10.1.4 概率的基本性质 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

10.1.4 概率的基本性质 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、选择题 1.下列说法中，正确的个数是（　　） ①必然事件的概率等于1；②某事件的概率等于1.1；③某事件的概率是0. A.0 B.1 C.2 D.3 2.（2025·山东潍坊高一期末）设A，B是一个随机试验中的两个互斥事件，且P（A）＝，P（B）＝，则P（A∪）等于（　　） A. B. C. D. 3.（2025·湖北十堰高二检测）已知随机事件A和B互斥，且P（A∪B）＝0.5，P（B）＝0.3，则P（）等于（　　） A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 4.（2025·广东惠州高二检测）已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P（A）＝2P（B），则P（）等于（　　） A. B. C. D. 5.袋子中有一些大小和质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一个球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（　　） A.0.64 B.0.72 C.0.76 D.0.82 6.某班共有48名同学，其中12名同学精通乐器，8名同学擅长舞蹈，从该班中任选一名同学调查其艺术特长.设事件A＝“选中的同学精通乐器”，B＝“选中的同学擅长舞蹈”.若P（A∪B）＝，则P（AB）等于（　　） A. B. C. D. 7.（2025·广东汕尾高一期末）若事件A，B满足P（A）＝，P（B）＝，P（A∪B）＝，则下列说法中，错误的是（　　） A.P（）＝ B.P（AB）＝ C.P（AB）＝P（A）P（B） D.P（）≠P（）P（） 8.（多选）从装有2个红球、4个白球的袋子中任意摸出2个球，事件A＝“至少摸出1个红球”，事件B＝“至多摸出1个白球”，则下列说法中，错误的有（　　） A.P（A）＜P（B） B.P（A）＝P（B） C.P（A∪B）＝P（A）＋P（B） D.P（A）＋P（B）＝1 9.（多选）某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39名，32名，33名成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一名成员，则（　　） A.他只参加音乐小组的概率为 B.他只参加英语小组的概率为 C.他至少参加2个小组的概率为 D.他参加不超过2个小组的概率为 二、填空题 10.一次考试中，甲数学超过90分的概率是0.8，物理超过90分的概率是0.7，两门都超过90分的概率是0.6，则甲的数学和物理至少有一门超过90分的概率是 . 11.设A，B是随机事件，且P（A）＝，P（B）＝，P（A∪）＝，则P（A∩）＝ . 12.为了增加销量，某零食生产企业开展有奖促销活动：将5包零食放在一个大礼包内，其中有2包为能够中奖的零食.若从一个大礼包中不放回地随机抽取2次，每次抽取1包，则能中奖的概率为 . 13.某次知识竞赛的规则如下：主办方预设3个问题，选手能答对这3个问题，即可晋级下一轮.假设某选手回答正确的个数为0，1，2的概率分别是0.1，0.2，0.3，则该选手晋级下一轮的概率为 . 三、解答题 14.在某一时期内，一条河流某处的年最高水位（单位：m）在各个范围内的概率如下表所示： 年最高水位 [8，10） [10，12） [12，14） [14，16） [16，18] 概率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08 计算在同一时期内，这条河流这一处的年最高水位（单位：m）在下列范围内的概率： （1）[10，16）； （2）[8，12）； （3）[14，18]. 15.某班级有45％的学生喜欢打羽毛球，80％的学生喜欢打乒乓球，30％的学生两种运动都喜欢.现从该班随机抽取一名学生，求下列事件的概率： （1）这名学生只喜欢打羽毛球； （2）这名学生至少喜欢一种运动； （3）这名学生只喜欢一种运动； （4）这名学生两种运动都不喜欢. 16.甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则如下：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为a，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为b，记录摸球结果（a，b），若a＋b＞5，则甲赢，否则乙赢. （1）求a＋b＝5的概率； （2）这种游戏规则公平吗？请说明理由. 参 考 答 案 一、选择题 1.下列说法中，正确的个数是（　C　） ①必然事件的概率等于1；②某事件的概率等于1.1；③某事件的概率是0. A.0 B.1 C.2 D.3 解析： ①必然事件的概率等于1，此说法正确，必然事件一定发生，其概率是1；②某事件的概率等于1.1，必然事件的概率是1，故概率为1.1的事件不存在，说法不正确；③不可能事件的概率就是0，说法正确. 2.（2025·山东潍坊高一期末）设A，B是一个随机试验中的两个互斥事件，且P（A）＝，P（B）＝，则P（A∪）等于（　C　） A. B. C. D. 解析： ∵A，B是两个互斥事件，∴P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝＋＝，∴P（A∪）＝1－P（A∪B）＝. 3.（2025·湖北十堰高二检测）已知随机事件A和B互斥，且P（A∪B）＝0.5，P（B）＝0.3，则P（）等于（　D　） A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 解析： ∵A与B互斥，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B），可得P（A）＝P（A∪B）－P（B）＝0.5－0.3＝0.2，∴P（）＝1－P（A）＝1－0.2＝0.8. 4.（2025·广东惠州高二检测）已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P（A）＝2P（B），则P（）等于（　D　） A. B. C. D. 解析： 由题可知，P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝1－＝，又P（A）＝2P（B），∴2P（B）＋P（B）＝，解得P（B）＝，∴P（）＝1－P（B）＝. 5.袋子中有一些大小和质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一个球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（　C　） A.0.64 B.0.72 C.0.76 D.0.82 解析： 设摸出红球的概率为P（A），摸出白球的概率为P（B），摸出黑球的概率 为P（C），∴P（A）＋P（B）＝0.56，P（A）＋P（C）＝0.68，且P（A）＋P（B）＋P（C）＝1，∴P（C）＝1－P（A）－P（B）＝0.44，P（B）＝1－P（A）－P（C）＝0.32，∴P（B）＋P（C）＝0.76，即摸出的球是白球或黑球的概率为0.76. 6.某班共有48名同学，其中12名同学精通乐器，8名同学擅长舞蹈，从该班中任选一名同学调查其艺术特长.设事件A＝“选中的同学精通乐器”，B＝“选中的同学擅长舞蹈”.若P（A∪B）＝，则P（AB）等于（　C　） A. B. C. D. 解析： 由题知，P（A）＝＝，P（B）＝＝，∵P（A∪B）＝，∴P（A）＋P（B）－P（AB）＝，即＋－P（AB）＝，解得P（AB）＝. 7.（2025·广东汕尾高一期末）若事件A，B满足P（A）＝，P（B）＝，P（A∪B）＝，则下列说法中，错误的是（　B　） A.P（）＝ B.P（AB）＝ C.P（AB）＝P（A）P（B） D.P（）≠P（）P（） 解析： 对于A，由P（B）＝，可得P（）＝1－P（B）＝，∴A中说法正确；对于B，由P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝，可得P（AB）＝，∴B错误；对于C， 由P（A）＝，P（B）＝，P（AB）＝，可得P（AB）＝P（A）P（B），∴C中说法正确； 对于D，由P（）＝1－P（AB）＝，P（）·P（）＝×＝，∴P（）≠P（）P（），∴D中说法正确. 8.（多选）从装有2个红球、4个白球的袋子中任意摸出2个球，事件A＝“至少摸出1个红球”，事件B＝“至多摸出1个白球”，则下列说法中，错误的有（　ACD　） A.P（A）＜P（B） B.P（A）＝P（B） C.P（A∪B）＝P（A）＋P（B） D.P（A）＋P（B）＝1 解析： 从装有2个红球、4个白球的袋子中任意摸出2个球，该试验的样本空间共包含15个样本点，事件A＝“至少摸出1个红球”，事件B＝“至多摸出1个白球”，则事件A，B均包含摸出1个红球和1个白球，摸出2个红球这两种情况，则事件A，B都包含2×4＋1＝9（个）样本点，故P（A）＝P（B）＝＝，A错误，B正确；P（A∪B）＝P（A）＝，P（A）＋P（B）＝＋＝，C，D错误. 9.（多选）某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39名，32名，33名成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一名成员，则（　CD　） A.他只参加音乐小组的概率为 B.他只参加英语小组的概率为 C.他至少参加2个小组的概率为 D.他参加不超过2个小组的概率为 解析： 由题图知，参加兴趣小组的共有6＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝60（人），只参加数学、英语、音乐小组的人数分别为10，6，8，故只参加音乐小组的概率为＝，A错误；只参加英语小组的概率为＝，B错误；“至少参加2个小组”包含“参加2个小组”和“参加3个小组”两种情况，故他至少参加2个小组的概率为＝，C正确；“参加不超过2个小组”包含“参加1个小组”和“参加2个小组”，其对立事件是“参加3个小组”，故他参加不超过2个小组的概率P＝1－＝，D正确. 二、填空题 10.一次考试中，甲数学超过90分的概率是0.8，物理超过90分的概率是0.7，两门都超过90分的概率是0.6，则甲的数学和物理至少有一门超过90分的概率是　0.9　. 解析： ∵一次考试中，甲数学超过90分的概率是0.8，物理超过90分的概率是0.7，两门都超过90分的概率是0.6，∴甲的数学和物理至少有一门超过90分的概率为P＝0.8＋0.7－0.6＝0.9. 11.设A，B是随机事件，且P（A）＝，P（B）＝，P（A∪）＝，则P（A∩）＝　　. 解析： ∵P（B）＝，∴P（）＝1－P（B）＝， 故P（A∩）＝P（A）＋P（）－P（A∪）＝＋－＝. 12.为了增加销量，某零食生产企业开展有奖促销活动：将5包零食放在一个大礼包内，其中有2包为能够中奖的零食.若从一个大礼包中不放回地随机抽取2次，每次抽取1包，则能中奖的概率为　　. 解析： 设事件A＝“中奖”，事件A1＝“抽到的第1包零食中奖”，事件A2＝“抽到的第2包零食中奖”.注意到事件A的对立事件是“抽到的2包零食都不中奖”，由于＝“抽到的2包零食都不中奖”，而n（）＝3×2＝6，∴P（）＝＝，因此P（A）＝1－P（）＝. 13.某次知识竞赛的规则如下：主办方预设3个问题，选手能答对这3个问题，即可晋级下一轮.假设某选手回答正确的个数为0，1，2的概率分别是0.1，0.2，0.3，则该选手晋级下一轮的概率为　0.4　. 解析： 记“答对0个问题”为事件A，“答对1个问题”为事件B，“答对2个问题”为事件C，“答对3个问题（即晋级下一轮）”为事件D，则“不能晋级下一轮”为事件D的对立事件，且＝A∪B∪C，显然P（）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝ 0.1＋0.2＋0.3＝0.6，故P（D）＝1－P（）＝1－0.6＝0.4. 三、解答题 14.在某一时期内，一条河流某处的年最高水位（单位：m）在各个范围内的概率如下表所示： 年最高水位 [8，10） [10，12） [12，14） [14，16） [16，18] 概率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08 计算在同一时期内，这条河流这一处的年最高水位（单位：m）在下列范围内的概率： （1）[10，16）； 解：记该河流这一处的年最高水位（单位：m）在[8，10），[10，12），[12，14），[14，16），[16，18]分别为事件A，B，C，D，E，且彼此互斥. （1）P（B∪C∪D）＝P（B）＋P（C）＋P（D）＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82. （2）[8，12）； 解：（2）P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝0.1＋0.28＝0.38. （3）[14，18]. 解：（3）P（D∪E）＝P（D）＋P（E）＝0.16＋0.08＝0.24， ∴年最高水位（单位：m）在[10，16），[8，12），[14，18]的概率分别为0.82，0.38，0.24. 15.某班级有45％的学生喜欢打羽毛球，80％的学生喜欢打乒乓球，30％的学生两种运动都喜欢.现从该班随机抽取一名学生，求下列事件的概率： （1）这名学生只喜欢打羽毛球； 解：从该班随机抽取一名学生，设A＝“这名学生喜欢打羽毛球”，B＝“这名学生喜欢打乒乓球”，则P（A）＝0.45，P（B）＝0.8，P（AB）＝0.3. （1）这名学生只喜欢打羽毛球的概率为P（）＝P（A）－P（AB）＝0.45－0.3＝0.15. （2）这名学生至少喜欢一种运动； 解：（2）这名学生至少喜欢一种运动的概率为P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝0.45＋0.8－0.3＝0.95. （3）这名学生只喜欢一种运动； 解：（3）这名学生只喜欢一种运动的概率为P（A∪B）－P（AB）＝0.95－0.3＝0.65. （4）这名学生两种运动都不喜欢. 解：（4）这名学生两种运动都不喜欢的概率为P（A∪）＝1－P（A∪B）＝1－0.95＝0.05. 16.甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则如下：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为a，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为b，记录摸球结果（a，b），若a＋b＞5，则甲赢，否则乙赢. （1）求a＋b＝5的概率； 解：（1）样本空间中包含的样本点是（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25个，其中a＋b＝5包含的样本点为（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4个，故由古典概型的概率计算公式可得P（a＋b＝5）＝. （2）这种游戏规则公平吗？请说明理由. 解：（2）这种游戏规则不公平.理由如下：设事件A表示甲赢，事件B表示乙赢，则A，B为对立事件，由题意，事件A包含的样本点有（1，5），（2，4），（2，5），（3，3），（3，4），（3，5），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共15个， 由古典概型的概率计算公式可得P（A）＝＝，∴P（B）＝1－P（A）＝，∵P（A）＞P（B），∴这种游戏规则不公平. 学科网（北京）股份有限公司 $