10.1.1两角和与差的余弦同步练习-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

第10章　三角恒等变换 10.1　两角和与差的三角函数 10.1.1　两角和与差的余弦 基础过关练 题组一　给角求值 1.(2024江苏扬州红桥高级中学月考)cos 105°等于(　　) A. C.- 2.(2024江苏南京六校联合体期中)cos 24°·cos 69°+sin 24°· sin 111°=(　　) A.- 3.(2024陕西西安长安一模)等于(　　) A.　　D.1 4.已知平面向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β)(α, β∈R),当α=时,a·b=　　　　.  题组二　给值求值 5.(2024江苏南通通州质量监测)已知cos α=-=(　　) A. 6.(2024安徽黄山高中毕业班第一次质量检测) 已知sin αsin β=,则cos(α+β)=(　　) A.- 7.(2024四川成都石室蜀都中学月考)在△ABC中,若cos A=,则cos B=　　　　.  8.(2024山西朔州怀仁一中期中)已知2cos α-cos β=,2sin α-sin β=2,则cos(α-β)=　　　　.  题组三　给值求角 9.(多选题)若α∈[0,2π],sin=0,则α的值可以是(　　) A. 10.(2024江苏苏州吴江高级中学月考)已知锐角α,β满足 sin α=,则α+β=(　　) A. 11.(2024江西九江二模)已知α,β∈,则α+β=(　　) A.　　 C. 12.(2023江苏无锡江阴高级中学期末)已知α,β都是锐角, cos α=,则β=　　　　.  能力提升练 题组一　利用两角和与差的余弦公式求值 1.(多选题)(2022山东聊城一中期末)已知cos α=,则cos β的值可能为(　　) A.- 2.(2024广东深圳实验学校阶段考试)已知函数f(x)=5sin,若存在α,β,满足0<α<β<2π,且f(α)=f(β)=1,则cos(β-α)=(　　) A. 3.(2024江苏扬州中学期中)已知cos(θ+20°)=cos(θ+40°)+cos(θ-40°),则tan θ=(　　) A. 4.(2024江苏连云港东海高级中学第一次检测)已知0<β<α<,则cos 2α=　　　　　.  题组二　利用两角和与差的余弦公式求角 5. (2024江苏南通海门中学学情调研)已知cos 2α=- ,则α-β=(　　) A. 6.(2024四川成都百师联盟冲刺)已知α,β,γ∈,若sin α+sin γ= sin β,cos β+cos γ=cos α,则α-β=(　　) A.- 7.(2024江苏南京六校联合体期中)已知cos α=. (1)求cos的值; (2)若sin(α+β)=-,求β的值. 8.已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β)(0<α<β<π). (1)求证:a+b与a-b互相垂直; (2)若ka+b与a-kb的模相等(其中k为非零实数),求β-α 的值. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.D　cos 105°=cos(60°+45°)=cos 60°cos 45°-sin 60°·sin 45°=.故选D. 2.B　cos 24°cos 69°+sin 24°sin 111°=cos 24°cos 69°+sin 24°sin(180°-69°)=cos 24°cos 69°+sin 24°sin 69°=cos(69°-24°)=cos 45°=.故选B. 3.C　 = = =.故选C. 4.答案　 解析　a·b=(cos α,sin α)·(cos β,sin β) =cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β), 当α=时,a·b=cos. 5.A　因为cos α=-, 所以cos.故选A. 6.B　因为sin αsin β=, 则cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=. 故选B. 7.答案　 解析　在△ABC中,0<A<π,0<C<π,因为cos A=, 所以sin A=, 又A+B+C=π,所以B=π-(A+C), 所以cos B=cos[π-(A+C)]=-cos(A+C)=-cos A·cos C+sin Asin C=-. 8.答案　- 解析　由题意得(2cos α-cos β)2=4cos2α-4cos α·cos β+cos2β=. 9.CD　由已知得cos=cos α=0, 又α∈[0,2π],所以α=.故选CD. 10.B　因为α,β均为锐角,且sin α=, 所以cos α=, 所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=, (点拨:本题选择求α+β的余弦值的理由是α+β的余弦值的符号可以缩小角的取值范围) 又α∈.故选B. 11.A　因为cos(α-β)=, 所以 解得 所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=, 又α,β∈. 故选A. 12.答案　 解析　∵α,β均为锐角,∴0<α+β<π, ∵cos α=, ∴sin α=, sin(α+β)=, ∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)·sin α=-, ∵β为锐角,∴β=. 解题模板　解决给值求角问题的一般步骤 (1)求角的某一个三角函数值; (2)确定角的范围; (3)根据角的范围写出所求的角. 能力提升练 1.AC　因为cos α=. 又cos(α+β)=-. 易得cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α, 当sin α与sin(α+β)同号时,sin(α+β)sin α=, 则cos β=-; 当sin α与sin(α+β)异号时,sin(α+β)sin α=-, 则cos β=-, 所以cos β的值为-.故选AC. 2.D　令f(x)=5sin, 令f(x)=5sin, (点拨:以上求解的目的是进一步缩小α,β的取值范围)　 又0<α<β<2π,f(α)=f(β)=1, 所以, 因为0<α-<π, 所以cos, 则cos(β-α)=cos =cos =-.故选D. 3.D　因为cos(θ+20°)=cos(θ+40°)+cos(θ-40°), 所以cos θcos 20°-sin θsin 20°=cos θcos 40°-sin θ·sin 40°+cos θ· cos 40°+sin θsin 40°, 所以cos θcos 20°-2cos θcos 40°=sin θsin 20°, 所以cos θ(cos 20°-2cos 40°)=sin θsin 20°, 易知cos θ≠0,所以, 即tan θ=　 = = = =. 故选D. 4.答案　0 解析　∵sin αsin β=, ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=, cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=, ∵0<β<α<,0<α+β<π, 则sin(α-β)=, 则cos 2α=cos[(α+β)+(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)==0. 方法技巧　用两角和与差的余弦公式求值时,常将所求角进行拆分或组合,常见的变换如下:α=(α+β)-β,α=β-(β-α),2α=(α+β)+(α-β)等. 5.B　因为α∈, 因为α∈,　 又α-β=2α-(α+β), 所以cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β) =. 又因为α-β∈[0,π],所以α-β=.故选B. 6.A　由sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,得sin α-sin β=-sin γ,cos α-cos β=cos γ, ∴(sin α-sin β)2+(cos α-cos β)2=(-sin γ)2+cos2γ=1, (提示:所求角与γ无关,则需根据已知条件消去γ) 即2-2sin αsin β-2cos αcos β=1, 即2-2cos(α-β)=1,解得cos(α-β)=. 因为γ∈, ∴sin α-sin β=-sin γ<0,∴sin α<sin β, 又α,β∈<α-β<0, ∴α-β=-.故选A. 7.解析　(1)因为cos α=, ∴cos. (2)由α∈, 又sin(α+β)=-, ∴cos(α+β)=, 故cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)·sin α=, 又β∈. 8.解析　(1)证明:∵a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β), ∴|a|2=cos2α+sin2α=1,|b|2=cos2β+sin2β=1, ∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0, ∴(a+b)⊥(a-b). (2)∵ka+b=(kcos α,ksin α)+(cos β,sin β) =(kcos α+cos β,ksin α+sin β), ∴|ka+b|2=(kcos α+cos β)2+(ksin α+sin β)2 =k2cos2α+2kcos αcos β+cos2β+k2sin2α+2ksin αsin β+sin2β=k2+2kcos(α-β)+1. 同理可得,|a-kb|2=k2-2kcos(α-β)+1. 又∵|ka+b|=|a-kb|,∴|ka+b|2=|a-kb|2, ∴2kcos(α-β)=-2kcos(α-β). ∵k≠0,∴cos(α-β)=0,∴cos(β-α)=0. 又∵0<α<β<π,∴0<β-α<π,∴β-α=. 12 学科网（北京）股份有限公司 $$