10.1.2 事件的关系和运算（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教A版）

10.1.2　事件的关系和运算 基础过关练 题组一　事件之间的关系 1.已知事件A,B,C满足A⊆B,B⊆C,则下列说法不正确的是(　　) A.事件A发生一定导致事件C发生 B.事件B发生一定导致事件C发生 C.事件发生不一定导致事件发生 D.事件发生不一定导致事件发生 2.(2025安徽宿州砀山七校期中联考)在投掷一枚质地均匀的骰子试验中,事件A表示“向上的点数为偶数”,事件B表示“向上的点数是1或3”,事件C表示“向上的点数是4或5或6”,则下列说法正确的是(　　) A.A与B是对立事件　　B.B与C是对立事件　　 C.A与C是互斥事件　　D.A与B是互斥事件 3.(2025湖北部分重点中学期末联考)某小组有2名男生和3名女生,从中任选2名同学参加比赛,那么下面的事件中,互斥且不对立的两个事件是(　　) A.“至少有1名女生”与“全是女生” B.“恰有1名女生”与“恰有2名女生” C.“至少有1名女生”与“全是男生” D.“至少有1名女生”与“至多有1名男生” 4.(多选题)(2025河南信阳期末)袋子中有4个大小、质地完全相同的球,其中2个红球、2个黄球,从中不放回地依次摸出2个球,记A=“恰有一次摸到红球”,B=“两次都摸到红球”,C=“两次都摸到黄球”,D=“至少有一次摸到红球”,E=“至多有一次摸到红球”.则下列说法正确的是(　　) A.事件A与事件B是互斥事件 B.事件B与事件C是对立事件 C.事件C与事件D是对立事件 D.事件D与事件E是互斥事件 5.(2024福建莆田第五中学月考)从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取三个数,下列事件为对立事件的是(　　) A.恰有一个是奇数和恰有两个是偶数 B.至少有两个是偶数和至少有两个是奇数 C.至多有一个是奇数和恰有一个是偶数 D.至少有一个是奇数和至少有一个是偶数 题组二　事件的运算 6.(2025广东佛山第三中学质检)掷一枚质地均匀的骰子,“向上的点数是1或3”为事件A,“向上的点数是1或5”为事件B,则(　　) A.A=B B.A∪B表示向上的点数是1或3或5 C.A∪B表示向上的点数是1或3 D.A∩B表示向上的点数是1或5 7.(2024四川雅安名山第三中学月考)如果事件A,B互斥,,分别为事件A,B的对立事件,那么　(　　) A.A+B是必然事件　　 B.+是必然事件 C.与一定互斥　　 D.与不可能互斥 8.(多选题)(2025河南驻马店段考)某同学参加3次不同测试,用事件Ji(i=1,2,3)表示随机事件“第i(i=1,2,3)次测试成绩及格”,则下列说法正确的是(　　) A.J1∪J2表示前两次测试成绩中有且仅有一次及格 B.表示后两次测试成绩均不及格 C.J1∩J2∩J3表示三次测试成绩均及格 D.∩∩表示三次测试成绩均不及格 9.(2024四川绵阳南山中学月考)下图是某班级50名学生参加数学、语文、英语兴趣小组的情况,设事件A=“参加数学兴趣小组”,事件B=“参加语文兴趣小组”,事件C=“参加英语兴趣小组”.现从这个班任意选择一名学生,则事件AB所代表的区域是　　　　(填区域编号).  题组三　事件的关系与运算的应用 10.(多选题)(2025湖北仙桃期末)抛掷一枚质地均匀的骰子,有如下随机事件:E=“点数不大于2”;F=“点数大于2”;G=“点数大于5”;H=“点数为奇数”.则下列说法正确的有(　　) A.F∪G=G　　B.E,F为对立事件 C.F与H互斥　　D.G∩H=⌀ 11.(多选题)(2024河南洛阳强基联盟联考)某商场为促销组织了一场幸运抽奖活动,袋中装有8个大小、形状相同的小球,并分别标有1~8这八个数字,抽奖者从中任取一个球,事件A表示“取出球的编号为奇数”,事件B表示“取出球的编号为偶数”,事件C表示“取出球的编号大于5”,事件D表示“取出球的编号小于5”,则(　　) A.事件A与C不互斥 B.事件A与B互为对立事件 C.事件B与C互斥 D.事件C与D互为对立事件 12.(2025广东佛山质检)把1,2,3,4,5,6,7,8,9,10分别写在10张形状、大小一样的卡片上,并随机抽取1张.设事件A=“出现奇数”,事件B=“出现被3除余2的数”.写出下面两个事件对应的集合: (1)事件A、事件B至少有一个发生; (2)事件A、事件B恰好有一个发生. 13.(教材习题改编)在甲、乙、丙三人各射击1次,观察中靶的情况的试验中,事件A=“甲中靶”,事件B=“乙中靶”,事件C=“丙中靶”,试用A,B,C的运算表示下列随机事件: (1)甲未中靶; (2)甲中靶而乙未中靶; (3)三人中只有丙未中靶; (4)三人中至少有一人未中靶; (5)三人中恰有两人中靶. 答案与分层梯度式解析 10.1.2　事件的关系和运算 基础过关练 1.D 2.D 3.B 4.AC 5.B 6.B 7.B 8.BCD 10.BD 11.AB 1.D　因为B⊆C,所以事件B发生一定导致事件C发生,因为A⊆B,所以事件A发生一定导致事件B发生,所以事件A发生一定导致事件C发生,A,B中说法正确; 因为A⊆C,所以⊆,所以事件发生不一定导致事件发生,C中说法正确; 因为B⊆C,所以⊆,所以事件发生一定导致事件发生,D中说法不正确. 2.D　当向上的点数为5时,事件A与B同时不发生,因此A错误;当向上的点数为2时,事件B与C同时不发生,因此B错误;当向上的点数是4或6时,事件A与事件C同时发生,因此C错误;事件A与事件B不能同时发生,因此D正确. 易错警示 　　互斥事件与对立事件的关系:对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件,两者所包含的事件都不可能同时发生,但对立事件还需要满足其中必有一个事件发生. 3.B　“从中任选2名同学参加比赛”所包含的情况有:两男、两女、一男一女. 对于A,“至少有1名女生”包含的情况有:两女、一男一女,与“全是女生”可以同时发生,不是互斥事件,因此A不符合题意; 对于B,“恰有1名女生”表示一男一女,与“恰有2名女生”不可能同时发生,是互斥事件,但不是对立事件,因此B符合题意; 对于C,“至少有1名女生”与“全是男生”是互斥事件也是对立事件,因此C不符合题意; 对于D,“至少有1名女生”包含的情况有:两女、一男一女,“至多有1名男生”包含的情况有:两女、一男一女,可以同时发生,不是互斥事件,因此D不符合题意. 4.AC　对于A,由于事件A与事件B不可能同时发生,故二者是互斥事件,因此A正确; 对于B,B∩C=⌀,但B∪C≠Ω(Ω为样本空间),故二者为互斥事件,不是对立事件,因此B错误; 对于C,“至少有一次摸到红球”包括“一次摸到红球一次摸到黄球”和“两次都摸到红球”,其对立事件为“两次都摸到黄球”,故事件C与事件D是对立事件,因此C正确; 对于D,D∩E=“一次摸到红球,另一次摸到黄球”,故二者不互斥,因此D错误. 5.B　可能出现的情况有0奇3偶,1奇2偶,2奇1偶,3奇0偶,共4种. 对于A,恰有一个是奇数和恰有两个是偶数是同一个事件,故A不符合题意; 对于B,至少有两个是偶数包括0奇3偶,1奇2偶两种情况,至少有两个是奇数包括2奇1偶,3奇0偶两种情况,故两个事件有且仅有一个发生,是对立事件,故B符合题意; 对于C,至多有一个是奇数包括0奇3偶,1奇2偶两种情况,恰有一个是偶数为2奇1偶,故两个事件不能同时发生,但可以同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,故C不符合题意; 对于D,至少有一个是奇数包括1奇2偶,2奇1偶,3奇0偶三种情况,至少有一个是偶数包括0奇3偶,1奇2偶,2奇1偶三种情况,故两个事件能同时发生,不是对立事件,故D不符合题意. 6.B　“向上的点数是1或3”为事件A,“向上的点数是1或5”为事件B,所以事件B不等于事件A,因此A错误; 事件A∪B表示向上的点数是1或3或5,因此B正确,C错误; 事件A∩B表示向上的点数是1,因此D错误. 7.B　如图所示,集合E表示事件A,集合F表示事件B,集合I表示样本空间. 对于A,E+F不一定是全集,A错误; 对于B,(∁IE)∪(∁IF)=I,即+是必然事件,B正确; 对于C,(∁IE)∩(∁IF)不一定是空集,即与有可能同时发生,C错误; 对于D,若(∁IE)∩(∁IF)=⌀,则与互斥,D错误. 8.BCD　J1∪J2表示前两次测试成绩中至少有一次及格,因此A错误; J2∪J3表示第二次和第三次测试成绩中至少有一次及格,所以表示后两次测试成绩均不及格,因此B正确; J1∩J2∩J3表示J1,J2,J3同时发生,即三次测试成绩均及格,因此C正确; 表示第i次测试成绩不及格,所以∩∩表示三次测试成绩均不及格,因此D正确. 9.答案　4 解析　事件AB表示参加数学兴趣小组,且参加语文兴趣小组,但不参加英语兴趣小组,其代表的区域为4. 10.BD　对于A,F∪G=“点数大于2”=F,因此A错误; 对于B,“点数大于2”与“点数不大于2”不可能同时发生,且必有一个发生,即E,F为对立事件,因此B正确; 对于C,“点数大于2”与“点数为奇数”可能同时发生,即F与H不是互斥事件,因此C错误; 对于D,“点数大于5”与“点数为奇数”不可能同时发生,故G∩H=⌀,因此D正确. 11.AB　抽奖者从中任取一个球的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}, 则事件A={1,3,5,7},B={2,4,6,8},C={6,7,8},D={1,2,3,4}, 所以A∩C={7}≠⌀,A∪B=Ω且A∩B=⌀,B∩C={6,8}≠⌀,C∩D=⌀且C∪D={1,2,3,4,6,7,8}≠Ω, 所以事件A与C不互斥,事件A与B互为对立事件,事件B与C不互斥,事件C与D互斥但不对立. 解题模板 　　借助集合知识解决事件的关系的问题时,可将事件中的样本点列举出来,进而利用集合间的关系判断事件的关系. 12.解析　(1)由题意可知A={1,3,5,7,9},B={2,5,8}, 所以A、B至少有一个发生为A∪B={1,2,3,5,7,8,9}. (2)因为A={1,3,5,7,9},B={2,5,8}, 所以A、B同时发生为A∩B={5}. 所以事件A、事件B恰好有一个发生为{1,2,3,7,8,9}. 13.解析　(1)甲未中靶:. (2)甲中靶而乙未中靶:A∩,即A. (3)三人中只有丙未中靶:A∩B∩,即AB. (4)三人中至少有一人未中靶:. (5)三人中恰有两人中靶:(AB)∪(AC)∪(BC). 7 学科网（北京）股份有限公司 $