9.4 向量应用（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（苏教版）

该高中数学课件聚焦向量在几何与物理中的应用，涵盖几何中的平行、垂直、夹角等问题及三角形“四心”的向量表示，物理中的位移、速度、力等场景，通过实例导入，衔接向量概念与运算，以表格归纳、步骤分解和典例示范为学习支架。 其亮点在于知识体系化，用表格清晰呈现问题类型与公式，步骤化解决问题（几何三步、物理四步），结合等腰梯形数量积、游船航行等典例，培养数学抽象与逻辑推理素养。采用讲练结合与模型构建，帮助学生提升问题解决能力，为教师提供系统教学资源。

向量在几何中的应用 9.4 向量应用 必备知识 清单破 知识点 1 1.向量在平面几何中的应用(a=(x1,y1),b=(x2,y2)) 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线等问题 向量共线定理 a∥b⇔a=λb⇔x1y2-x2y1=0,其中b≠0 垂直问题 数量积的性质 a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0,其中a,b为非零向量 夹角问题 数量积的应用 cos θ= = (θ为向量a,b 的夹角),其中a,b为非零向量 长度问题 数量积的应用 |a|= =  第9章　平面向量 高中同步 2.用向量方法解决平面几何问题的三个步骤 (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为 向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 第9章　平面向量 高中同步 向量在物理中的常见应用 　　位移、速度、力等——向量的定义与表示; 　　位移的合成——向量加法的三角形法则,速度、力的合成——向量加法的平行四边形法 则和三角形法则; 　　物体受力平衡——相反向量、向量加法的平行四边形法则和三角形法则; 　　物体受力做功——向量的数量积; 　　力的分解——平面向量基本定理、向量的坐标表示. 向量在物理中的应用 知识点 2 第9章　平面向量 高中同步 关键能力 定点破 定点 1 向量在几何中的应用 1.用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)基底法(向量运算法):①选取基底;②用基底表示相关向量;③利用向量的线性运算或数量 积找出相应关系;④把几何问题向量化. (2)坐标法:①建立恰当的平面直角坐标系;②把相关向量用坐标表示;③用向量的坐标运算找 出相应关系;④把向量问题几何化. 第9章　平面向量 高中同步 2.用向量解决几何问题的步骤   第9章　平面向量 高中同步 3.三角形“四心”的向量表示 (1)重心(三条中线的交点):设O是△ABC的重心,P为平面内任意一点,则 ① + + =0; ② = ( + + ); ③若 =λ( + ),λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定经过△ABC的重心. (2)垂心(三条高线所在直线的交点):设O是△ABC的垂心,则 ① · = · = · ; ②| |2+| |2=| |2+| |2=| |2+| |2.     (3)内心(三条角平分线的交点):设O是△ABC的内心,P为平面内任意一点,则 ①| |· +| |· +| |· =0(或a +b +c =0,其中a,b,c分别是△ABC的三边BC,AC, AB的长); 第9章　平面向量 高中同步 ②若 =λ ,λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定经过△ABC的内心. (4)外心(三边垂直平分线的交点):设O是△ABC的外心,则 ①| |=| |=| |, = = ; ②( + )· =( + )· =( + )· =0. 第9章　平面向量 高中同步 典例 如图,在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,动点E和F分别在线段 BC和DC上运动.若 =λ , =  ,则 · 的最小值为　　　    .   第9章　平面向量 高中同步 解析    由题意得0<λ≤1,DC= AB. 解法一:∵ =  , =  , ∴ = - =  - =  =  ,∴ = + + = + +  =   + , 又 = + = +λ , ∴ · =( +λ )·  =  +λ +  ·  = ×4+λ+ ×2×1×cos 120° 第9章　平面向量 高中同步 = + λ+ ≥2 + = , 当且仅当 = λ,即λ= 时,等号成立, 此时 · 取得最小值,为 . 解法二:以AB的中点为坐标原点,AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,   则A(-1,0),B(1,0),C ,D ,∴ =(2,0), = , = , =(1,0), 第9章　平面向量 高中同步 ∴ = + = +λ = ,  = + = +  = , ∴ · =  + λ×  = + + ≥ +2 = , 当且仅当 = ,即λ= 时,等号成立, 此时 · 取得最小值,为 . 第9章　平面向量 高中同步 用向量方法解决物理问题的步骤 (1)问题转化,即把物理问题转化为数学问题; (2)建立模型,即建立以向量为载体的数学模型; (3)求解模型,即求向量的模、夹角、数量积等; (4)回答问题,即把所得的数学结论回归到物理问题中. 定点 2 向量在物理中的应用 第9章　平面向量 高中同步 典例 长江某段南北两岸平行,如图,江面宽度d=1 km,一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸. 已知游船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|=10 km/h,水流速度v2的大小为|v2|=4 km/h.设v1和 v2的夹角为θ(0°<θ<180°),北岸的点A'在A的正北方向.   (1)当θ=120°时,试判断游船航行到达北岸的位置是在A'的东侧还是西侧,并说明理由; (2)当cos θ多大时,游船能到达A'处?需要航行多长时间?(不必近似计算) (3)当θ=120°时,游船航行到达北岸的实际航程是多少? 第9章　平面向量 高中同步 解析    (1)v1在v2反方向上的分速度的大小为|v1|cos 60°=5 km/h>|v2|=4 km/h, ∴游船航行到达北岸的位置是在A'的西侧. (2)要使游船能到达A'处,则v1在v2反方向上的分速度的大小为|v1|cos(180°-θ)=|v2|=4 km/h, ∴cos(180°-θ)= ,故cos θ=- . 又0°<θ<180°,∴sin θ= , ∴v1在垂直于河岸方向上的分速度的大小为|v1|sin θ=2  km/h, ∴需要航行的时间为 = (h). (3)由(1)知游船的航行时间为 =  h, ∴游船在东西方向上的航行距离为(|v1|×cos 60°-|v2|)× = (km), ∴游船航行到达北岸的实际航程为 = (km). 第9章　平面向量 高中同步 素养解读 　　向量是沟通代数与几何的桥梁,具有深刻的数学内涵.通过对平面向量中的数量关系与 几何图形中的位置关系的分析,抽象出几何图形与向量之间的联系,把几何问题转化为代数 问题,通过数学运算解决问题,这一过程对数学抽象的要求比较高.平面向量是进一步学习和 研究全新数学领域问题的基础. 在平面向量问题中发展数学抽象的核心素养 学科素养 情境破 素养 第9章　平面向量 高中同步 典例呈现 例题 “雪花”有着非常美丽的图案.理论上,一片雪花的周长可以无限大,围成雪花的曲线称 为“雪花曲线”,又称“科赫曲线”,是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.下图 是“雪花曲线”的一种形成过程:从一个正三角形开始,把每条边分成三等份,然后以各边的 中间一段为底边分别向外作正三角形,再去掉这一底边,重复进行这一过程.已知图①中正三 角形的边长为3,则图③中 · 的值为 (　    )   A.3 　　　    B.6 　　　    C.6　　　    D.6  C 第9章　平面向量 高中同步 主编点评    本题图③中涉及的向量关系不易找,应该结合“雪花曲线”的形成过程,以图① 中的数据及形成规则为依据,舍弃非本质的物理过程,将图①中的数据特征转移到图③中,利 用向量工具求解. 第9章　平面向量 高中同步 解题思路    解法一:在题图③中,以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,由向量的 运算求得 , 的坐标,再由数量积的坐标表示计算. 在题图③中,以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,   由已知可得| |=2, = 2cos ,2sin  =(1, ),| |= , = ,| |= , 易知PN∥OM,所以 = , 第9章　平面向量 高中同步 所以 = + + = , 所以 · =1× + × =6. 解法二:在图③中找一组基底,根据形成规则将 , 分别用基底表示,进而进行数量积计 算.如图,连接PC,    =  , = + + + = +  +  +  = + ( - )+  +  =  +  ,故 · =  · = × ×3×3× + × ×32= + =6. 第9章　平面向量 高中同步 思维升华 　　求解平面向量问题的关键是在数和形之间建立适当的联系,首先要将已知条件尽可能在 图形中标识出来,并在图形中标识出准确的数量关系,然后根据数量关系和图形特点,以平面 向量为工具,寻求合适的解决方法. 第9章　平面向量 高中同步 $