 又0°<θ<180°,所以θ=120°. 9.解析　(1)证明:∵a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β), ∴|a|2=cos2α+sin2α=1,|b|2=cos2β+sin2β=1, ∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0, ∴(a+b)⊥(a-b). (2)∵ka+b=(kcos α,ksin α)+(cos β,sin β) =(kcos α+cos β,ksin α+sin β), ∴|ka+b|2=(kcos α+cos β)2+(ksin α+sin β)2=k2cos2α+2kcos αcos β+cos2β+k2sin2α+2ksin αsin β+sin2β=k2+2kcos(α-β)+1. 同理可得,|a-kb|2=k2-2kcos(α-β)+1. 又∵|ka+b|=|a-kb|,∴|ka+b|2=|a-kb|2, ∴2kcos(α-β)=-2kcos(α-β). ∵k≠0,∴cos(α-β)=0,∴cos(β-α)=0. 又∵0<α<β<π,∴0<β-α<π,∴β-α=. 13 学科网（北京）股份有限公司 $