9.4 向量应用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（苏教版）

9.4　向量应用 基础过关练 题组一　向量在几何中的应用 1.(2025江苏南通如皋中学月考)在△ABC中,,则△ABC的形状为(　　) A.等腰直角三角形　　　　B.三边均不相等的三角形 C.等边三角形　　　　 D.等腰(非直角)三角形 2.(2025河北保定唐县第一中学期中)已知在△ABC中,H为△ABC的垂心,O是△ABC所在平面内一点,且,则下列选项正确的是(　　) A.点O为△ABC的内心 B.点O为△ABC的外心 C.∠ACB=90° D.△ABC为等边三角形 3.(2024北京朝阳质量检测)在△ABC中,AB=AC=2,BC=2,点P在线段BC上.当取得最小值时,PA=(　　) A. 4.(2024江苏常州北郊高级中学学情调研)如图,在△ABC中,D,E是BC上的两个三等分点,,则cos B的最小值为　　　　.  5.(2025江苏扬州大学附属中学月考)如图,在△ABC中,已知AB=2,AC=4,∠BAC=60°,E,F分别为AC,BC上的点,且. (1)求||; (2)求证:AF⊥BE; (3)若线段BE上一动点P满足2=0,试确定点P的位置. 6.(2025江苏南京外国语学校期中)在平面直角坐标系中,已知B(0,0),A(. (1)∠BCD的平分线与BD交于点M,求点M的坐标; (2)若E在边CD上,设,F为BD与AE的交点. ①若λ=,求cos∠AFB; ②求的最小值. 题组二　向量在物理中的应用 7.(2023山东滨州阶段练习)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态时,两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为200 N,则该学生的体重(单位:kg)约为(参考数据:g=10 N/kg)(　　) A.60　　　　B.61　　　　 C.75　　　　D.60 8.(多选题)在日常生活中,我们会看到两个人共提一个旅行包的场景,如图所示.已知旅行包所受的重力为G,作用在旅行包上的两个拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|,F1与F2的夹角为θ,则下列结论中正确的是(　　) A.θ越大越费力,θ越小越省力 B.θ的取值范围为 C.当θ=时,|F1|=|G| D.当θ=时,|F1|=|G| 9.(教材习题改编)如图,一滑轮组中有两个定滑轮A,B,在从连接点O出发的三根绳的端点处挂着三个重物,它们所受的重力分别为4 N,4 N,7 N,此时整个系统处于平衡状态,则cos∠AOB=　　　　.  10.(2025江苏无锡第一中学期中)已知平面上的三个力F1,F2,F3作用于一点,且处于平衡状态,其中|F1|=1 N,|F2|= N,F1与F2的夹角为,则F3与F1夹角的大小为　　　　.　  11.(2024四川绵阳中学月考)质量m=2.0 kg的木块在平行于斜面向上,大小为10 N的拉力F的作用下,沿倾斜角θ=30°的光滑斜面向上滑行了|s|=2.0 m的距离.(g=9.8 N/kg) (1)分别求木块所受各力对木块所做的功; (2)在这个过程中,木块所受各力对木块做功的代数和是多少? 12.(2025山东聊城第一中学月考)一条河南北两岸平行,如图所示,河面宽度d=1 km,一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是v1,水流速度v2的大小为|v2|=4 km/h.设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°),北岸上的点A'在点A的正北方向. (1)若游船沿AA'到达北岸A'点所需时间为6 min,求v1的大小和cos θ的值; (2)当θ=60°,|v1|=10 km/h时,游船航行到北岸的实际航程是多少? 答案与分层梯度式解析 9.4　向量应用 基础过关练 1.A　因为, 又=1×1×cos∠CAB=, 又∠CAB∈, 故△ABC是等腰直角三角形. 2.B　在△ABC中,由H为△ABC的垂心,得CH⊥AB, 由|, , 显然|,因此点O为△ABC的外心,B正确,无判断A,C,D成立的条件. 3.B　如图,取BC的中点O,以O为坐标原点,BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系, 由AB=AC=2,BC=2,0), 因为点P在线段BC上,所以可设P(x,0),-, 则-x,0), 则, 易知当x=-. 4.答案　 解析　∵D,E是BC上的两个三等分点, ∴, 则, , ∵, ∴, 由基本不等式得cos B=×2, 当且仅当||时等号成立. 故cos B的最小值为. 5.解析　(1)记=a,=b,则|a|=2,|b|=4,a·b=2×4cos 60°=4, 因为a+b, 则a2+a·b+b2=×4+×4+×16=. (2)证明:因为=-a+b, 所以a2+b2=-×4+×16=0,所以,即AF⊥BE. (3)因为, 因为2, 所以P是线段BE的中点. 6.解析　(1)由题意可得D(2),所以CD⊥CB,由角平分线定理可知BM∶MD=BC∶CD=2, 所以.　 (2)①因为E为CD的中点,所以E, 所以), 所以, 所以cos∠AFB=cos<. ②设E(2,-x), 故x+4, 函数y=x2-. 7.D　如图,|,∠AOB=60°,作平行四边形OACB,则平行四边形OACB是菱形,|sin 60°=600, 所以|G|=||=600, 因此该学生的体重为=60(kg). 解题模板　用向量法解决物理问题时,正确作出相应的几何图形有助于建立数学模型.用向量知识来解决共点力的问题,往往需要把向量平移到同一作用点上. 8.AD　根据题意得|G|=|F1+F2|,所以|G|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos θ=2|F1|2(1+cos θ),易知θ∈(0,π), 解得|F1|2=,当θ∈(0,π)时,y=cos θ单调递减,所以|F1|2随θ的增大而增大,故θ越大越费力,θ越小越省力,故A正确,B错误; 当θ=时,|F1|2=,所以|F1|=|G|,故C错误; 当θ=时,|F1|2=|G|2,所以|F1|=|G|,故D正确. 9.答案　 解析　由题意知||=7, 则=49, 即16+2, 所以cos∠AOB=. 10.答案　 解析　由题意得F1+F2+F3=0, ∴|F3|=|F1+F2|= = =+1, 设F3与F1的夹角为θ, 则cos θ=,　 因为θ∈[0,π],所以θ=. 11.解析　(1)木块受三个力的作用,重力G、拉力F和支持力FN,如图所示, 拉力F与位移s方向相同,所以拉力对木块所做的功为WF=F·s=|F||s|cos 0°=20(J). 支持力FN与位移方向垂直,不做功,即支持力对木块所做的功为0 J. 重力G对木块所做的功为WG=G·s=|G||s|·cos(90°+θ)=-19.6(J). (2)木块所受各力对木块做功的代数和为20+0-19.6=0.4(J). 12.解析　(1)设游船的实际速度大小为|v|km/h, 由AA'=1 km,6 min=0.1 h,得|v|=10 km/h,已知|v2|=4 km/h.　 如图所示,由=|v|2+=102+42=116,得|v1|=2 km/h,　 则cos θ=-. (2)当θ=60°,|v1|=10 km/h时,设到达北岸B点所用时间为t h,作出向量加法示意图如图所示, AB2=|tv|2=t2(v1+v2)2=t2(102+42+2×10×4×cos 60°)=156t2,则AB=2t, 在Rt△AA'C中,t|v1|cos 30°=1,从而t=×2, 故游船的实际航程为 km. 11 学科网（北京）股份有限公司 $