6.3.1 平面向量基本定理（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教A版）

6.3　平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1　平面向量基本定理 基础过关练 题组一　对平面向量基本定理的理解 1.(多选题)(2025湖北武汉华中师大一附中月考)如果e1,e2是平面α内两个不共线的向量,那么下列选项中正确的是(　　) A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B.对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个 C.两向量a=λ1e1+μ1e2,b=λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得b=λa D.若存在实数λ,μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0 2.(2024广东深圳月考)如图,点O为正六边形ABCDEF的中心,则下列向量中可构成平面内所有向量的一个基底的是(　　) A.,　　B.,　　 C.,　　D., 3.(2025山东泰安新泰一中月考)若{e1,e2}是平面内的一个基底,则下列四组向量中能构成平面向量的一个基底的是(　　) A.e1-e2,e2-e1　　B.2e1-e2,e1-e2 C.2e2-3e1,6e1-4e2　　D.e1+e2,e1+3e2 题组二　用基底表示向量 4.(2025河北定州中学月考)在△ABC中,点D在线段BC上,且=4,E是线段AB的中点,设=a,=b,则=(　　) A.-a-b　　B.a-b C.a+b　　D.-a+b 5.(2025广东广州广雅中学月考)在平行四边形ABCD中,M是边AB上靠近点A的三等分点,DM与AC交于点N,设=a,=b,则=(　　) A.-a+b　　B.-a+b C.-a+b　　D.-a+b 6.(2025陕西西安第八十五中学月考)如图,在长方形ABCD中,E为边DC的中点,F为边BC上一点,且=.设=a,=b. (1)试用基底{a,b}表示,; (2)若G为长方形ABCD内部一点,且=a+b,求证:E,G,F三点共线. 题组三　分点恒等式 7.(教材习题改编)在△ABC中,点D在边BC上,且=5,则=(　　) A.+　　B.+　　 C.+　　D.+ 8.(2025广东汕头期中)如图,在梯形ABCD中,M在线段BD上,||=k||.若=+,则k=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 9.在梯形ABCD中,AD∥BC,=3,=3,且=λ+μ,则λμ的值为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 题组四　平面向量基本定理的应用 10.(2025山东青岛二中月考)如图所示,△ABC中,点D是线段BC的中点,E是线段AD上的动点,若=x+y,则x+y的值为(　　) A.1　　B.3　　C.5　　D.8 11.(2025四川乐山一中月考)如图,在△ABC中,=2,=2,AD与CE的交点为M,则S△MAC∶S△ABC=(　　) A.1∶3　　B.2∶5　　C.3∶7　　D.4∶9 12.(2025四川绵阳南山中学月考)△ABC中,D是AC的中点,H在线段BD上,且=x+y,则x2+y2的最大值为(　　) A.　　B.　　C.1　　D.2 13.(2024河南信阳期中)如图,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,AC交BD于点O. (1)若·=8,求AP的长; (2)若||=6,||=8,∠BAC=,=x+y(x,y∈R),求y-x的值. 能力提升练 题组　平面向量基本定理的应用 1.(2025江苏徐州二中月考)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,AE=3ED,DF=FC,AF与BE相交于点G,记=a,=b,则=(　　) A.a-b　　B.-a+b　　 C.a-b　　D.-a+b 2.(2025天津南仓中学月考)如图所示,O为线段A0A2 025外一点,若A0,A1,A2,A3,…,A2 025中任意相邻两点间的距离相等,=a,=b,则+++…+=(　　) A.2 025(a+b)　　B.2 026(a+b)　　 C.1 012(a+b)　　D.1 013(a+b) 3.(2025辽宁八校联考)在平行四边形ABCD中,DA=DB,E是平行四边形ABCD内(包括边界)一点,=,若=x+y,则x+y的取值范围为(　　) A.[1,2]　　B.　　C.　　D.[0,1] 4.(2024重庆巴南部分学校阶段检测)在矩形ABCD中,已知E,F分别是BC,CD上的点,且满足=,=2.若点P在线段BD上运动,且=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围为(　　) A.　　B.　　 C.　　D. 5.(2025河北石家庄辛集中学月考)如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2CD=4,∠BAD=,E是BC边上一点(含端点),设=λ,AE与BD交于点F. (1)若λ=,=x+y,则2x-y=　　　　;  (2)·的取值范围为　　　　.  6.(2025山东济南师范大学附属中学月考)如图,在△ABC中,点P满足=2,O是线段AP的中点,过点O的直线与边AB,AC分别交于点E,F. (1)若=,求的值; (2)若=λ(λ>0),=μ(μ>0),求+的最小值. 答案与分层梯度式解析 6.3　平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1　平面向量基本定理 基础过关练 1.AD 2.B 3.D 4.A 5.A 7.A 8.D 9.D 10.A 11.B 12.C 1.AD　由平面向量基本定理可知,A,D正确,B错误. 对于C,当a=0,b≠0时,不存在这样的λ. 2.B　由基底的概念可知,构成基底的一组向量不能共线.由题图可知,与共线,与共线,与共线,与不共线. 3.D　对于A,因为e1-e2=-(e2-e1),所以e1-e2,e2-e1为共线向量,不符合基底的定义,故A不符合题意; 对于B,因为2e1-e2=2,所以2e1-e2,e1-e2为共线向量,不符合基底的定义,故B不符合题意; 对于C,因为2e2-3e1=-(6e1-4e2),所以2e2-3e1,6e1-4e2为共线向量,不符合基底的定义,故C不符合题意; 对于D,设存在唯一的实数λ使e1+e2=λ(e1+3e2)=λe1+3λe2, 则此方程组无解,故e1+e2,e1+3e2不共线,能构成平面向量的一个基底,故D符合题意. 4.A　因为=4,所以==-, 则=-=--+=--=-a-b. 5.A　由已知得+==b,-==a,则=, 易知△AMN∽△CDN,所以==,则==a, 故=+=+a=-a+b. 6.解析　(1)由题可知=+=+=+=b+a, =+=+=-=a-b. (2)证明:∵=a+b,∴=-=a-b, 则=a-b=2, ∵,有公共点E,∴E,G,F三点共线. 7.A　由=5可得BD∶DC=5∶1,利用分点恒等式,可得=+. 记忆结论 　　分点恒等式:在△ABC中,D是BC上的点(不包含端点),若BD∶CD=m∶n,则=+. 8.D　由题意可设=λ(0≤λ≤1), 则=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ, 又因为=+,且,不共线, 所以解得λ=,即=, 所以||=||,即k=. 小题速解 　　因为+=1,且∶=1∶3, 所以BM∶MD=1∶3,所以||=||,即k=. 9.D　由题意得AH∶HF=3∶1,∴=+, 由=3,可得=,∴=+, 又=λ+μ,,不共线,∴λ=,μ=, ∴λμ=×=. 一题多解 　　由题意得=+=+=+(-)=+=+,由=λ+μ,结合平面向量基本定理可知λ=,μ=,∴λμ=×=. 10.A　因为点D是线段BC的中点,所以=2, 则=x+y=x+y, 因为A,E,D三点共线, 所以x+y=1(三点共线的结论). 记忆结论 　　若,为平面内两个不共线的向量,设=x+y(x,y∈R),则A,B,C三点共线的充要条件是x+y=1. 11.B　因为E,M,C三点共线,=2,所以不妨设=x+(1-x)=x+(1-x), 因为=2,所以BD∶CD=1∶2,所以=+, 设=t,则x+(1-x)=+, 因为,不共线, 所以解得t=,所以=,所以AM=AD, 所以S△MAC∶S△DAC=3∶5,又DC=BC,所以S△DAC∶S△ABC=2∶3,所以S△MAC∶S△ABC=2∶5. 12.C　由D是AC的中点得=2, 所以=x+y=x+2y, 因为B,H,D三点共线,所以x+2y=10≤x≤1,0≤y≤,所以x2+y2=(1-2y)2+y2=5y2-4y+1=+,当x=1,y=0时,x2+y2取得最大值,为1. 13.解析　(1)由题意得·=·2=2·(+)=2+0=8,∴==4, ∴||=2,故AP的长为2. (2)∵=x+y=x+2y,且B,P,O三点共线,∴x+2y=1①. ∵||=6,||=8,∠BAC=, ∴·=||·||cos∠BAC=12, 由AP⊥BD可知·=(x+2y)·(-)=0,即2y-x+(x-2y)·=0,∴y=3x②, 联立①②解得x=,y=,故y-x=. 能力提升练 1.C 2.D 3.B 4.B 1.C　设=λ,则=λ =λ=+λ, 因为B,G,E三点共线,所以+λ=1,解得λ=, 即=,所以=+=-=a-b. 一题多解 　　如图,延长AF,BC,交于点H, 在▱ABCD中,因为F为CD的中点,所以CF=CD=AB,又BA∥CF,所以CF为△ABH的中位线,所以AF=FH,BC=CH, 易知△AGE∽△HGB,则==,可得=,则==, 所以=+=-=a-b. 2.D　取A0A2 025的中点A,则+=2=a+b, 因为A0,A1,A2,A3,…,A2 025中任意相邻两点间的距离相等, 所以点A也是A1A2 024,A2A2 023,…,A1 012A1 013的中点, 则+=+=…=+=2=a+b, 则+++…+=(a+b)=1 013(a+b). 方法技巧 　　处理多个向量的和的问题,大多是将具有对称性的两个向量分别相加,再按规律求所有向量的和,本题中A0,A1,A2,A3,…,A2 025中任意相邻两点间的距离相等,所以A0A2 025,A1A2 024,A2A2 023,…,A1 012A1 013的中点相同,再利用向量加法的平行四边形法则求解. 3.B　由=,得||·cos∠EDA=||cos∠EDB,即cos∠EDA=cos∠EDB, 所以点E在∠BDA的平分线上,设AB的中点为M, 因为DA=DB,所以点E在线段DM上, 不妨设=λ,λ∈[0,1], 则=+λ=+λ(+) =+λ=+λ, 因为=x+y,所以x+y=1-+λ=1+. 因为λ∈[0,1],所以x+y=1+∈. 4.B　设=a,=b,则=+=a-b,=+=a-b, 联立解得 因为点P在线段BD上运动, 所以可设=t+(1-t),0≤t≤1, 则=t+(1-t)=ta-(1-t)b =t-(1-t) =+, 又=λ+μ(λ,μ∈R),所以 故λ+μ=-++-=-t, 因为0≤t≤1,所以λ+μ=-t∈. 5.答案　(1)　(2)[-12,-6] 解析　(1)由+++=0得=-+. 由AB=2CD,得=,则=-. 又=,所以=-,所以=+=+, 由A,F,E三点共线,可设=n=n+n, 由平面向量基本定理可得n+n=1⇒n=, 则=+, 所以x=,y=,故2x-y=. (2)由题可得λ∈[0,1], 由(1)可得=+=+λ=+λ=+λ, 如图,过D,C作AB的垂线,垂足分别为G,H. 因为AB=2CD=4,四边形ABCD为等腰梯形,所以AG=1, 结合∠BAD=,可得AD=2. 则·=||·||cos =4,=16,=4, 则·=+λ·(-) =-+λ+·=-12+6λ, 结合λ∈[0,1],可得·∈[-12,-6]. 6.解析　(1)因为=2,所以=, 所以=+=+=+(+)=+, 因为O是AP的中点,所以==+, 设=x(x>1),因为=,所以=+,又E,O,F三点共线,所以+=1,解得x=, 故=,所以=. (2)=+=+λ=(1+λ),=+=+μ=(1+μ), 由(1)可知=+, 所以=+, 又因为E,O,F三点共线,所以+=1,整理得2λ+μ=3,故2λ+μ+1=4,的分母分别为λ和μ+1,要构造对应的形式, 所以+=·(2λ+μ+1)=≥=, 当且仅当λ=4-2,μ=4-5时取等号, 所以+的最小值为. 7 学科网（北京）股份有限公司 $