9.2.3 总体集中趋势的估计 9.2.4 总体离散程度的估计（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教A版）

9.2.3　总体集中趋势的估计　9.2.4　总体离散程度的估计 基础过关练 题组一　平均数、中位数、众数 1.(2025江苏部分学校调研)某歌唱比赛共有11位评委给某选手进行评分,评定该选手的成绩时,从11个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到9个有效评分.9个有效评分与11个原始评分相比,一定不变的数字特征是(　　) A.平均数　　B.极差　　C.方差　　D.中位数 2.(多选题)(2025江西上进联考检测)某新能源汽车4S店2024年3月到12月连续10个月的销量依次为(单位:辆):16,24,27,19,25,25,32,37,35,40,则关于这组数据的结论正确的是(　　) A.极差为24　　B.平均数为28　　 C.众数为25　　D.中位数为25 3.(2025黑龙江哈师大附中、吉林东北师大附中、辽宁省实验中学联考)某同学测得自己所在城市连续7天的最低气温分别为1,2,2,m,6,2,8(单位:℃),若这组数据的平均数是中位数的2倍,则m=(　　) A.2　　B.3　　C.6　　D.7 4.(2025河南焦作博爱一中段考)某射击运动员连续射击5次,命中的环数(环数为整数)形成的一组数据中,中位数为8,唯一的众数为9,极差为3,则该组数据的平均数为(　　) A.7.6　　B.7.8　　C.8　　D.8.2 5.(2025河南豫东部分名校联考)下表是某公司员工月收入的资料. 月收 入/元 45 000 18 000 10 000 5 500 5 000 3 400 3 300 1 000 人数 1 1 1 3 6 1 11 1 能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是(　　) A.平均数和众数　　B.平均数和中位数　　 C.中位数和众数　　D.平均数和方差 6.(2025重庆西北狼教育联盟开学考试)随着新能源电动汽车的推广,人们对电动汽车的电池续航能力非常关注.某4S店为了解车主对甲、乙两款电动汽车电池续航能力的满意程度,从该店销售的甲、乙两款车的车主中各随机抽取10名车主,对其所使用车辆的电池续航能力进行评分(单位:分),并对数据进行整理、描述和分析(评分数据用x表示,共分为三组:A.90≤x≤100,B.80≤x<90,C.70≤x<80),下面给出了部分信息: 甲款电动汽车10名车主的评分数据是100,95,85,85,80,80,80,80,75,70. 乙款电动汽车10名车主的评分在B组的数据是85,85,85,80,80. 抽取的甲、乙两款电动汽车车主的评分统计表 车型 平均数 中位数 众数 甲 83 80 a 乙 83 b 85 根据以上信息,解答下列问题: (1)求上述图表中a,b,m的值; (2)根据以上数据,你认为哪款电动汽车的电池续航能力的满意度更好?请说明理由(写出一条理由即可); (3)该4S店甲款电动汽车的车主有600人,乙款电动汽车的车主有400人.若评分不低于90分为“非常满意”,估计这些车主中对其所使用车辆的电池续航能力“非常满意”的总人数. 题组二　频(数)率分布与平均数、中位数、众数 7.(2025河南许平汝名校联考)下图的频率分布直方图显示了三种不同的形态.图1形成对称形态,图2形成“右拖尾”形态,图3形成“左拖尾”形态,则下列判断不正确的是(　　) A.图1的平均数=中位数=众数 B.图2的众数<中位数<平均数 C.图2的平均数<众数<中位数 D.图3的平均数<中位数<众数 8.(2025山东青岛实验高中月考)某校举行劳动技能大赛,统计了100名学生的比赛成绩,得到如图所示的频率分布直方图,已知成绩均在区间[40,100]内,不低于90分的视为优秀,低于60分的视为不及格.若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表,则下列说法中错误的是(　　) A.a=0.15 B.优秀学生人数比不及格学生人数少15人 C.这次比赛成绩的平均数约为70.5分 D.这次比赛成绩的69%分位数约为78分 9.(多选题)(2025河北沧衡八县联考)某学校组织“综合体能测试”,现从所有参加体能测试的学生中,随机抽取100名学生的“综合体能测试”成绩,并统计如下,则(　　) 成绩 (70, 75] (75, 80] (80, 85] (85, 90] (90, 95] (95, 100] 频数 6 12 18 30 24 10 A.这100名学生的“综合体能测试”成绩高于80的学生超八成 B.这100名学生的“综合体能测试”成绩的中位数大于85 C.这100名学生的“综合体能测试”成绩的众数为85 D.这100名学生的“综合体能测试”成绩的平均数在90至95之间 10.(2025山西朔州怀仁一中月考)对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计,随机抽取M名学生,得到这M名学生参加社区服务的次数,根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图. 分组 频数 频率 [10,15) 10 0.20 [15,20) 24 n [20,25) m p [25,30] 2 0.04 合计 M 1 (1)求出表中M,p及图中a的值; (2)若该校有高三学生300人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数; (3)估计该校高三学生参加社区服务次数的众数、中位数及平均数(保留一位小数). 题组三　方差与标准差 11.(2025四川内江一中开学考试)某射击运动员射击5次的成绩如下表,则该射击运动员5次射击环数的平均数和方差分别为(　　) 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 9环 9环 10环 8环 9环 A.9.2,1　　B.9,1　　C.9.2,　　D.9, 12.(2025江西景德镇期末)已知数据x1,x2,x3,x4的平均数是=4,方差s2=2,则数据2x1+3,2x2+3,2x3+3,2x4+3的平均数和方差分别为　(　　) A.11,4　　B.8,8　　C.11,8　　D.4,2 13.(2025安徽A10联盟段考)某科研团队对某产品的一项新功能进行了8次测试,将不合格、合格、良、优的结果分别用0,1,2,3标记,若8次测试结果中有3次不合格、3次合格、1次良、1次优,则对于标记后的数据,下列结论正确的是(　　) A.75%分位数为1　　B.平均数为1.2　　 C.方差为1　　D.极差为4 14.(2024河北保定曲阳第一高级中学月考)已知甲队有60人,乙队有40人,按照分层随机抽样的方法从两队共抽取10人进行一轮答题.相关统计情况如下:甲队答对题目的平均数为1,方差为1;乙队答对题目的平均数为1.5,方差为0.4.则这10人答对题目的方差为(　　) A.0.8　　B.0.675　　C.0.74　　D.0.82 15.(2025山西晋中适应性考试)已知一组数据1,3,5,x的平均数为4,则这组数据的标准差为　　　　.  16.(2024湖南长沙第一中学期中)设一组样本数据x1,x2,…,x10的平均值是1,且,,…,的平均值是3,则数据x1,x2,…,x10的方差是　　　　.  17.(2025安徽江淮十校大联考)某中职学校在每年一度的技能大赛中有甲、乙两名同学获得省级比赛一等奖,学校要在甲、乙两名同学中选拔一名进行集中强化培训并参加国赛,为了选拔出综合实力最强的选手参加国赛,现统计出甲、乙两名同学在最近8次理论考试与技能考试的综合成绩如下: 甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85 (1)求甲、乙两名同学的平均成绩; (2)从考试发挥的稳定性的角度考虑,你认为选派哪位同学参加合适,请说明理由. 能力提升练 题组　样本数字特征的估计 1.(多选题)(2025江西景德镇期末)某校高一上学期进行了6次数学测验,甲、乙两名同学6次测验成绩情况如下表: 场次 1 2 3 4 5 6 甲的成绩 90 106 80 115 120 109 乙的成绩 90 88 98 101 95 93 则下列说法正确的是(　　) A.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 B.甲、乙的成绩的中位数分别为107.5和94 C.甲的成绩的平均数大于乙的成绩的平均数 D.甲的成绩比乙的成绩稳定 2.(2025河北石家庄开学考试)某药品企业研发了一种新药,其药效y与某活性成分AHH的含量x(单位:mg)近似满足函数关系y=-2x2+12x,为检查其质量,现抽查了8个样本,得到某活性成分AHH的含量的平均值为4 mg,标准差为2 mg,则药效y的平均值为(　　) A.8　　B.6　　C.5　　D.4 3.(多选题)(2025福建福州模拟)国家发展改革委等部门联合印发的《完善碳排放统计核算体系工作方案》中指出要在2025年全面建立碳排放年报、快报制度,完善碳排放统计核算体系.专家在甲、乙、丙、丁四地2024年第4季度的周快报数据中随机抽取7周数据进行分析,整理出四地这7周各周内碳排放量超过500 kg的天数的数据特征: 地区 甲 乙 丙 丁 数据 特征 中位数 3 中位数 1 均值 3 均值 2 众数 2 均值 <1 众数 4 方差 2 根据规定,若这7周中每周内碳排放量超过500 kg的天数都不多于5天,则可称该地区为低碳生态区.分析数据,四个地区中能判定为低碳生态区的是(　　) A.甲地　　B.乙地　　C.丙地　　D.丁地 4.(多选题)(2024湖北荆州月考)某班语文老师对该班甲、乙、丙、丁4名同学连续7周每周阅读的天数(每周阅读天数可以是1,2,3,4,5,6,7)进行统计,根据统计数据进行了如下描述: 甲:中位数为4,极差为3; 乙:中位数为3,众数为5; 丙:中位数为4,平均数为3; 丁:平均数为3,方差为3. 那么可以判断一周阅读天数一定没有出现7天的是(　　) A.甲　　B.乙　　C.丙　　D.丁 5.(2025重庆八中期中)有一组样本数据:6,x1,x2,…,x5,已知它的平均数为6,方差为10,则新数据x1,x2,…,x5的方差为　　　　.  6.为了解学生的课外阅读情况,某校采用样本量比例分配的分层随机抽样对高中三个年级的学生进行平均每周课外阅读时间(单位:h)的调查,所得样本数据如下: 年级 抽样人数 样本平均数 样本方差 高一 40 5 3.5 高二 30 2 高三 30 3 已知高中三个年级学生的总样本平均数为4.1,总样本方差为3.14,则高二年级学生的样本平均数=　　　　,高三年级学生的样本方差=　　　　.  7.(2024广西崇左钦州名校联考)某单位举办演讲比赛,最终来自A,B,C,D四个部门共12人进入决赛,把这四个部门进入决赛的人数作为样本数据.已知样本方差为2.5,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为　　　　.  8.(2024浙江余姚中学期中)某学校举办了一场党史知识竞赛活动,共有500名学生参加.为了解本次知识竞赛活动的成绩,从中抽取了50名学生的分数(分数均为整数,满分为100分)进行统计,所有学生的分数都不低于60,将这50名学生的分数进行分组,第一组[60,70),第二组[70,80),第三组[80,90),第四组[90,100],得到如下频率分布直方图. (1)求图中m的值,并估计此次知识竞赛活动学生分数的中位数; (2)根据频率分布直方图,估计此次知识竞赛活动学生分数的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).若对分数不低于平均数的同学进行奖励,请估计参赛的500名学生中获奖的人数. 9.(2025四川成都期中)文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号,作为普通市民,既是文明城市的最大受益者,更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识,举办了“创建文明城市”知识竞赛,从所有答卷中随机抽取100份,将这100份答卷的分数(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六组:[40,50),[50,60),…,[90,100],得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值及样本数据的第75百分位数; (2)求样本数据的众数、中位数和平均数; (3)已知落在[50,60)的平均分数是54,方差是7,落在[60,70)的平均分数为66,方差是4,求两组分数合并后的平均数和方差s2. 答案与分层梯度式解析 9.2.3　总体集中趋势的估计 9.2.4　总体离散程度的估计 基础过关练 1.D 2.ABC 3.D 4.B 5.C 7.C 8.A 9.AB 11.D 12.C 13.C 14.D 1.D　设11位评委的评分按从小到大排列为x1,x2,x3,x4,…,x8,x9,x10,x11, 则原始数据的中位数为x6,去掉最低分x1,最高分x11,剩余x2,x3,x4,…,x8,x9,x10,中位数仍为x6,其余数字特征可能改变. 2.ABC　将这组数据按从小到大排列为16,19,24,25,25,27,32,35,37,40, 则极差为40-16=24, 平均数为==28, 众数为25,中位数为=26, 因此A,B,C正确,D错误. 3.D　这组数据的平均数为=, 除m外,将数据按从小到大排列为1,2,2,2,6,8, 结合m的任意性可知中位数为2,则=2×2,解得m=7. 4.B　依题意知这组数据一共有5个数,中位数为8,则将数据从小到大排列,8是第3个数, 又唯一的众数为9,所以有两个9,其余数字均只出现一次,且这5个数中的最大数为9, 因为极差为3,所以最小的数为6, 故这组数据为6,7,8,9,9,则平均数为=7.8. 5.C　该公司共有员工1+1+1+3+6+1+11+1=25(人), 该公司员工月收入的众数为3 300元,在25名员工中有13人的月收入在该数据之上,因此众数能够反映该公司全体员工月收入水平; 月收入由小到大排列,3 400为第13个数,因此该公司员工月收入的中位数为3 400元, 在25名员工中有13人的月收入大于或等于3 400元,则中位数也能够反映该公司全体员工月收入水平; 25名员工月收入的平均数为(45 000+18 000+10 000+3×5 500+6×5 000+3 400+11×3 300+1 000)÷25=6 408(元), 受极端数据45 000,18 000等影响,平均数偏离多数人的收入水平,不能反映该公司全体员工月收入水平; 方差是表征数据波动大小的量,不能反映该公司全体员工月收入水平, 所以能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是中位数和众数. 6.解析　(1)甲款电动汽车10名车主的评分数据中,80出现的次数最多,故众数为80,即a=80, 乙款电动汽车车主的评分扇形统计图中,A组占20%,B组占×100%=50%, C组占1-20%-50%=30%,所以m=30, 所以A组有两个最大的数据, 又B组的数据是85,85,85,80,80, 所以中位数为=82.5,即b=82.5. (2)乙款电动汽车的电池续航能力的满意度更好,理由如下: 甲款和乙款评分的平均数相等,但乙款评分的众数和中位数都比甲款的大,所以乙款的满意度更好. (3)甲款电动汽车的10名车主“非常满意”的有两人,占比为20%,乙款电动汽车的10名车主“非常满意”的占比为20%, 所以估计这些车主对其所使用车辆的电池续航能力“非常满意”的总人数为400×20%+600×20%=200. 7.C　题图1是对称的,所以平均数=中位数=众数,故A中判断正确; 题图2中众数最小,“右拖尾”表现为平均数大于中位数,故B中判断正确,C中判断不正确; 题图3中众数最大,“左拖尾”表现为平均数小于中位数,故D中判断正确. 8.A　对于A,由题意得(0.01×2+a×2+0.02+0.03)×10=1,所以a=0.015,因此A中说法错误; 对于B,优秀学生人数为0.1×100=10,不及格学生人数为0.25×100=25,优秀学生人数比不及格学生人数少15人,因此B中说法正确; 对于C,平均数为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5(分),因此C中说法正确; 对于D,设比赛成绩的69%分位数为x分,则有0.1+0.15+0.2+(x-70)×0.03=0.69,解得x=78,因此D中说法正确. 9.AB　对于A,这100名学生的“综合体能测试”成绩高于80的学生人数为18+30+24+10=82,故A正确; 对于B,成绩不超过85的学生人数为6+12+18=36,成绩在(85,90]内的学生人数为30,36<50<66,故B正确; 对于C,成绩在(85,90]内的人数最多,为30,但不一定成绩的众数为85,故C不正确; 对于D,每个小区间取右端点值求平均数得×(75×6+80×12+85×18+90×30+95×24+100×10)=89.2,因此平均数不大于89.2,故D不正确. 10.解析　(1)由题意得=0.20,解得M=50, 所以10+24+m+2=50,解得m=14,所以p===0.28,a==0.096. (2)估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数为×300=144. (3)估计该校高三学生参加社区服务次数的众数是=17.5. 因为n==0.48,所以估计该校高三学生参加社区服务次数的中位数x满足0.2+(x-15)×=0.5, 解得x=18.125,所以该校高三学生参加社区服务次数的中位数约为18.1. 因为12.5×0.20+17.5×0.48+22.5×0.28+27.5×0.04=18.3, 所以估计该校高三学生参加社区服务次数的平均数是18.3. 11.D　该射击运动员5次射击的平均环数为=9, 5次射击环数的方差s2=×[(9-9)2+(9-9)2+(10-9)2+(8-9)2+(9-9)2]=. 12.C　2x1+3,2x2+3,2x3+3,2x4+3的平均数为2×4+3=11,方差为22×2=8. 13.C　将8次测试结果标记后得到数据0,0,0,1,1,1,2,3. 对于A,因为8×75%=6,所以数据的75%分位数为=1.5,因此A错误; 对于B,平均数为×(0×3+1×3+2+3)=1,因此B错误; 对于C,方差为×[3×(0-1)2+3×(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=1,因此C正确; 对于D,极差为3-0=3,因此D错误. 14.D　按照分层随机抽样的方法从甲队中抽取10×=6人,从乙队中抽取10×=4人, 这10人答对题目的平均数为×(6×1+4×1.5)=1.2, 所以这10人答对题目的方差为×{6×[1+(1-1.2)2]+4×[0.4+(1.5-1.2)2]}=0.82. 解题模板 　　若一个总体划分为两层,各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为m,,;n,,.记总的样本平均数为,样本方差为s2,则=+;s2={m[+]+n[+]}. 15.答案　 解析　由题知=4,解得x=7,所以这组数据的标准差为==. 16.答案　2 解析　由题意得数据x1,x2,…,x10的方差s2=-=3-12=2. 解后反思 　　方差的计算公式有两种形式,即s2=(xi-)2和s2=-,可以根据题目条件灵活选择. 17.解析　(1)设甲同学的平均成绩为,乙同学的平均成绩为,则==85, ==85. (2)由(1)可知==85, 甲同学成绩的方差=×[(82-85)2+(81-85)2+(79-85)2+(78-85)2+(95-85)2+(88-85)2+(93-85)2+(84-85)2]=×[(-3)2+(-4)2+(-6)2+(-7)2+102+32+82+(-1)2]=35.5, 乙同学成绩的方差=×[(92-85)2+(95-85)2+(80-85)2+(75-85)2+(83-85)2+(80-85)2+(90-85)2+(85-85)2]=×[72+102+(-5)2+(-10)2+(-2)2+(-5)2+52+02]=41, 因为<,所以甲同学比乙同学的发挥更加稳定. 所以从考试发挥的稳定性的角度考虑,应该选派甲同学参加国赛. 能力提升练 1.BC 2.A 3.BD 4.BCD 1.BC　对于A,甲的成绩的极差是120-80=40,乙的成绩的极差是101-88=13,因此A错误; 对于B,甲的成绩按照由小到大的顺序排列为80,90,106,109,115,120,中位数是=107.5,乙的成绩按照由小到大的顺序排列为88,90,93,95,98,101,中位数是=94,因此B正确; 对于C,甲的成绩的平均数是≈103.3,乙的成绩的平均数是≈94.17,103.3>94.17,因此C正确; 对于D,分别对比数据可知,甲的成绩极差比较大,并且比较分散,而乙的成绩极差较小,而且比较集中,所以乙的成绩比甲的成绩稳定,因此D错误. 2.A　由题意知=xi=4,==4,则=(-8xi+16)=32,即-(8xi)+8×16=32,所以=32+8×32-8×16=160. 因此药效y的平均值=(-2+12xi) ==×(-2×160+12×32)=8. 3.BD　将这7周各周内碳排放量超过500 kg的天数由小到大依次记为A,B,C,D,E,F,G. 对于甲地,由题可知D=3,而众数为2,可令A=B=C=2,E=F=5,显然G可以是6或7,均大于5,因此无法判定甲地为低碳生态区. 对于乙地,由题可知D=1,我们可以使A,B,C,E,F尽可能小,通过判断G是否有可能大于或等于6来判断乙地是否能被判定为低碳生态区. 令A=B=C=0,E=F=1,令均值=<1,解得G<4,所以满足7周中每周内碳排放量超过500 kg的天数都不多于5天,因此可以判定乙地为低碳生态区. 对于丙地,根据题意,我们无法直接判断A~D对应的值, 但类似的,我们可以使A,B,C,D,E,F的和尽可能小, 通过判断G是否有可能大于或等于6来判断丙地是否能被判定为低碳生态区. 可令A=0,B=1,C=2,D=3,E=F=4,令均值==3,解得G=7>5, 因此无法判定丙地为低碳生态区. 对于丁地,假设G≥6,则方差s2=≥≥>2,不符合题意, 所以G<6,即满足7周中每周内碳排放量超过500 kg的天数都不多于5天, 因此可以判定丁地为低碳生态区. 综上所述,四地中能判定为低碳生态区的是乙地和丁地. 4.BCD　对于甲,中位数为4,极差为3,所以这7个数可以是4,4,4,4,4,4,7,则甲不符合题意; 对于乙,中位数为3,众数为5,所以这7个数从小到大排列后,第4个数是3, 所以1,2,3中一定有一个数出现2次,5出现3次,所以这7个数中一定没有出现7,则乙符合题意; 对于丙,若出现1个7,则这7个数从小到大排列后,后4个数之和最小为19,前3个数之和最小为3,从而这7个数的平均数最小为>3,即这7个数的平均数不可能为3,所以数据中不可能出现7,故丙符合题意; 对于丁,设这7个数分别为x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,则x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=21, (x1-3)2+(x2-3)2+(x3-3)2+(x4-3)2+(x5-3)2+(x6-3)2+(x7-3)2=21, 若x1=7,则x2+x3+x4+x5+x6+x7=14, 由(x2-3)2+(x3-3)2+(x4-3)2+(x5-3)2+(x6-3)2+(x7-3)2=5,可知x2,x3,x4,x5,x6,x7这6个数可能是4,4,4,4,4,3或4,4,4,4,3,2或4,4,4,3,2,2或4,4,3,2,2,2或4,3,2,2,2,2或3,2,2,2,2,2或5,4,3,3,3,3或5,3,3,3,3,2或4,3,3,3,3,1或3,3,3,3,2,1, 均与x2+x3+x4+x5+x6+x7=14矛盾,即这7个数中一定没有出现7,故丁符合题意. 5.答案　12 解析　根据题意得新数据的平均数为=6,设其方差为s2, 因为10=×[(6-6)2+++…+], 所以++…+=60, 因此s2=[++…+]==12. 6.答案　4;1.5 解析　由高中三个年级学生的总样本平均数为4.1, 可得=4.1,解得=4. 因为总样本方差为3.14,所以×[3.5+(5-4.1)2]+×[2+(4-4.1)2]+×[+(3-4.1)2]=3.14, 解得=1.5. 7.答案　5 解析　设样本数据为a,b,c,d,且a<b<c<d,a,b,c,d∈N*, 则样本平均数为=3,样本方差为×[(a-3)2+(b-3)2+(c-3)2+(d-3)2]=, 则(a-3)2+(b-3)2+(c-3)2+(d-3)2=10, 所以(d-3)2≤10,解得d≤+3. 当d=6时,(a-3)2+(b-3)2+(c-3)2=1,因为样本数据互不相同,所以不存在a,b,c使得等式成立. 当d=5时,(a-3)2+(b-3)2+(c-3)2=6,存在a=1,b=2,c=4,使得等式成立,故样本数据中的最大值为5. 8.解析　(1)由题中频率分布直方图知(0.01+m+0.04+0.02)×10=1,解得m=0.03. 设此次知识竞赛活动学生分数的中位数为x0, 因为数据落在[60,80)内的频率为0.4,落在[60,90)内的频率为0.8,所以80<x0<90. 由(x0-80)×0.04=0.5-0.4,得x0=82.5, 故估计此次知识竞赛活动学生分数的中位数为82.5. (2)由题中频率分布直方图及(1)知数据落在[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]内的频率分别为0.1,0.3,0.4,0.2,则估计此次知识竞赛活动学生分数的平均数为65×0.1+75×0.3+85×0.4+95×0.2=82. 此次知识竞赛活动学生分数不低于82的频率约为0.2+×0.4=0.52, 故估计参赛的500名学生中获奖的人数为500×0.52=260. 9.解析　(1)由每个小矩形的面积之和为1,得0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1,解得a=0.030, 分数落在[40,80)内的频率为0.05+0.1+0.2+0.3=0.65,在[40,90)内的频率为0.65+0.25=0.9, 设第75百分位数为m,显然m∈[80,90), 由0.65+(m-80)×0.025=0.75,解得m=84, 所以第75百分位数为84. (2)由=75,得样本数据的众数为75, 分数落在[40,70)内的频率为0.05+0.1+0.2=0.35, 分数落在[40,80)内的频率为0.65, 故中位数在[70,80)内,由70+×10=75,得样本数据的中位数为75, 由45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1=74,得样本数据的平均数为74. (3)由题图知,分数落在[50,60)内的市民人数为100×0.1=10,在[60,70)内的市民人数为100×0.2=20, 所以==62, s2=×{10×[7+(54-62)2]+20×[4+(66-62)2]}=37. 7 学科网（北京）股份有限公司 $