第9章 平面向量 综合拔高练（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（苏教版）

综合拔高练 高考真题练 考点1　向量的线性运算 1.(2022新高考Ⅰ,3)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则①=(　　) A.3m-2n　　　　B.-2m+3n C.3m+2n　　　　D.2m+3n ①心中有“数”用基底. 考点2　向量的数量积 2.(2024新课标Ⅰ,3)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=(　　) A.-2　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.2 3.(2022全国乙理,3)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,|a-2b|=3,则a·b=(　　) A.-2　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.2 4.(2020新高考Ⅰ,7)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则的取值范围是(　　) A.(-2,6)　　　　B.(-6,2)　　　　 C.(-2,4)　　　　D.(-4,6) 5.(2025天津,14)在△ABC中,D为AB中点,.记=a,=b,则用a,b表示=　　　　;若||=5,且AE⊥CB,则①=　　　　.  ①解题关键由=25和=0得关于a,b的关系式,化简得解. 考点3　向量的模和夹角 6.(2024新课标Ⅱ,3)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|=(　　) A.　　　　D.1 7.(2023全国甲理,4)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=,且a+b+c=0,则cos<a-c,b-c>=(　　) A.- 8.(2025全国一卷,6)帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小与方向,测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和,其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示(线段长度代表速度大小,单位:m/s),则该时刻的真风为(　　) 级数 名称 风速大小(单位:m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 图1 A.轻风　　　　B.微风　　　　 C.和风　　　　D.劲风 9.(2025北京,10)在平面直角坐标系xOy中,||=2.设C(3,4),则|2|的取值范围是(　　) A.[6,14]　　　　B.[6,12]　　　　 C.[8,14]　　　　D.[8,12] 10.(2020浙江,17)已知平面单位向量e1,e2,满足|2e1-e2|≤.设a=e1+e2,b=3e1+e2,向量a,b的夹角为θ,则cos2θ的最小值①是　　　　.  ①关键点拨将e1,e2用a,b线性表示,结合夹角公式、函数的性质求解. 11.(2025全国二卷,12)已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a|=　　　　.　  12.(2025上海,12)已知函数f(x)=a,b,c是平面内三个不同的单位向量.若f(a·b)+f(b·c)+f(c·a)=0,则|a+b+c|的取值范围是　　　　　　.  学科竞赛 13.(2024湖南株洲第四届“同济大学”杯数理化联赛)如图,在△ABC中,∠BAC=,P为CD上一点,且,若||=4,则的值为(　　) A.-　　　　 C.- 高考模拟练 应用实践 1.(2024江苏无锡辅仁高级中学教学质量检测)在△ABC中,AC=2,O是△ABC的外心,M为BC的中点,=8,N是直线OM上异于M,O的任意一点,则=(　　) A.3　　　　B.6　　　　C.7　　　　D.9 2.(多选题)(2025河北新乐第一中学月考)已知向量a=(2,1),b=(1,-1),c=(m-2,n),其中m,n均为正数,且(a-b)⊥c,则下列说法正确的是(　　) A.a与b的夹角为锐角　　　　 B.向量a在b上的投影向量为b C.m+2n=2　　　　 D.mn的最大值为1 3.(2025江苏淮安金湖中学月考)如图,△ABC中,,点E在线段AC上,AD与BE交于点F,,则下列说法错误的是(　　) A.| C.=0　　　　D.S△BFD∶S△AFB=1∶3 4.(2024山东泰安泰山外国语学校期末)围棋棋盘有19×19个交叉点,从上往下、从左往右数,第m行第n列的交叉点记为P(m,n),例如,第3行第2列的交叉点记为P(3,2).在(1≤m≤19,1≤n≤19,m,n∈N)中,不同值的个数为(　　) A.17　　　　B.18　　　　 C.19　　　　D.20 5.(2025安徽马鞍山阶段检测)在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,P为△ABC内的一点,,则下列说法正确的是(　　) A.若P为△ABC的重心,则2x+y=　　　　 B.若P为△ABC的外心,则=32 C.若P为△ABC的垂心,则x+y=-　　　　 D.若P为△ABC的内心,则x+y= 6.(2025江苏宿迁沭阳南湖高级中学月考)设Ox,Oy是平面内相交成45°角的两条数轴,e1,e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量,若向量=xe1+ye2,则把有序数对(x,y)叫作向量在斜坐标系xOy中的坐标,记作=(x,y).同时把有序数对(x,y)叫作点P在斜坐标系xOy中的坐标,记作P(x,y),已知在斜坐标系xOy中,△ABC的三个顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),且A,B,C异于点O,则下列结论错误的是(　　) A.=(x2-x1,y2-y1) B.| C.若∥,则x1y2-x2y1=0 D.△ABC的重心G的坐标为　 7.(2025江苏无锡锡山高级中学月考)我国古代数学家赵爽大约在公元222年为《周髀算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(如图1).类比“赵爽弦图”,可构造如图2所示的图形,它是由3个全等的三角形和中间的小等边三角形拼成的一个大等边三角形.已知DF=3AF,若(λ,μ∈R),则λ+μ=　　　　.  　　 迁移创新 8.(2024江苏苏州期中)设正△ABC的边长为1,O为△ABC的外心,P1,P2,…,Pn为BC边上的(n+1)等分点,Q1,Q2,…,Qn为AC边上的(n+1)等分点,L1,L2,…,Ln为AB边上的(n+1)等分点. (1)当n=2 023时,求|+…+|的值; (2)当n=4时, (i)求的值(1≤i,j≤4,i,j∈N,结果用i,j表示); (ii)求(1≤i,j,k≤4,i,j,k∈N)的最大值与最小值. 答案与分层梯度式解析 综合拔高练 高考真题练 1.B　 解题指导 解析　易知, 由题意知), 即=3n-2m. 考场速决　本题是很明显的爪子模型,即O为直线AB外一点,若,可以直接应用这个结论求解,具体过程如下: 因为BD=2DA,所以=-2m+3n. 2.D　解法一:因为b=(2,x),a=(0,1),所以b-4a=(2,x-4),所以b·(b-4a)=4+x(x-4)=0,即(x-2)2=0,故x=2. 解法二:因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,即b2=4a·b,所以4+x2=4x,即(x-2)2=0,故x=2. 3.C　由|a-2b|=3,可得|a-2b|2=a2-4a·b+4b2=9,又|a|=1,|b|=,所以a·b=1. 4.A　解法一(投影向量法):如图,过点P作PP1⊥直线AB于P1,过点C作CC1⊥直线AB于C1,过点F作FF1⊥直线AB于F1,|cos∠PAB. 当∠PAB为锐角时,||, 所以当点P与C重合时,|=-2, 又因为点P是正六边形ABCDEF内的一点,所以-2<<6. 解法二(建系):连接AE,以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AE所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),设P(x0,y0),则-1<x0<3. =2x0∈(-2,6). 解后反思　本题是在正六边形中求向量的数量积,正六边形是轴对称图形,做题时可以考虑建系,或用投影向量法处理. 5.答案　a+b;-15 真题降维 关键信息 信息处理 D为AB中点,=a,=b,用a,b线性表示 ||=5,AE⊥CB 由=0,得关于a,b的式子 求 用a,b线性表示,由向量的数量积得关于a,b的式子,化简得结果 解析　=b+=b+) =b+a+b. 因为||=5,AE⊥CB, 所以a2+a·b+b2=25, ·(a-b)=a2+a·b-b2=0, 所以a2+3a·b=4b2,所以a2+4a·b=180, 所以a2+a·b-b2=(a2+2a·b-8b2)=(a2+2a·b-2a2-6a·b)=(-a2-4a·b)=-15. 一题多解　本题第二个空还可以这样解: 延长AE交BC于点F,则×5×||, 　　设, ∵B,F,C三点共线,∴=1,∴λ=, ∴,∴||=6, ∴×5×6=-15. 6.B　∵|a+2b|=2,∴(a+2b)2=4, 即|a|2+4a·b+4|b|2=4.① ∵(b-2a)⊥b,∴(b-2a)·b=0, ∴|b|2-2a·b=0,即2a·b=|b|2. 代入①得|a|2+6|b|2=4, 又|a|=1,∴|b|=. 7.D　因为a+b+c=0,所以a+b=-c, 即a2+b2+2a·b=c2,即1+1+2a·b=2,所以a·b=0. 设a=(1,0),b=(0,1),则c=(-1,-1), 所以a-c=(2,1),b-c=(1,2), 所以cos<a-c,b-c>=. 一题多解　∵a+b+c=0,∴可设=a,=b,=c, ∵|a|2+|b|2=|c|2,|a|=|b|,∴△OAB为等腰直角三角形. 以O为坐标原点,的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示, 则O(0,0),A(1,0),B(1,1),故a==(1,0),b==(0,1),c==(-1,-1),则a-c=(2,1),b-c=(1,2), ∴|a-c|=|b-c|=, ∴cos<a-c,b-c>=. 8.A　设真风风速为v1,船行风风速为v2,视风风速为v, 依题意得v=(-3,-1),v2=(-1,-3)(提醒:船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反),且v=v1+v2, ∴v1=v-v2=(-3,-1)-(-1,-3)=(-2,2). 因此|v1|=<3.3, ∴该时刻的真风为轻风. 9.D　如图,由||=2,可得OA2+OB2=AB2, 所以△OAB为直角三角形, 取AB的中点D,连接OD,CD, 则OD=1,故点D的轨迹是以O为圆心,1为半径的圆. |2|, 因为CO==5,所以CD∈[4,6], 故|2|∈[8,12]. 10.答案　 真题降维 关键信息 信息判断 信息处理 a=e1+e2, b=3e1+e2 a,b的夹角和模均未知,单位向量e1,e2的模均为1 将e1,e2用a,b表示,得到关于a,b的关系式 |2e1-e2| ≤ 向量差的模已知 将其平方处理,转化为关于e1,e2的不等式,进而转化为关于a,b的不等式 求cos2 θ 的最小值 利用cos θ=,结合上面得出的关系式,得到cos θ的关系式,利用函数的性质求解 解析　由题可知 从而 ⇔ 由①②可得 代入③可得a2≥, 从而cos θ=, 所以cos2θ≥. 11.答案　 解析　解法一:由a⊥(a-b),得a·(a-b)=0,即a2-a·b=0,所以x2+1-[x(x-1)+1·2x]=0,解得x=1,则a=(1,1),所以|a|=. 解法二:由a=(x,1),b=(x-1,2x),得a-b=(1,1-2x).因为a⊥(a-b),所以x+1-2x=0,解得x=1,则a=(1,1),所以|a|=. 12.答案　(1,) 解析　若f(a·b)=f(b·c)=f(c·a)=0,则a·b=b·c=c·a=0, 又三个向量均为平面内的单位向量,故向量a,b,c两两垂直显然不成立. 故{f(a·b), f(b·c), f(c·a)}={-1,0,1}. 不妨设则a·b>0,b·c=0,c·a<0, 令b=(1,0),c=(0,1),a=(cos θ,sin θ),θ∈[0,2π), 则,如图, a的起点在原点O,终点在弧AB(不包含A,B点)上, 当终点在点B时,a与b+c的夹角最大,则|a+b+c|最小,为1; 当终点在点A时,a与b+c的夹角最小,则|a+b+c|=|2b+c|最大,为. 又θ∈,所以|a+b+c|∈(1,). 13.D　因为, 则, 因为, 所以×, 因为P,C,D三点共线,所以m+, 所以, 而, 所以. 高考模拟练 1.B　取AC的中点D,连接OD,如图所示, 因为O是△ABC的外心,M为BC的中点,所以OM⊥BC,OD⊥AC,由题可设,λ≠0,且λ≠1, 则 = =-, 又|cos∠CAO =(|| =×(2)2=14, 所以=-8+14=6. 2.AC　对于A,因为a=(2,1),b=(1,-1), 所以a·b=2×1-1×1=1>0, 又2×(-1)-1×1≠0,所以a,b不共线, 所以a与b的夹角为锐角,故A正确; 对于B,向量a在b上的投影向量为·b=·b=b,故B错误; 对于C,a-b=(1,2),c=(m-2,n), 因为(a-b)⊥c,所以1×(m-2)+2n=0,即m+2n=2,故C正确; 对于D,由C知m+2n=2, 所以mn=,故D错误. 3.B　对于A,,故A中说法正确; 对于B,设, 则, ∵A,F,D三点共线, ∴可设, ∴,故B中说法错误; 对于C,由B得, 则, ∴=0,故C中说法正确; 对于D,由,得S△BFD∶S△AFB=||∶||=1∶3,故D中说法正确. 4.C　将围棋棋盘放在平面直角坐标系中,并使最下面一行在直线y=1上,最左边一列在直线x=1上,如图, 则P(19,1)对应坐标系中的点(1,1)(记为P1),P(1,1)对应坐标系中的点(1,19)(记为P2),点P(m,n)对应坐标系中的点(n,20-m)(记为Pm,n). 所以, 所以>. |上的投影向量的长度,共有19个不同数值, 所以在(1≤m≤19,1≤n≤19,m,n∈N)中,不同值有19个. 5.C　如图,建立平面直角坐标系,则A(0,3),B(-4,0),C(4,0).　 对于A,若P为△ABC的重心,则P(0,1),所以=(4,-3), 又,所以2x+y=1,A不正确; 对于B,若P为△ABC的外心,则P在直线AO上, 所以=0+4×8×(-1)=-32,B不正确; 对于C,若P为△ABC的垂心,则P在直线AO上,设P(0,m),则=(-4,m), 则, 又,C正确; 对于D,若P为△ABC的内心,则P在AO上,设内切圆半径为r, 则×8×3=×r×(5+5+8),得r=, 则, 又,D不正确. 6.B　依题意知e1·e2=1×1×cos 45°=. 由题意得=(x2e1+y2e2)-(x1e1+y1e2)=(x2-x1)e1+(y2-y1)e2=(x2-x1,y2-y1),故A中结论正确; | = =,故B中结论错误; 若,即x1e1+y1e2=λ(x2e1+y2e2),即所以x1y2-x2y1=0,故C中结论正确; 设D为BC的中点,根据三角形重心性质知2=0, 所以=0, 故(x1e1+y1e2)+(x2e1+y2e2)+(x3e1+y3e2)=e1+e2, 所以G,故D中结论正确. 7.答案　 解析　连接FB,在△BEF中,, 在△ABF中,, 所以, 在△AFC中,, 因为×. 8.解析　(1)当n=2 023时,, ∴, ∴||, 又△ABC为等边三角形,且边长为1,O为外接圆的圆心, ∴OB=OC=>=120°, ∴|+2×××, ∴|×. (2)(i)∵△ABC为等边三角形,O为外接圆的圆心, ∴∠OCB=∠OCA=30°, 则<>=150°,<>=150°, 又n=4,∴Pi,Qj(1≤i,j≤4)分别为BC,CA的五等分点, 又BC=CA=1,∴CPi=, ∴|cos 150°+||·cos 150° =××××. (ii)∵, ∴cos 60°=-, 同理可得, ∴,　 令S=- =-,　 ①若j+k≥5, 则当i=1时,S=-, ∵k≤4,∴当j=4时取最大值,则Smax=-; 当i=4时,S=-, ∵k≥1,∴当j=4时取最小值,则Smin=-, 则当k=4时,(Smin)min=-. ②若j+k<5, 则当i=4时,S=-, ∵k≥1,∴当j=1时取最大值,则Smax=-; 当i=1时,S=-, ∵k≤4,∴j=1时取最小值,则Smin=-, 则当k=1时,(Smin)min=-. 综上所述,. 24 学科网（北京）股份有限公司 $