9.2.2 向量的数乘（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（苏教版）

该高中数学课件围绕向量的数乘展开，涵盖定义、几何意义、运算律、共线定理及常用结论，通过联系向量加减法构建学习支架，帮助学生从已知过渡到新知，形成完整知识脉络。 其亮点在于通过知识辨析引导学生用数学眼光发现问题，典例解析（如三点共线证明、重心问题）培养数学思维中的推理能力，常用结论助力用数学语言表达。采用问题驱动与实例分析，学生能深化理解，教师可提升教学效率。

向量的数乘 必备知识 清单破 知识点 1 9.2.2 向量的数乘 1.向量的数乘 定义 实数λ与向量a相乘的运算,叫作向量的数乘,记作λa 长度 |λa|=|λ||a| 方向 λa(a≠0)的方向:当λ>0时,λa与a方向相同;当λ<0时,λa与a方向相反 规定 当λ=0时,0a=0;当a=0时,λ0=0 第9章　平面向量 高中同步 2.向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算. 几何 意义 当λ>0时,把向量a沿着a的相同方向放大或缩小;当λ<0时,把向量a沿着a的相反方向放大或缩小 运算律 设a,b为向量,λ,μ为实数,则 (1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb 第9章　平面向量 高中同步 向量共线定理 知识点 2 1.向量共线定理 　　设a为非零向量,如果有一个实数λ,使 b=λa,那么b与a是共线向量;反之,如果b与a是共线 向量,那么有且只有一个实数λ,使b=λa. 第9章　平面向量 高中同步 2.常用结论 (1)设a,b均为实数,若 , 不共线,点P满足 =a +b ,a+b=1,则A,B,P三点共线. (2)在△ABC中,若D是BC的中点,则 = ( + ). (3)O是△ABC的重心的充要条件是 + + =0. (4)与非零向量 同方向的单位向量为 ,与非零向量 共线的单位向量为± . (5)如果存在不全为0的实数s,t,使得sa+tb=0,那么a与b是共线向量;如果a与b不共线,且sa+tb= 0,那么s=t=0. (6)已知线段AB,A1,A2,…,An-1是AB的n(n≥3)等分点,O为AB外一点,C为AB的中点,则 +  = +O =…=2 = + . 第9章　平面向量 高中同步 知识辨析 1.若b=λa(λ∈R,a≠0),则a,b的方向一定相同或相反吗? 2.已知m∈R,若ma=mb,则a=b一定成立吗? 3.向量共线定理中a可以是0吗? 第9章　平面向量 高中同步 一语破的 1.不一定.当λ=0时,b=0,其方向是任意的. 2.不一定.若m=0,则无论a,b是否相等,都有ma=mb. 3.不可以.若a=b=0,则λ可以是任意实数;若a=0,b≠0,则不存在实数λ,使得b=λa. 第9章　平面向量 高中同步 关键能力 定点破 定点 1 向量共线定理的应用 1.证明两向量共线 要证明非零向量a,b共线,只需证明存在实数λ,使得b=λa即可. 2.证明三点共线 要证明A,B,C三点共线,只需证明存在实数λ,使得 =λ (或 =λ 等)即可. 3.证明线线平行 一般地,如果存在实数λ,使得 =λ ,且A,B,C,D四点不共线,那么AB∥CD. 4.利用向量共线求参数的基本步骤 (1)根据向量共线定理,结合向量的线性运算列关系式(通常要引入一个参数). (2)根据对应向量系数相等列方程(组)求参数. 第9章　平面向量 高中同步 典例 已知非零向量e1,e2不共线. (1)若a= e1- e2,b=3e1-2e2,判断向量a,b是否共线; (2)若 =e1+e2, =2e1+8e2, =3(e1-e2),求证:A,B,D三点共线; (3)若  =2e1+ke2, =e1+3e2,且 A,B,C三点共线,求实数k的值. 第9章　平面向量 高中同步 解析    (1)因为b=3e1-2e2=6 =6a,所以向量a,b共线. (2)证明:因为 = + =2e1+8e2+3(e1-e2)=5(e1+e2)=5 , 所以A,B,D三点共线. (3)由A,B,C三点共线,可知存在λ∈R,使得 =λ , 又 =2e1+ke2, =e1+3e2,所以2e1+ke2=λe1+3λe2,即(2-λ)e1=(3λ-k)e2, 因为e1,e2不共线,所以 解得  故实数k的值为6. 第9章　平面向量 高中同步 　　我们应该熟悉如下结论: 　　对于平面内任意一点O及三点A,B,P,若A,B,P三点共线,则存在实数x,y,使得 =x +y  ,且x+y=1;若存在实数x,y,且x+y=1,使得 =x +y ,则A,B,P三点共线.这是一个非常重 要的结论,利用它可以快速解决点共线问题,应熟练掌握. 定点 2 三点共线的推论 第9章　平面向量 高中同步 典例 如图所示,已知点G是△ABC的重心,过G作直线MN,与AB,AC两边分别交于M,N两点,且  =x , =y ,则 的值为　　　    .   思路点拨       第9章　平面向量 高中同步 解析    如图,设BC的中点为D,连接GD,   ∵G是△ABC的重心, ∴A,D,G三点共线且 =  , 易知 = ( + ), ∴ =  = ( + ). 由题意可得 =  , =  , 第9章　平面向量 高中同步 ∴ =  =  +  , 又∵M,G,N三点共线,∴ + =1, ∴ + =3,∴ =3,∴ = . 第9章　平面向量 高中同步 $