10.1.4 概率的基本性质（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教A版）

10.1.4　概率的基本性质 基础过关练 题组一　对概率的基本性质的理解 1.(2024江西上饶月考)若事件A和B是互斥事件,且P(A)=0.1,则P(B)的取值范围是(　　) A.[0,0.9]　　B.[0.1,0.9]　　C.(0,0.9]　　D.[0,1] 2.(多选题)(2024湖北武汉外国语学校月考)下列四个命题中,是假命题的有(　　) A.对立事件一定是互斥事件 B.若A,B为两个事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B) C.若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1 D.若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件 3.(多选题)(2025四川眉山期中)在一次随机试验中,事件A1,A2,A3发生的概率分别是0.2,0.3,0.5,则下列说法错误的是(　　) A.A1∪A2与A3是互斥事件,也是对立事件 B.(A1∪A2)∪A3是必然事件 C.P(A2∪A3)=0.8 D.P(A1∪A2)≤0.5 题组二　利用概率的基本性质求概率 4.(2025四川成都期中)若随机事件A,B满足P(A)=,P(B)=,P(A+B)=,则P(AB)=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 5.(2025上海浦东期末)已知A,B,C为随机事件,A与B互斥,B与C对立,且P(A)=0.1,P(C)=0.4,则P(A∪B)=(　　) A.0.06　　B.0.5　　C.0.6　　D.0.7 6.(教材习题改编)根据以往的经验,小张每次考试语文成绩及格的概率为0.8,数学成绩及格的概率为0.9,语文和数学成绩同时及格的概率为0.75,则语文和数学至少有一科成绩及格的概率为　　　　.  7.(2025河南驻马店十校联考)已知事件A,B满足P(A)=,P(B)=,P(A∪B)=.若C=,则P(C∩B)=　　　　;若D=,则P(D)=　　　　.  8.(2025安徽蚌埠期末)某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏,在不透明的盒子里装有标号为1,2的两个红球和标号为3,4,5的三个白球,五个小球除颜色外完全相同,参与游戏的同学从中任取一个球,有放回地抽取两次,根据抽到小球的情形分别设置一、二、三等奖.班委会讨论了以下两种规则: 规则一:抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖,抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖,抽到两个球的标号和为奇数获三等奖,其余不获奖; 规则二:抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖,抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖,抽到两个球的标号和为偶数且不是5的倍数获三等奖,其余不获奖. (1)请用数组(x,y)写出两次抽取小球的所有结果(其中x,y分别为第一次、第二次抽到的球的标号); (2)分别求两种规则下获得二等奖的概率; (3)判断哪种规则获奖概率更大,并说明理由. 能力提升练 题组　利用概率的基本性质求概率 1.(2024吉林长春东北师范大学附属中学期中)已知事件A,B,C两两互斥,若P(A)=,P(C)=,P(A∪B)=,则P(B∪C)=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 2.(2025湖南部分学校联考)废弃矿山的治理事关我国的生态环境保护,甲、乙两种植物可以在一定程度上加快污染地生态的恢复.若在某片污染地上甲、乙两种植物至少有一种可以存活,且甲种植物存活的概率是0.6,乙种植物存活的概率是0.5,则在该片污染地上甲、乙两种植物都存活的概率为(　　) A.0.4　　B.0.3　　C.0.2　　D.0.1 3.(2025陕西多校期末联考)连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币,分别记录下每次抛掷的结果,记事件A=“正面向上的次数大于反面向上的次数”,事件Bi=“第i次抛掷的结果为正面向上”(其中i=1,2),则有(　　) A.事件A与事件B1是互斥事件 B.事件B1与事件B2是对立事件 C.P(A∪B1)>P(B1∪B2) D.P(A∩B1)=P(B1∩B2) 4.(2025江西宜春中学期末)已知事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,且P(A)=2P(B),则P()=　　　　.  5.(2025山东八校联合测评)某站台经过统计发现,一号列车准点到站的概率为,二号列车准点到站的概率为,一号列车准点到站或者二号列车不准点到站的概率为,记“一号列车准点到站且二号列车不准点到站”为事件A,“一号列车不准点到站且二号列车准点到站”为事件B,则P(A∪B)=　　　　.  6.甲、乙、丙、丁四人参加4×100 m接力赛,他们跑每一棒的概率均为,则甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为　　　　.  7.(2024江苏盐城射阳中学月考)袋中有黑球、黄球、绿球共9个,这些球除颜色外完全相同,从中任取1个球,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率是. (1)袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是多少? (2)从所有黑球、黄球中任取2个球,黑球与黄球各1个的概率是多少? (3)从袋中任取2个球,这2个球颜色不相同的概率是多少? 答案与分层梯度式解析 10.1.4　概率的基本性质 基础过关练 1.A 2.BCD 3.ABC 4.B 5.D 1.A　因为事件A和B是互斥事件,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.1+P(B),又0≤P(A+B)≤1,所以0≤0.1+P(B)≤1,即-0.1≤P(B)≤0.9,又P(B)≥0,所以0≤P(B)≤0.9. 2.BCD　易知A是真命题; 对于B,当A与B为互斥事件时,P(A∪B)=P(A)+P(B),当A与B为任意两个事件时,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),B是假命题; 对于C,设事件A,B,C分别表示掷一次骰子试验中的事件“掷出1点”“掷出2点”“掷出3点”,则事件A,B,C两两互斥,但P(A∪B∪C)=,C是假命题; 对于D,例如,袋中有除颜色外完全相同的红、黄、黑、蓝4个球,从袋中任摸一个球,设事件A=“摸到红球或黄球”,事件B=“摸到黄球或黑球”,则P(A)=,P(B)=,P(A)+P(B)=1,但事件A与B不对立,D是假命题. 3.ABC　事件A1,A2,A3不一定两两互斥,所以P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2)≤0.5,P(A2∪A3)=P(A2)+P(A3)-P(A2A3)≤0.8,P((A1∪A2)∪A3)≤1,所以(A1∪A2)∪A3不一定是必然事件,A1∪A2与A3不一定是对立事件,所以A,B,C中说法错误. 4.B　由概率的性质得P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=+-=. 5.D　因为B与C对立,且P(C)=0.4,所以P(B)=1-P(C)=0.6, 又A与B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.7. 6.答案　0.95 解析　设事件A=“语文成绩及格”,事件B=“数学成绩及格”,则A∩B=“语文和数学成绩都及格”,A∪B=“语文和数学至少有一科成绩及格”, 由题意知P(A)=0.8,P(B)=0.9,P(A∩B)=0.75, 所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.8+0.9-0.75=0.95. 7.答案　; 解析　由概率的性质得P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=+-=. 由C=,得B=(A∩B)∪(C∩B), 依题意,事件A∩B与事件C∩B互斥,则P(B)=P(A∩B)+P(C∩B),即=+P(C∩B),解得P(C∩B)=. 由D=,得P(D)=1-P(A∩B)=1-=. 8.解析　(1)两次抽取小球的所有可能结果为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共25种. (2)记在规则一下获得二等奖为事件A2,在规则二下获得二等奖为事件B2, 事件A2={(3,3),(3,5),(4,4),(5,3),(5,5)},共5个样本点,因此P(A2)==, 事件B2={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(5,5)},共5个样本点,因此P(B2)==. (3)两种规则获奖概率一样大.理由如下: 记在规则一下获得一、三等奖分别为事件A1,A3,在规则二下获得一、三等奖分别为事件B1,B3, 事件A1={(1,1),(2,2)},共2个样本点,∴P(A1)=. 事件A3={(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4)},共12个样本点,∴P(A3)=. ∴在规则一下获奖的概率为P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=++=. 事件B1={(1,2),(2,1)},共2个样本点,∴P(B1)=, 事件B3={(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3)},共12个样本点,∴P(B3)=. ∴在规则二下获奖的概率为P(B1+B2+B3)=P(B1)+P(B2)+P(B3)=++=. ∴两种规则获奖的概率一样大. 能力提升练 1.B 2.D 3.D 1.B　因为事件A,B,C两两互斥, 所以P(B)=P(A∪B)-P(A)=-=, 所以P(B∪C)=P(B)+P(C)=+=. 2.D　设甲种植物存活为事件A,乙种植物存活为事件B,则P(A)=0.6,P(B)=0.5,因为甲、乙两种植物至少有一种可以存活,所以P(A∪B)=1, 所以甲、乙两种植物都存活的概率为P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=0.6+0.5-1=0.1. 3.D　根据题意,所有样本点有正正,正反,反反,反正,事件A包含的样本点为正正,事件B1包含的样本点为正正,正反,事件B2包含的样本点为正正,反正. 对于A,事件A与事件B1有可能同时发生,不是互斥事件,因此A错误; 对于B,事件B1与事件B2可能同时发生,不是对立事件,因此B错误; 对于C,P(A∪B1)=P(A)+P(B1)-P(AB1)=+-=, P(B1∪B2)=P(B1)+P(B2)-P(B1B2)=+-=, 所以P(A∪B1)<P(B1∪B2),因此C错误; 对于D,P(A∩B1)=,P(B1∩B2)=,所以P(A∩B1)=P(B1∩B2),因此D正确. 4.答案　 解析　因为事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,所以P(A)+P(B)=1-P()=1-=, 又因为P(A)=2P(B),所以P(B)=,P(A)=, 所以P()=1-=. 5.答案　 解析　记“一号列车准点到站”为事件M,“二号列车准点到站”为事件N, 则P(M)=,P(N)=,P(M+)=, 由P(M+)=P(M)+P()-P(M),得=+-P(M),因此P(M)=, 由P(M)=P(MN)+P(M),得=P(MN)+,则P(MN)=, 由P(N)=P(MN)+P(N),得=+P(N),因此P(N)=, 所以P(A∪B)=P(M+N)=P(M)+P(N)=+=. 6.答案　 解析　设事件A=“甲跑第一棒”,事件B=“乙跑第四棒”(A与B并不是互斥事件),则P(A)=,P(B)=. 记甲跑第x棒,乙跑第y棒,则可以用(x,y)表示甲、乙的接力情况,所有可能的结果有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),共12种, 其中甲跑第一棒,乙跑第四棒只有一种结果,即(1,4),故P(A∩B)=, 所以甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=+-=. 7.解析　(1)从袋中任取1个球,记得到黑球、黄球、绿球分别为事件A,B,C,则A,B,C两两互斥, 所以 解得P(A)=,P(B)=,P(C)=, 所以袋中黑球的个数为9×=3,黄球的个数为9×=2,绿球的个数为9×=4. (2)用A1,A2,A3分别表示3个黑球,B1,B2分别表示2个黄球,则从所有黑球、黄球中任取2个球的样本空间Ω1={A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2},共10个样本点, 记“黑球与黄球各1个”为事件D,则D={A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2},共6个样本点, 所以P(D)==. (3)用C1,C2,C3,C4分别表示4个绿球,则从袋中任取2个球的样本空间Ω2={A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A1C1,A1C2,A1C3,A1C4,A2A3,A2B1,A2B2,A2C1,A2C2,A2C3,A2C4,A3B1,A3B2,A3C1,A3C2,A3C3,A3C4,B1B2,B1C1,B1C2,B1C3,B1C4,B2C1,B2C2,B2C3,B2C4,C1C2,C1C3,C1C4,C2C3,C2C4,C3C4},共36个样本点, 记“2个球都是黑球”为事件E,则E={A1A2,A1A3,A2A3},共3个样本点,记“2个球都是黄球”为事件F,则F={B1B2},共1个样本点,记“2个球都是绿球”为事件G,则G={C1C2,C1C3,C1C4,C2C3,C2C4,C3C4},共6个样本点, 则P(E)==,P(F)=,P(G)==, 所以从袋中任取2个球,这2个球颜色相同的概率P=P(E)+P(F)+P(G)=++=, 则这2个球颜色不相同的概率是1-=(点拨:也可通过所取2个球颜色不相同的情况求解). 7 学科网（北京）股份有限公司 $