专题11 复数17种常见考法归类（期末复习专项训练）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦复数17种考法，以题型分类为框架，覆盖从概念到应用的完整知识链，通过区域真题典例强化数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|7种题型|实部虚部、分类、相等、共轭等概念辨析|从复数定义出发，构建概念间内在关联| |几何意义|5种题型|坐标表示、象限判断、轨迹问题|体现复数与平面向量的转化，培养数学眼光| |运算应用|5种题型|加减乘除运算、方程根、新定义及欧拉公式|从代数运算到综合应用，形成完整解题逻辑链|

专题11 复数17种常考考法归类 题型一 复数的实部与虚部 题型十 根据复数的坐标写出对应的复数 题型二 复数分类 题型十一 根据复数对应坐标的特点求参数 题型三 复数相等 题型十二 复数与向量 题型四 共轭复数 题型十三 复数的加减运算 题型五 待定系数求复数 题型十四 复数的乘除运算 题型六 求复数的模 题型十五 复数范围内方程根的问题 题型七 由复数模求参数 题型十六 复数的新定义问题 题型八 与复数模相关的轨迹（图形）问题 题型十七 欧拉公式及其应用 题型九 判断复数对应点所在的象限 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 复数的实部与虚部 1．（25-26高一下·河北邢台·期中）复数的虚部为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】将复数利用化为的形式，实部为，虚部为判断即可． 【详解】因为，所以复数的虚部为1． 2．（25-26高一下·广东江门·期中）复数的虚部是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数乘法运算化简复数，进而求得虚部. 【详解】因为， 所以虚部为. 3．（25-26高一下·陕西渭南·期中）若复数，则的实部为（     ） A．1 B．4 C．3 D．7 【答案】B 【分析】根据复数的加法运算及实部的定义即可求解． 【详解】，故的实部为4． 4．（25-26高一下·河南·阶段检测）复数的虚部为（     ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由复数的乘方化简后根据复数的定义判断． 【详解】，虚部为． 5．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知复数，则复数的虚部为（   ） A．i B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用虚数单位的幂次周期性化简复数，再根据复数虚部的定义确定结果. 【详解】虚数单位的幂次具有周期性，周期为4，对任意， 满足： ，，，， 则，故，因此， 根据复数虚部的定义：形如的复数，虚部为实数，可得的虚部为1. 6．（2026·重庆万州·三模）复数的实部与虚部之差为______. 【答案】 【详解】由， 所以实部与虚部之差为. 7．（2026·云南·模拟预测）设复数，若的实部与虚部相等，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由题设有，即. 题型2 复数分类 8．（25-26高一下·安徽宿州·阶段检测）已知为虚数单位，下列数一定是纯虚数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据纯虚数“实部为0且虚部不为0”的定义，逐一验证各选项即可求解. 【详解】选项A：为正实数，虚部为0，不符合纯虚数定义，排除； 选项B：，实部为0，虚部不为，是纯虚数，符合要求； 选项C：复数的实部为， 当时（如时，），实部不为0，不是纯虚数，排除； 选项D：的实部为，属于虚数但不是纯虚数，排除. 9．（25-26高一下·江苏淮安·期中）若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C．0 D．10 【答案】B 【详解】， 因为复数为纯虚数，所以，解得. 10．（2026·山东聊城·模拟预测）为纯虚数，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：先利用复数的除法法则化简计算即可；法二：设，化简计算即可. 【详解】解法一：，由题意得，则； 解法二：因为为纯虚数，设，则， 所以，则. 11．（2026·江西·模拟预测）“或”是“复数为纯虚数”的（     ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【分析】先根据纯虚数的概念求得，再结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若复数为纯虚数，则，解得， 所以“或”是“复数为纯虚数”的必要非充分条件． 12．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知复数满足，则“为实数”是“为纯虚数”的（    ） A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】根据复数的加法及模长运算结合充分条件及必要条件定义判断即可. 【详解】设复数，且满足， 则，化简即得， 又“为实数”等价于，“为纯虚数”等价于不为0， 若“为实数”可得，不能推出， 若“为纯虚数”则，且不为0，即得， 则“为实数”是“为纯虚数”的必要不充分条件. 13．（25-26高一下·上海普陀·期末）若复数，则实数的取值为__________. 【答案】 【分析】根据复数可比较大小的充要条件为该复数是正实数，则条件转化为实部大于0，且虚部等于0，化简求解即可. 【详解】， ，解得， 故实数的取值为. 14．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知复数：分别求出符合下列条件的实数的值. (1)实数； (2)纯虚数； (3)零. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据复数为实数的定义可得； （2）根据复数为纯虚数的定义可得； （3）根据复数为零的定义可得. 【详解】（1）因为，所以复数的实部为，虚部为， 若复数为实数， 则，解得或. 因此，或时，复数为实数. （2）若复数为纯虚数， 则，解得； 因此，时，复数为纯虚数. （3）若复数为零， 则，解得； 因此，时，复数为零. 15．（23-24高一下·江苏·单元复习）当实数为何值时，复数为 (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 【答案】(1)； (2)且； (3). 【分析】（1）（2）（3）利用复数的有关概念列式求解. 【详解】（1）复数为实数，则，解得， 所以. （2）复数为虚数，则，解得且， 所以且. （3）复数为纯虚数，则，解得， 所以. 题型3 复数相等 16．（2025高二下·福建·学业考试）已知，，（，），若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由，得，. 17．（2026·云南·模拟预测）设，其中x，y是实数，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】因为，所以，， 则. 18．（25-26高二下·安徽阜阳·期中）设，为虚数单位，，则______． 【答案】 【详解】因为， 所以，所以. 19．（2026·北京海淀·三模）已知复数，，，则复数的虚部是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先展开化简等式左侧的复数乘积，利用复数相等的充要条件列方程求解的值，再根据虚部的定义得出结果. 【详解】因为，所以，即， 由，得：解得，所以复数的虚部是. 20．（2026·甘肃兰州·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的乘法法则及复数相等的定义可得. 【详解】由，得．所以， 解得，所以． 21．（25-26高一下·河南·阶段检测）已知（，，i为虚数单位），则_________. 【答案】0 【详解】依题意， 则，解得，所以. 题型4 共轭复数 22．（25-26高一下·重庆·期中）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】复数满足，则,所以 23．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）若复数满足，则的虚部是（     ） A． B． C．2 D．2i 【答案】B 【分析】由复数除法求得，再求出共轭复数后可得． 【详解】由题设，，故虚部为． 24．（2026·甘肃平凉·模拟预测）的共轭复数的虚部为（    ） A．1 B． C． D．i 【答案】C 【详解】 因， 而的共轭复数为 ，其虚部为. 25．（2026·上海·三模）已知复数满足，其中为虚数单位，则_____． 【答案】 【分析】利用复数的除法法则化简复数，结合共轭复数定义求. 【详解】因为， 所以， 故. 26．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）复数的共轭复数为，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【详解】因为的共轭复数为， 所以，所以 题型5 待定系数求复数 27．（2026·江西·模拟预测）若，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的模、复数的乘法、共轭复数求解即可. 【详解】设（），则，，所以. 所以， 解得，代入中，解得， 故. 28．（2026·河北雄安·三模）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设复数 ， 根据模长公式，共轭复数的概念以及复数相等的条件即可求解. 【详解】设复数 ，则， 根据复数相等的条件可得，解得，所以. 29．（2026·江苏南通·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】设复数，通过对已知等式变形，结合复数的运算、复数相等或模的运算性质求解即可. 【详解】由有意义，可知. 设复数，， 则， ，所以，解得或. 当时，则为实数，此时方程，即，无实根. 故，因此，解得或（舍去），即. 30．（2026·湖北·模拟预测）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：设，代入方程，根据复数相等的条件，列出方程组，求解，再根据复数模长的计算，即可求解. 法二：由复数方程的求根公式，求出，再根据复数模长的计算，即可求解. 【详解】法一：设， 因为复数满足，即， 化简得，所以， 解方程组得或， 所以. 法二：由求根公式可得， 所以. 31．（24-25高三上·河北衡水·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 则，， 因为，所以，即，解得， 所以. 32．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知复数满足，则______. 【答案】 【详解】设，则， 所以， 所以， 所以，故. 题型6 求复数的模 33．（25-26高二下·山西长治·阶段检测）设复数，则=（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先根据共轭复数的定义求出，再计算的结果，最后根据复数模的计算公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 所以. 34．（24-25高一下·广东惠州·阶段检测）复数，，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【详解】，， ，. 35．（2026·重庆渝中·三模）已知，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【详解】因为，故，故. 36．（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）复数，则（     ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】利用复数商的模等于模的商、共轭复数与原复数模相等的性质求解，即对任意非零复数，有，且互为共轭的两个复数模相等，即. 【详解】已知，根据复数模的计算公式，得， 因此， 代入得. 37．（2026·陕西西安·模拟预测）复数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】复数，其共轭复数， 则． 38．（25-26高一下·上海·阶段检测）设是复数，满足，则________． 【答案】 【详解】已知，则， ． 39．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】依题意有，，所以． 40．（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）若为复数，则下列选项一定正确的有（     ） A． B． C．若，则 D． 【答案】AD 【详解】选项A：设，则，则，该选项正确； 选项B：举反例，取，则， 显然，即，该选项错误； 选项C：举反例，取，满足，但均不为0，该选项错误； 选项D：设， 则， ， 所以，该选项正确. 41．（25-26高一下·陕西榆林·阶段检测）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（   ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】BCD 【分析】对于A：举反例说明即可；对于BCD：设，，根据复数的运算和几何意义分析判断. 【详解】对于选项A：例如，，则， 但，不能比较大小，故A错误； 对于选项BCD：设，， 则，，， 所以，故B正确； 因为，， 若，则， 整理可得，所以，故C正确； 因为， 且， 则， 所以，D正确． 题型7 由复数模求参数 42．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）设复数，且，则（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合复数的模长公式运算求解即可. 【详解】因为复数， 则，解得. 故选：D. 43．（25-26高三上·广东·阶段检测）已知复数，其中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的模计算公式解得答案. 【详解】因为，所以，化简得， 解得. 故选：B. 44．（25-26高一下·上海奉贤·期中）已知，，且，则________． 【答案】 【详解】由题意得， 结合，得，解得. 45．（25-26高一下·云南昭通·期中）已知复数的模等于2，则实数的值为______. 【答案】 【详解】复数的模等于2，故， 故，解得. 46．（2026·湖北·模拟预测）已知复数z的实部与虚部互为相反数，且，则_______． 【答案】或 【分析】根据给定条件，设出复数的代数形式，再由模的结果计算即得. 【详解】由题可设， 则. 因为，所以，所以. 所以或. 47．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知，若复数满足（为虚数单位），且，则______. 【答案】 【分析】利用复数的运算法则，模长公式计算即可. 【详解】由，得， 由，得， 又因为，所以. 故答案为：. 题型8 与复数模相关的轨迹（图形）问题 48．（25-26高一下·河北唐山·期中）复数在复平面内对应的点为，若，则点的集合对应的图形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，点的集合对应的图形是一个圆环，从而可求出其面积. 【详解】不妨设点的集合对应的图形是一个以原点为圆心，外环半径为3，内环半径为1的圆环， 则其面积为. 49．（25-26高一下·陕西榆林·期中）已知复数满足，则在复平面内对应的点形成的轨迹为（    ） A．一条直线 B．一条线段 C．一个圆 D．一段圆弧 【答案】A 【详解】记复数在复平面中的点为， 表示点到原点的距离，表示点到的距离， 因为，所以在复平面内对应的点形成的轨迹为线段的中垂线， 即一条直线. 50．（25-26高一下·江苏·阶段检测）在复平面内，若复数满足，则复数对应的点所形成的图形是______． 【答案】 过原点且斜率为的直线 【分析】设出复数的代数形式，将模长等式转化为对应点的直角坐标方程，即可判断轨迹图形 【详解】设，则复数在复平面内对应的点为， 根据复数模的计算公式，由可得： ， 将等式两边同时平方消去根号： ， 展开左右两侧并化简： ，消去两侧相同项后整理得， 该方程对应过原点、斜率为的直线，即复数对应的点所形成的图形为过原点且斜率为的直线. 51．（25-26高二下·河北承德·阶段检测）已知为虚数单位，复数满足，则的最小值为__________． 【答案】3 【分析】先求出满足题目要求的复数在复平面内的轨迹，再求所求复数模长的最小值. 【详解】设（），则， ， 设，，则， 即点在以为圆心，1为半径的圆上， ， 设，， ， 所以的最小值为3. 52．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，表示下列复数的点Z的集合是什么图形? (1)； (2) 【答案】(1)以坐标原点为圆心，半径为2的圆； (2)以坐标原点为圆心，半径分别为2和3的两个同心圆所围成的圆环（包含内外边界） 【详解】（1）复数的模等于2，这表明对应的向量的长度等于2，即点到原点的距离等于2， 因此满足条件的点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆． （2）不等式可以化为不等式组， 不等式的解集是圆和该圆内部所有的点构成的集合， 不等式的解集是圆和该圆外部所有的点构成的集合， 这两个集合的交集，即上述不等式组的解集，也就是满足条件的点的集合． 所求的集合是以原点为圆心，以2和3为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界. 题型9 判断复数对应点所在的象限 53．（2026·四川绵阳·模拟预测）在复平面内，复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】，得， 所以在复平面内对应的点为，位于第四象限. 54．（2026·河北·模拟预测）复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先将复数化简为标准代数形式，得到其对应复平面内点的坐标，即可判断所在象限. 【详解】 因此对应的点为，横坐标为正、纵坐标为负， 故该点位于第四象限. 55．（2026·河南·三模）若复数，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】复数， 所以复数z在复平面内对应的点位于第二象限. 56．（25-26高一下·广东深圳·期中）已知复数z满足，则复数z表示复平面的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】由可得：， 所以复数z表示复平面的点为:，在第一象限. 57．（25-26高一下·青海西宁·期中）已知复数，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】根据的周期性可知，，， 所以， 所以z在复平面内对应的点为，位于第二象限. 题型10 根据复数的坐标写出对应的复数 58．（2026·云南曲靖·二模）在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，其对应点为， 复数对应的点与复数对应的点关于直线对称， 对应点为，则． 59．（2026·云南昆明·二模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，所以. 60．（25-26高一下·河南郑州·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由复数的几何意义可得. 61．（25-26高一下·重庆万州·阶段检测）在复平面内，若复数和对应的点分别是和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数的几何意义写出，然后由复数的除法运算法则计算. 【详解】由题意，， 所以. 62．（25-26高一下·吉林长春·期中）在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2＋i，若点A关于虚轴的对称点为点B，则点B对应的复数是______. 【答案】－2＋i 【分析】由题设可得点B对应坐标，据此可得B对应复数. 【详解】由题设可得对应坐标为，则，从而对应复数为. 题型11 根据复数对应坐标的特点求参数 63．（2026·广东广州·二模）已知，复数在复平面内对应的点在虚轴上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由复数的除法和复数的几何意义可得. 【详解】由复数的除法得， 又因为复数在复平面内对应的点在虚轴上，所以，解得. 64．（2026·湖南长沙·一模）已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，解得. 65．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知复平面内表示复数的点在虚轴上，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】复平面内的点在虚轴上，则实部为，即， 化简得，解得或或. 66．（25-26高三下·重庆渝中·阶段检测）设，若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则______． 【答案】 【分析】借助复数运算法则与虚轴上的点的性质计算即可得. 【详解】， 由该复数在复平面内对应的点位于虚轴上， 则其实部为，即有，解得. 67．（24-25高一下·山西阳泉·期中）已知复数，其中. (1)若，求的值； (2)若对应的点在第一象限，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）复数表示实数，只须，求解即可； （2）复数对应的点在第一象限，只须，解不等式组即可. 【详解】（1）由，可得，解得或； （2）由对应的点在第一象限，可得， 解得且， 所以的取值范围为. 68．（25-26高一下·全国·单元测试）在复平面内，复数对应的点满足以下条件时，分别求实数的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在的图象上 【答案】(1)或 (2) (3) 【详解】（1）由复数对应的点在虚轴上，则，即，则或； （2）由复数对应的点在第二象限，则，即，则； （3）由复数对应的点在的图象上，则，即，则. 题型12 复数与向量 69．（25-26高一下·河北衡水·期中）已知复数，，在复平面内，对应的向量分别为，，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的几何意义和向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题得，， 所以， 其对应的复数为. 70．（25-26高三下·云南昆明·期中）在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合向量的线性运算，利用复数的线性运算求解即可. 【详解】因为向量对应的复数为，向量对应的复数为， 所以， 又， 所以向量对应的复数为． 71．（25-26高一下·山西大同·阶段检测）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于y轴的对称点为B，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】向量对应的复数为，点A的坐标为， 点A关于y轴的对称点为B，点B的坐标为 向量对应的复数为． 72．（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在复平面内每个小方格的边长均为1，向量 对应的复数分别为 则 =（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【详解】依题意，，则， 因此， 所以. 73．（2026·安徽·模拟预测）已知复数与分别对应向量与，其中O为坐标原点，则________． 【答案】 【详解】由题意得，，则，则． 74．（25-26高一下·天津西青·期中）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中O是坐标原点.则向量对应的复数为______. 【答案】 【详解】由题意得，， 故，故向量对应的复数为. 题型13 复数的加减运算 75．（2026·湖北武汉·三模）若复数，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由，则，则. 76．（2026·江苏苏州·模拟预测）设为虚数单位，若，则（   ） A．0 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】，所以，所以. 77．（2026·北京·模拟预测）复数________． 【答案】 【分析】直接由虚数单位的乘方运算及复数的四则运算可得. 【详解】因为，所以. 因此. 78．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）复平面内与复数，，，对应的四点可以构成平行四边形，则不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】平面内与复数，，，对应的四点分别为， 1.若四点构成平行四边形， 则，进而可得，所以， 所以，解得，所以； 2.若四点构成平行四边形， 则，进而可得，所以， 所以，解得，所以； 3.若四点构成平行四边形， 则，进而可得，所以， 所以，解得，所以. 题型14 复数的乘除运算 79．（24-25高一下·广东惠州·阶段检测）计算：________. 【答案】 【分析】根据复数的乘方运算求得正确答案. 【详解】. 80．（25-26高一下·重庆·期中）在复平面内，复数，对应的点关于虚轴对称，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由复数对应的点关于虚轴对称，且，得， 所以. 81．（25-26高一下·重庆·期中）___________. 【答案】 【分析】根据复数的乘法、除法及复数的模求解即可. 【详解】， 所以. 82．（25-26高一下·河南·阶段检测）已知为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以. 83．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知复数满足（是虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，. 84．（2026·北京大兴·三模）复数在复平面内所对应的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】， 对应复平面内点，位于第二象限． 85．（25-26高一下·北京顺义·期中）若复数z满足（i为虚数单位），则复数z的虚部为______. 【答案】1 【详解】，所以复数z的虚部为1. 题型15 复数范围内方程根的问题 86．（2026·海南·模拟预测）已知是关于的实系数方程的一个根，则为（     ） A．10 B． C．6 D． 【答案】A 【详解】由题意可得也是关于的实系数方程的一个根， 则即， ， 所以. 87．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）已知是关于x的方程的一个根，其中p、q为实数，则（   ） A．4 B．13 C．12 D．5 【答案】C 【分析】依题意根据虚根成对原理可得也是关于的方程的一个根，利用韦达定理求出，即可得解. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以也是关于的方程的一个根， 所以， 所以. 88．（2026·上海·三模）已知，方程的一个根为（为虚数单位），则________． 【答案】 【详解】由方程的一个根为，可得方程的另一个根为， 根据根与系数的关系，可得. 89．（25-26高一下·上海普陀·期末）已知关于x的方程的两个根分别为，，若，则实数__________. 【答案】或 【分析】根据一元二次方程是否有根，结合一元二次方程的判别式、根与系数的关系分类讨论进行求解即可. 【详解】关于x的方程的两个根分别为，， 当时，即当时，方程有两个实数根分别为，， 有， 由 ，显然满足，因此. 当时，即当时，方程有两个虚数根分别为，， 根据一元二次方程虚数根的特点，设，则， 由， 由， 由，显然满足， 综上所述：实数，或. 90．（2025·上海·模拟预测）已知虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为________． 【答案】 8 【分析】利用实系数一元二次方程虚根共轭成对的性质，结合韦达定理与复数模的运算性质求解的值. 【详解】因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以，解得， 根据实系数一元二次方程虚根的共轭性质，方程的另一个根为的共轭复数， 由韦达定理，又，且，所以. 91．（25-26高一下·广东肇庆·期中）已知复数，． (1)当z为纯虚数时，求m的值； (2)当时，z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数实部为0、虚部不为0的定义列不等式组求解； （2）先计算时的值，代入实系数方程后利用复数相等的充要条件列方程组求解. 【详解】（1）复数，其中实部为，虚部为， 由纯虚数的定义得： ，解得. （2）当时， ， z是关于x的方程的一个根，得： ， 由复数相等的充要条件得： ， 解得， 代入方程得. 题型16 复数的新定义问题 92．（2025·山东泰安·三模）定义复数运算：，已知复数，w满足，则（   ） A．w可以是 B．的最小值为 C．在复平面内对应的点不可能位于第二象限 D．的实部是5 【答案】BCD 【分析】设，则由题设条件可得，据此利用反证法判断AC，取特例判断B，利用复数的乘法计算后判断D. 【详解】设，则， 整理得，故即， 对于A，若，则，故A错误； 对于B，， 当且仅当时等号成立，故的最小值为，故B成立； 对于C，若在复平面内对应的点位于第二象限，则， 此时不成立，故在复平面内对应的点不可能位于第二象限， 故C正确； 对于D，，故的实部是5， 故D正确. 故选：BCD. 93．（2025·青海海南·模拟预测）定义复数运算：．若，且（是虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．的模为 C． D．在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】BCD 【分析】根据题设新定义，利用共轭复数的定义、复数的运算及复数相等，得到，再对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】设，由题意知， 即，则，解得，所以， 对于选项A，因为的虚部为1，所以A错误； 对于选项B，因为，所以B正确； 对于选项C，因为，故C正确， 对于选项D，因数在复平面内对应的点在第二象限，所以D正确， 故选：BCD. 94．（2025高三·全国·专题练习）已知是复数，定义关于复数的一种运算“”：当，时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，再结合运算“”的定义直接计算即可. 【详解】因为，， 所以，从而. 故选：A 95．（25-26高一下·全国·课堂例题）定义，若（为虚数单位），且复数满足方程，则复数在复平面内对应的点组成的集合为________． 【答案】 【分析】设，，，根据复数乘方运算得，从而根据复数的模运算法则得到在复平面内对应的点组成的集合. 【详解】设，，，由题意，得， 则由，得，即， 故复数在复平面内对应的点组成的集合为． 故答案为： 题型17 欧拉公式及其应用 96．（25-26高一下·山东菏泽·期中）欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，复数的模长等于（    ） A． B． C．2 D．-2 【答案】A 【详解】 ， 因此结果为，选A 97．（25-26高一下·河南郑州·期中）欧拉公式是由瑞士数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，则． 98．（25-26高二上·上海·阶段检测）瑞士数学家欧拉发现了公式：，其中为虚数单位，.据此可知，下列说法中错误的是（    ） A．为纯虚数. B．的共轭复数为 C．的模长等于 D．对应的点位于第三象限 【答案】D 【分析】根据给定的欧拉公式写出各项对应的复数的代数形式，结合纯虚数、共轭复数、模长等复数的几何意义判断正误. 【详解】A：由题意为纯虚数，正确； B：由题意，则的共轭复数为，正确； C：由题意，模为，正确； D：由题意得，则其对应的点为， ，则，， 对应的点位于第二象限，错误； 故选：D. 99．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是（　　） A．为纯虚数 B．复数对应的点位于第三象限 C．复数的模长等于 D．的共轭复数为 【答案】AC 【分析】利用欧拉公式把选项A，B，D化成复数的代数形式即可计算判断；利用欧拉公式把选项C的分子化成复数的代数形式，再利用除法运算与模长公式判断即得. 【详解】对A：由，则，故A正确； 对B：由，则，由， 故，，故复数对应的点位于第二象限，故B错误； 对C：由，则 ，则 ，故C正确； 对D：由，则，则其共轭复数为，故D错误. 故选：AC. $专题11 复数17种常考考法归类 题型一 复数的实部与虚部 题型十 根据复数的坐标写出对应的复数 题型二 复数分类 题型十一 根据复数对应坐标的特点求参数 题型三 复数相等 题型十二 复数与向量 题型四 共轭复数 题型十三 复数的加减运算 题型五 待定系数求复数 题型十四 复数的乘除运算 题型六 求复数的模 题型十五 复数范围内方程根的问题 题型七 由复数模求参数 题型十六 复数的新定义问题 题型八 与复数模相关的轨迹（图形）问题 题型十七 欧拉公式及其应用 题型九 判断复数对应点所在的象限 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 复数的实部与虚部 1．（25-26高一下·河北邢台·期中）复数的虚部为（    ） A．1 B． C．3 D． 2．（25-26高一下·广东江门·期中）复数的虚部是（   ） A．1 B． C． D． 3．（25-26高一下·陕西渭南·期中）若复数，则的实部为（     ） A．1 B．4 C．3 D．7 4．（25-26高一下·河南·阶段检测）复数的虚部为（     ） A．4 B． C．3 D． 5．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知复数，则复数的虚部为（   ） A．i B． C．1 D． 6．（2026·重庆万州·三模）复数的实部与虚部之差为______. 7．（2026·云南·模拟预测）设复数，若的实部与虚部相等，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D． 题型2 复数分类 8．（25-26高一下·安徽宿州·阶段检测）已知为虚数单位，下列数一定是纯虚数的是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26高一下·江苏淮安·期中）若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C．0 D．10 10．（2026·山东聊城·模拟预测）为纯虚数，则实数（   ） A． B． C． D． 11．（2026·江西·模拟预测）“或”是“复数为纯虚数”的（     ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 12．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知复数满足，则“为实数”是“为纯虚数”的（    ） A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 13．（25-26高一下·上海普陀·期末）若复数，则实数的取值为__________. 14．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知复数：分别求出符合下列条件的实数的值. (1)实数； (2)纯虚数； (3)零. 15．（23-24高一下·江苏·单元复习）当实数为何值时，复数为 (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 题型3 复数相等 16．（2025高二下·福建·学业考试）已知，，（，），若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 17．（2026·云南·模拟预测）设，其中x，y是实数，则（    ） A．2 B． C．4 D． 18．（25-26高二下·安徽阜阳·期中）设，为虚数单位，，则______． 19．（2026·北京海淀·三模）已知复数，，，则复数的虚部是（    ） A． B． C．2 D． 20．（2026·甘肃兰州·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 21．（25-26高一下·河南·阶段检测）已知（，，i为虚数单位），则_________. 题型4 共轭复数 22．（25-26高一下·重庆·期中）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）若复数满足，则的虚部是（     ） A． B． C．2 D．2i 24．（2026·甘肃平凉·模拟预测）的共轭复数的虚部为（    ） A．1 B． C． D．i 25．（2026·上海·三模）已知复数满足，其中为虚数单位，则_____． 26．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）复数的共轭复数为，则（    ） A． B．2 C． D．4 题型5 待定系数求复数 27．（2026·江西·模拟预测）若，且，则（     ） A． B． C． D． 28．（2026·河北雄安·三模）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 29．（2026·江苏南通·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 30．（2026·湖北·模拟预测）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 31．（24-25高三上·河北衡水·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 32．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知复数满足，则______. 题型6 求复数的模 33．（25-26高二下·山西长治·阶段检测）设复数，则=（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 34．（24-25高一下·广东惠州·阶段检测）复数，，则（    ） A．1 B． C． D．3 35．（2026·重庆渝中·三模）已知，则（    ） A． B． C．5 D． 36．（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）复数，则（     ） A．2 B． C．1 D．4 37．（2026·陕西西安·模拟预测）复数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 38．（25-26高一下·上海·阶段检测）设是复数，满足，则________． 39．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 40．（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）若为复数，则下列选项一定正确的有（     ） A． B． C．若，则 D． 41．（25-26高一下·陕西榆林·阶段检测）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（   ） A．若，则 B． C．若，则 D． 题型7 由复数模求参数 42．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）设复数，且，则（   ） A．4 B．8 C． D． 43．（25-26高三上·广东·阶段检测）已知复数，其中，若，则（    ） A． B． C． D． 44．（25-26高一下·上海奉贤·期中）已知，，且，则________． 45．（25-26高一下·云南昭通·期中）已知复数的模等于2，则实数的值为______. 46．（2026·湖北·模拟预测）已知复数z的实部与虚部互为相反数，且，则_______． 47．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知，若复数满足（为虚数单位），且，则______. 题型8 与复数模相关的轨迹（图形）问题 48．（25-26高一下·河北唐山·期中）复数在复平面内对应的点为，若，则点的集合对应的图形的面积为（ ） A． B． C． D． 49．（25-26高一下·陕西榆林·期中）已知复数满足，则在复平面内对应的点形成的轨迹为（    ） A．一条直线 B．一条线段 C．一个圆 D．一段圆弧 50．（25-26高一下·江苏·阶段检测）在复平面内，若复数满足，则复数对应的点所形成的图形是______． 51．（25-26高二下·河北承德·阶段检测）已知为虚数单位，复数满足，则的最小值为__________． 52．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，表示下列复数的点Z的集合是什么图形? (1)； (2) 题型9 判断复数对应点所在的象限 53．（2026·四川绵阳·模拟预测）在复平面内，复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 54．（2026·河北·模拟预测）复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 55．（2026·河南·三模）若复数，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 56．（25-26高一下·广东深圳·期中）已知复数z满足，则复数z表示复平面的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 57．（25-26高一下·青海西宁·期中）已知复数，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型10 根据复数的坐标写出对应的复数 58．（2026·云南曲靖·二模）在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 59．（2026·云南昆明·二模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 60．（25-26高一下·河南郑州·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 61．（25-26高一下·重庆万州·阶段检测）在复平面内，若复数和对应的点分别是和，则（   ） A． B． C． D． 62．（25-26高一下·吉林长春·期中）在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2＋i，若点A关于虚轴的对称点为点B，则点B对应的复数是______. 题型11 根据复数对应坐标的特点求参数 63．（2026·广东广州·二模）已知，复数在复平面内对应的点在虚轴上，则（   ） A． B． C． D． 64．（2026·湖南长沙·一模）已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 65．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知复平面内表示复数的点在虚轴上，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 66．（25-26高三下·重庆渝中·阶段检测）设，若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则______． 67．（24-25高一下·山西阳泉·期中）已知复数，其中. (1)若，求的值； (2)若对应的点在第一象限，求的取值范围. 68．（25-26高一下·全国·单元测试）在复平面内，复数对应的点满足以下条件时，分别求实数的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在的图象上 题型12 复数与向量 69．（25-26高一下·河北衡水·期中）已知复数，，在复平面内，对应的向量分别为，，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 70．（25-26高三下·云南昆明·期中）在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 71．（25-26高一下·山西大同·阶段检测）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于y轴的对称点为B，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 72．（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在复平面内每个小方格的边长均为1，向量 对应的复数分别为 则 =（    ） A． B． C．5 D． 73．（2026·安徽·模拟预测）已知复数与分别对应向量与，其中O为坐标原点，则________． 74．（25-26高一下·天津西青·期中）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中O是坐标原点.则向量对应的复数为______. 题型13 复数的加减运算 75．（2026·湖北武汉·三模）若复数，则（    ） A． B．2 C． D． 76．（2026·江苏苏州·模拟预测）设为虚数单位，若，则（   ） A．0 B．4 C． D． 77．（2026·北京·模拟预测）复数________． 78．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）复平面内与复数，，，对应的四点可以构成平行四边形，则不可能为（   ） A． B． C． D． 题型14 复数的乘除运算 79．（24-25高一下·广东惠州·阶段检测）计算：________. 80．（25-26高一下·重庆·期中）在复平面内，复数，对应的点关于虚轴对称，且，则（     ） A． B． C． D． 81．（25-26高一下·重庆·期中）___________. 82．（25-26高一下·河南·阶段检测）已知为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 83．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知复数满足（是虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 84．（2026·北京大兴·三模）复数在复平面内所对应的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 85．（25-26高一下·北京顺义·期中）若复数z满足（i为虚数单位），则复数z的虚部为______. 题型15 复数范围内方程根的问题 86．（2026·海南·模拟预测）已知是关于的实系数方程的一个根，则为（     ） A．10 B． C．6 D． 87．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）已知是关于x的方程的一个根，其中p、q为实数，则（   ） A．4 B．13 C．12 D．5 88．（2026·上海·三模）已知，方程的一个根为（为虚数单位），则________． 89．（25-26高一下·上海普陀·期末）已知关于x的方程的两个根分别为，，若，则实数__________. 90．（2025·上海·模拟预测）已知虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为________． 91．（25-26高一下·广东肇庆·期中）已知复数，． (1)当z为纯虚数时，求m的值； (2)当时，z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 题型16 复数的新定义问题 92．（2025·山东泰安·三模）定义复数运算：，已知复数，w满足，则（   ） A．w可以是 B．的最小值为 C．在复平面内对应的点不可能位于第二象限 D．的实部是5 93．（2025·青海海南·模拟预测）定义复数运算：．若，且（是虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．的模为 C． D．在复平面内对应的点位于第二象限 94．（2025高三·全国·专题练习）已知是复数，定义关于复数的一种运算“”：当，时，（   ） A． B． C． D． 95．（25-26高一下·全国·课堂例题）定义，若（为虚数单位），且复数满足方程，则复数在复平面内对应的点组成的集合为________． 题型17 欧拉公式及其应用 96．（25-26高一下·山东菏泽·期中）欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，复数的模长等于（    ） A． B． C．2 D．-2 97．（25-26高一下·河南郑州·期中）欧拉公式是由瑞士数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，若，则（   ） A． B． C． D． 98．（25-26高二上·上海·阶段检测）瑞士数学家欧拉发现了公式：，其中为虚数单位，.据此可知，下列说法中错误的是（    ） A．为纯虚数. B．的共轭复数为 C．的模长等于 D．对应的点位于第三象限 99．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是（　　） A．为纯虚数 B．复数对应的点位于第三象限 C．复数的模长等于 D．的共轭复数为 $