10.1 两角和与差的三角函数（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（苏教版）

该高中数学课件聚焦三角恒等变换，系统呈现两角和差的正弦、余弦、正切公式及辅助角公式，通过公式记忆方法（如“同名相乘符号反”）与知识辨析（如存在性问题）导入，搭建从公式到给角求值、给值求角等应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以知识辨析培养数学眼光（如探究等式成立条件），通过角的拆分技巧（如2α=(α+β)+(α-β)）发展数学思维，结合典例中辅助角公式转化（如asin x+bcos x=√(a²+b²)sin(x+θ)）强化数学语言表达。助力学生提升逻辑推理与应用能力，为教师提供系统教学资源与高效教学方法。

两角和与差的余弦、正弦、正切公式 10.1 两角和与差的三角函数 必备知识 清单破 知识点 1 名称 公式 简记符号 适用条件 记忆方法 两角差的 余弦公式 cos(α-β)=cos α cos β+sin αsin β C(α-β) α,β∈R 同名相乘,符号 反 两角和的 余弦公式 cos(α+β)=cos α cos β-sin αsin β C(α+β) 第10章　三角恒等变换 高中同步 两角和的 正弦公式 sin(α+β)=sin α cos β+cos αsin β S(α+β) α,β∈R 异名相乘,符号 同 两角差的 正弦公式 sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β S(α-β) 两角和的 正切公式 tan(α+β)=   T(α+β) α,β,α+β≠kπ+  (k∈Z) 分子同,分母反 (指等号左右两 边的符号规律) 两角差的 正切公式 tan(α-β)=   T(α-β) α,β,α-β≠kπ+ (k ∈Z) 第10章　三角恒等变换 高中同步 　    asin x+bcos x= sin(x+θ)(a,b不同时为零),其中cos θ= ,sin θ= . 辅助角公式 知识点 2 第10章　三角恒等变换 高中同步 知识辨析 1.是否存在α,β,使得cos(α-β)=cos α-cos β? 2.是否存在α,β,使得sin(α-β)=sin α-sin β? 3.对于任意的α,β,tan(α+β)= 是否恒成立? 第10章　三角恒等变换 高中同步 一语破的 1.存在.例如α= ,β= . 2.存在.例如α=0,β=0. 3.不是.公式成立的条件为α,β,α+β≠ +kπ(k∈Z). 第10章　三角恒等变换 高中同步 关键能力 定点破 定点 1 辅助角公式的应用 1.我们在研究三角函数的图象与性质时,通常将解析式通过适当的三角变换,转化为y=Asin(ω x+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,在这个过程中通常会用到辅助角公式,运用辅助角公式的前提 条件有三个:①同角(均为x);②齐一次(均为一次的);③正余全(一个是sin x,另一个是cos x),具 体化为正弦还是余弦,要根据具体条件而定,一般要求变形后x的系数为正,这样更有利于研究 函数的性质. 第10章　三角恒等变换 高中同步 2.辅助角公式的常见情形 (1)sin α±cos α= sin ; (2)sin α± cos α=2sin ; (3)cos α± sin α=2sin . 第10章　三角恒等变换 高中同步 典例 已知函数f(x)=2sin -2cos x,x∈ ,求函数f(x)的值域. 解析    f(x)=2sin -2cos x= sin x-cos x=2sin , 因为 ≤x≤π,所以 ≤x- ≤ , 所以 ≤sin ≤1,所以1≤f(x)≤2. 故函数f(x)的值域为[1,2]. 第10章　三角恒等变换 高中同步 定点 2 两角和与差的正弦、余弦公式的应用  1.给角求值 　　解决给角求值问题时,一般先用诱导公式把角化整化小,再统一函数名称(即弦切互化,通 常是切化弦),最后观察角之间的关系以及式子的结构特点,从整体出发,利用公式或公式的变 形达到求值的目的. 第10章　三角恒等变换 高中同步 2.给值求值 (1)应先分析角的关系,再考虑三角函数名称的联系,最后选择合适的公式求值. (2)分析已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,利用角的代换化异角为同 角,具体做法:当已知角有两个时,所求角一般表示为两个已知角的和或差的形式;当已知角有 一个时,应着眼于所求角与已知角的和或差的关系,然后应用公式把所求角变成关于已知角 的式子.常见的角的拆分与组合:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β=(α-β)+β, + = 等. (3)此类问题中,角的范围的限定不容忽视,解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围. 第10章　三角恒等变换 高中同步 3.给值求角 　　已知三角函数值求角,通常是由“值”+“范围”求角,其解题步骤如下: (1)根据条件确定所求角的范围; (2)求所求角的某种三角函数值(为防止产生增根,最好选取在上述范围内单调的三角函数); (3)结合三角函数值及角的范围求角.      第10章　三角恒等变换 高中同步 典例 (1)已知cos 2α=- ,sin(α+β)=- ,α∈ ,β∈ ,则α-β= (　    ) A. 　　　    B.  C. 　　　    D. 或  (2)已知cos = ,sin =- ,α∈ ,β∈ ,求sin(α+β)的值. B 第10章　三角恒等变换 高中同步 解析    (1)因为α∈ ,所以2α∈[0,π],所以sin 2α= = = , 因为α∈ ,β∈ ,所以α+β∈ ,所以cos(α+β)= = =  ,     又α-β=2α-(α+β), 所以cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β) = × + × =- . 又因为α-β∈[0,π],所以α-β= . (2)∵ <α< ,∴- < -α<0. 第10章　三角恒等变换 高中同步 又cos = , ∴sin =- =- . ∵ <β< ,∴ < +β< . 又sin =- , ∴cos =- =- . ∵ +β- = +α+β, ∴sin(α+β)=sin  第10章　三角恒等变换 高中同步 =-cos  =-cos cos -sin sin  = × - ×  = - =- . 第10章　三角恒等变换 高中同步 定点 3 两角和与差的正切公式的应用 1.常值代换 在应用两角和与差的正切公式时,若出现1, 等常数,则常利用1=tan , =tan 等将其代换, 以达到化简求值的目的. 2.整体思想 若待化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体,常考虑借助两角和与差 的正切公式的变形:①tan α±tan β=tan(α±β)·(1∓tan αtan β),②1∓tan α·tan β= 解决 问题. 第10章　三角恒等变换 高中同步 典例 (1)已知θ是钝角,sin = ,则tan θ=(　    ) A.- 　　　    B.- 　　　     C.- 　　　    D.-7 (2) tan 85°tan 35°-tan 85°-tan 35°=(　    ) A. 　　　    B.- 　　　     C. 　　　    D.-  D C 第10章　三角恒等变换 高中同步 解析    (1)解法一:因为θ是钝角,sin = , 所以θ+ ∈ , 所以cos =- =- , 所以tan = =- , 所以 =- , 即 =- ,解得tan θ=-7. 第10章　三角恒等变换 高中同步 解法二:同解法一得tan =- , 故tan θ=tan = =-7. (2)tan 120°=tan(85°+35°)= =- , ∴tan 85°+tan 35°=- + tan 85°tan 35°, ∴ tan 85°tan 35°-tan 85°-tan 35°= . 第10章　三角恒等变换 高中同步 $