第8章 专题强化练7 空间中的平行关系（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教A版）

专题强化练7　空间中的平行关系 1.(多选题)(2025福建莆田第十五中学期中)已知a,b是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列说法中正确的是(　　) A.若α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交 B.若α∥β,a⊂α,则a∥β C.若a∥b,b⊂α,则a平行于α内的无数条直线 D.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线 2.(2025江苏盐城中学月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若平面A1BC1与平面ABCD的交线为l,则(　　) A.l∥CD　　B.l∥A1C C.l∥平面A1B1CD　　D.l∥平面ACD1 3.(多选题)(2025浙江温州模拟)在四棱锥P-ABCD中,E,F分别是AP,BC上的点,=,则下列条件可以确定EF∥平面PCD的是(　　) A.AD∥BC　　B.AB∥CD C.BC∥平面PAD　　D.CD∥平面PAB 4.(2025河北邢台第一中学月考)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD为平行四边形,E,F分别在线段DB,DD1上,且==,G在CC1上,且平面AEF∥平面BD1G,则=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 5.(多选题)(2025山东省实验中学期中)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,F为侧面AA1D1D内一动点,且B1F∥平面BC1M,过A,M,C1三点作正方体的截面Ω,则(　　) A.三棱锥D1-DCB外接球的表面积为4π B.动点F的轨迹是一条线段 C.三棱锥F-BC1M的体积是定值 D.若Q为截面Ω上一点,则线段A1Q长度的取值范围为 6.(2025上海嘉定第一中学月考)如图,四棱锥S-ABCD的所有棱长都为2,E为线段SA的中点,过C,D,E三点的平面与SB交于点F,则四边形DEFC的周长为　　　　.  7.(2025广东深圳外国语学校期中)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2,侧棱长是2,M为A1C1的中点,N是侧面BCC1B1内的动点,且MN∥平面ABC1,则点N的轨迹的长度为　　　　.  8.(2024重庆十一中期中)如图,在四棱锥P-ABCD中,BC=BD=DC=2,AD=AB=PD=PB=2. (1)若E为PC的中点,M为DC的中点,求证:平面BEM∥平面PAD; (2)在棱PD上是否存在一点F,使得AF∥平面PBC?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由. 9.(2025浙江宁波期中)如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别是棱DD1,AB的中点. (1)若平面PQC与直线AA1交于点R,求的值; (2)设M为棱CC1上一点且CM=λCC1(λ∈R),若BM∥平面PQC,求λ的值. 答案与分层梯度式解析 专题强化练7　空间中的平行关系 1.BC 2.D 3.BD 4.A 5.BCD 1.BC　对于A,若α∩β=b,a⊂α,则a∥β或a与β相交,A错误; 对于B,若α∥β,a⊂α,则由面面平行的性质可得a∥β,B正确; 对于C,若a∥b,b⊂α,则a∥α或a⊂α,故a平行于α内的无数条直线,C正确; 对于D,若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b或a与b是异面直线,故D错误. 2.D　因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面A1BC1∩平面ABCD=l,平面A1BC1∩平面A1B1C1D1=A1C1, 所以l∥A1C1. 对于A,因为A1C1∥l,A1C1∥AC,所以l∥AC,又AC与CD相交,所以l与CD不平行,故A错误; 对于B,因为l∥AC,AC∩A1C=C,所以l与A1C不平行,故B错误; 对于C,因为l∥AC,AC∩平面A1B1CD=C,所以l与平面A1B1CD不平行,故C错误; 对于D,因为l∥AC,AC⊂平面ACD1,l⊄平面ACD1,所以l∥平面ACD1,故D正确. 3.BD　如图,过点E作EG∥PD交AD于点G,连接GF, 易得△AEG∽△APD,所以==,因为EG∥PD,EG⊄平面PCD,PD⊂平面PCD,所以EG∥平面PCD. 若AB∥CD,则GF∥CD,又GF⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,所以GF∥平面PCD,由EG∩GF=G,EG,GF⊂平面EFG,得平面EFG∥平面PCD.又EF⊂平面EFG,所以EF∥平面PCD,故B正确. 若CD∥平面PAB,则由CD⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面PAB=AB,可得CD∥AB,由B可知D正确. 若BC∥平面PAD,则由BC⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面PAD=AD,可得BC∥AD, 反之若BC∥AD,可得BC∥平面PAD,故A,C同时正确或错误, 若BC∥AD,则AB∥CD或AB与CD相交. 若AB与CD相交,由=知直线FG,AB,CD必交于同一点,故A,C错误. 4.A　延长AE,交CD于M,连接FM, 由四边形ABCD为平行四边形可知△DEM∽△BEA, 则==,∴DM=AB=C1D1. ∵平面AEF∥平面BD1G,且平面AEF∩平面CDD1C1=FM,平面BD1G∩平面CDD1C1=D1G,∴FM∥D1G, 又FD∥GC1,∴∠DFM=∠D1GC1, 易知∠FDM=∠GC1D1,∴△FDM∽△GC1D1, 则==,∴GC1=3FD=DD1,又CC1=DD1,∴=. 5.BCD　对于A,三棱锥D1-DCB的外接球即为正方体的外接球,由正方体的棱长为2,知其外接球的直径为2, 故三棱锥D1-DCB外接球的表面积为4π×()2=12π,故A错误. 对于B,如图1,分别取AA1,A1D1的中点H,G,连接B1G,GH,HB1,AD1,HM, 因为M为DD1的中点,所以HM∥A1D1∥B1C1,HM=A1D1=B1C1,所以四边形HMC1B1为平行四边形,故B1H∥MC1, 因为B1H⊂平面B1GH,MC1⊄平面B1GH,所以MC1∥平面B1GH, 因为AB∥A1B1∥D1C1,AB=A1B1=D1C1,所以四边形ABC1D1为平行四边形,故BC1∥AD1, 因为G,H分别为A1D1,AA1的中点,所以GH∥AD1,故BC1∥GH,同理可得BC1∥平面B1GH, 又MC1∩BC1=C1,MC1,BC1⊂平面BC1M,所以平面B1GH∥平面BC1M, 因为B1F∥平面BC1M,所以B1F⊂平面B1GH,又F在侧面AA1D1D内,所以点F的轨迹为线段GH,故B正确. 　 对于C,由B中分析知,点F的轨迹为线段GH,平面B1GH∥平面BC1M,因为GH⊂平面B1GH,所以GH∥平面BC1M, 则点F到平面BC1M的距离为定值,又△BC1M的面积也是定值,所以三棱锥F-BC1M的体积是定值,故C正确. 对于D,如图2,设平面Ω∩平面ABB1A1=AN,点N在BB1上, 因为平面Ω∩平面ADD1A1=AM,平面Ω∩平面BB1C1C=C1N,平面ADD1A1∥平面BB1C1C,所以AM∥C1N, 同理可证AN∥C1M,所以四边形ANC1M为平行四边形,则截面Ω为平行四边形ANC1M,AM=C1N,故点N为BB1的中点. 连接A1C1,A1M,当A1Q最短时,其长度为A1到平面ANC1M的距离,当Q位于点C1时,A1Q最长,其长度为2. 易得AM=C1M,所以四边形ANC1M是菱形,连接AC1, 则==××2×2=,易得=×2×2=2, 设四棱锥A1-AMC1N的高为h, 由=,可得××h=××C1D1, 即×h=×2×2,解得h=, 故线段A1Q长度的取值范围为,故D正确. 6.答案　3+2 解析　由题意得四边形ABCD为菱形,所以CD∥AB. 因为CD⊄平面SAB,AB⊂平面SAB,所以CD∥平面SAB. 因为CD⊂平面DEFC,平面DEFC∩平面SAB=EF,所以EF∥CD,则EF∥AB. 因为E为SA的中点,所以F为SB的中点,所以EF=AB=1. 由题意得△SAD是边长为2的等边三角形,所以DE⊥SA,且DE=2sin 60°=,同理可得CF=, 因此四边形DEFC的周长为1+2++=3+2. 7.答案　2 解析　如图,取B1C1的中点D,BB1的中点E,连接MD,DE,ME,则DE∥BC1,DE=BC1, ∵DE⊄平面ABC1,BC1⊂平面ABC1,∴DE∥平面ABC1, ∵M,D分别为A1C1,B1C1的中点,∴MD∥A1B1, 又A1B1∥AB,∴MD∥AB, ∵MD⊄平面ABC1,AB⊂平面ABC1, ∴MD∥平面ABC1, ∵DE∩MD=D,DE,MD⊂平面DEM, ∴平面DEM∥平面ABC1, ∵N是侧面BCC1B1上一点,且MN∥平面ABC1, ∴N的轨迹为线段DE, 又DE=BC1=×=2, ∴点N的轨迹的长度为2. 8.解析　(1)证明:因为BC=BD=DC=2,所以△BCD为等边三角形,因为M为DC的中点,所以BM⊥CD, 因为AD=AB=2,BD=2,所以∠ADB=∠ABD=30°, 所以∠ADC=90°,即AD⊥CD,所以AD∥BM, 因为BM⊄平面PAD,AD⊂平面PAD, 所以BM∥平面PAD, 因为E为PC的中点,M为DC的中点,所以PD∥EM, 因为EM⊄平面PAD,PD⊂平面PAD, 所以EM∥平面PAD, 又EM∩BM=M,EM,BM⊂平面BEM, 所以平面BEM∥平面PAD. (2)如图,过A作AN∥BC,交CD于N,过N作NH∥PC,交PD于H,连接AH, 因为NH∥PC,NH⊄平面PBC,PC⊂平面PBC, 所以NH∥平面PBC, 同理AN∥平面PBC, 因为AN∩NH=N,NH,AN⊂平面ANH, 所以平面ANH∥平面PBC, 因为AH⊂平面ANH,所以AH∥平面PBC, 则点H即为点F. 由∠BCD=60°,AN∥BC,可得∠AND=60°, 在Rt△ADN中,DN==, 则CN=2-=, 因为NF∥PC,所以==2. 故存在满足条件的点F,且=2. 9.解析　(1)连接PR,RQ,取AA1的中点E,连接EB,EP, 因为P为DD1的中点,所以EP􀱀AD,又AD􀱀BC, 所以EP􀱀BC,所以四边形BCPE为平行四边形, 所以PC∥BE. 因为平面ABB1A1∥平面CDD1C1,平面ABB1A1∩平面PQC=RQ,平面CDD1C1∩平面PQC=PC, 所以RQ∥PC,所以RQ∥BE,又Q为AB的中点,所以R为AE的中点, 所以AR=a,则A1R=a,所以=. (2)连接EM,由(1)知BE∥RQ, 因为RQ⊂平面PQC,BE⊄平面PQC, 所以BE∥平面PQC. 又BM∥平面PQC,BM∩BE=B,BM,BE⊂平面BME,所以平面BME∥平面PQC. 设DD1∩平面BME=F,连接EF,FM, 因为平面BME∥平面PQC,平面BME∩平面CDD1C1=FM,平面PQC∩平面CDD1C1=PC, 所以FM∥PC,又CM∥PF,所以四边形CPFM为平行四边形,同理,四边形PREF也是平行四边形, 所以CM=PF=ER=a,所以λ===. 7 学科网（北京）股份有限公司 $