2026年重庆九年级数学适应性测试考前模拟卷02【指标到校复习】

2026年重庆九年级适应性测试考前模拟卷【指标到校复习】 数学卷02 （全卷共24题，满分150分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷（选择题） 1、 选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1．的相反数为（   ） A．7 B． C． D． 2．下列调查方式，你认为最合适的是（   ） A．调查一批冬枣的甜度情况，采用全面调查 B．调查一批小米汽车电池的使用寿命，采用全面调查 C．调查全市观众对电影《浪浪山小妖怪》的喜爱程度，采用抽样调查 D．调查歼战斗机的零部件质量，采用抽样调查 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．反比例函数的图像一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 5．如图，用一些等边三角形“△”堆成“金字塔”图形，其中①中有3个“△”，②中有6个“△”，③中有10个“△”，······，按此规律排列下去，若第n个图形的“△”的个数为45个，则n的值为（    ）     A．7 B．8 C．9 D．10 6．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．某商品原价为元，经连续两次降价后售价为元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，和是以O为位似中心的位似图形，且，的周长是12，则的周长是（   ） A．4 B．6 C．36 D．24 9．如图，在正方形中，点M为边上一点，，连接并延长，与的延长线交于点N，点F为边上一点，过点C作交于点E，作于点H，交于点G．若，，则的长为（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 10．已知整式M：，其中n为自然数，均为正整数，且．下列说法： ①当，，且为奇数时，则满足条件的所有整式M的和为 ②若且为偶数时，满足条件的所有整式M有且仅有8个； ③当时，满足条件的所有整式M有且仅有15个． 其中正确的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷（非选择题） 2、 填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11．据报道，2025年重庆中考报名人数约为358000人，其中数据358000用科学记数法表示为___． 12．一只不透明的袋子中装有红球和白球共30个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球实验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是0.2，则袋中有_________个红球． 13．已知a、b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b=___． 14．已知是方程的一个根，则 ______． 15．如图，的半径是2，是直径，点是延长线上一点，且，切于点，交于点，连接交于点，则_________，的面积是_________． 16．一个四位数，各数位上的数字互不相等且均不为0，若将的千位数字和百位数字组成的两位数与的十位数字和个位数字组成的两位数相加，和为完全平方数，则称这个四位数为“方数”．例如：四位数4816，，是“方数”，则最大的“方数”是__________，若是一个“方数”，且是整数，则满足条件的的最大值与最小值的差是________． 三、解答题：（本大题共8个小题，17题和18题每小题8分，19-25题每小题10分，共86分） 17．求不等式组：的所有整数解． 18．如图，小李在中考数学复习中，做了如下探究：在平行四边形中，对角线相交于点O，E为上一点，连接． (1)用直尺和圆规完成以下基本操作：过点C作的平行线，交于点F，连接；（不写作法，只保留作图痕迹） (2)求证：四边形为平行四边形． 证明：∵四边形为平行四边形， ①_______ ②_______ 在和中， ③_______ 四边形为平行四边形． 从以上探究过程中，小李进一步发现：若四边形为菱形，E为延长线上一点，连接，再过点C作直线的平行线，交延长线于点F，连接，则四边形的形状为④_______． 19．为进一步营造良好的通信科技人才成长环境，提升信息科技素养，培养科技创新后备人才，某学校开展了以“青少年通信科技创新大赛”为主题的科技系列活动，初赛采用标准试题线上答题．其中该校对七、八年级学生进行了初赛测试，现从七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A：；B：；C：；D：），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的成绩是：63，72，76，82，82，86，86，86，97，100 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：84，86，82，87，87． 七、八年级抽取的学生成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 83 83 中位数 84 a 众数 b 87 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 请根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)根据以上数据，你认为哪个年级学生的初赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有480人、八年级有560人参加了此次初赛测试，请估计两个年级参加初赛测试的成绩不低于90分的共有多少人． 20．先化简，再求值：，其中． 21．某中学正值100周年校庆，该校准备制作一批纪念品，经过招标比选等正规程序，该校最终找到了满意的生产厂家，今年3月初，厂家提供第一批纪念品，学校花了3300元；三月中旬，厂家提供第二批纪念品，学校花了4000元，已知厂家生产第二批纪念品时，改进了技术，降低了成本，单价随之降低，第一批纪念品的单价是第二批单价的1.1倍，且第二批纪念品比第一批纪念品多25个． (1)求第二批纪念品的单价； (2)两批纪念品送达该校后，受到该校师生的青睐，学校准备再定制一批，经和商家协商，在第二批纪念品的基础上，若每多预定10个，单价降低1元，由于成本原因，纪念品单价不得低于25元，学校经过测算，随即和厂家签订第三批纪念品的订单，共计6240元，求第三批纪念品的个数． 22．如图，矩形中，，，点E为边的中点，点F为边上的三等分点，动点P从点A出发，沿折线运动，到C点停止运动.点P的运动速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为x秒，的面积为y.      (1)请直接写出y关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图像，直接写出当直线与该函数图象有两个交点时，b的取值范围. 23．某校组织初三学生到张家界国家森林公园开展研学旅行，同学们来到入口A观测到山顶D在仰角的地方（学生身高忽略不计），然后水平前行了27米，到达一个岔路口B处，从这里上山有两条路线．路线一：沿着一个坡度的斜坡步行到索道口C，然后乘坐一条长500米，且与水平线夹角为的索道上山；路线二：继续沿水平路线前行到山脚E，然后乘坐山体电梯直达山顶D（山体电梯与水平地面垂直）．（参考数据：，，，，） (1)求山顶D离水平地面的高度为多少米？（结果精确到1米） (2)若师生的步行速度为50米分，索道的运行速度为70米分，山体电梯的运行速度为180米分．张老师带领部分同学选择路线一，李老师带领另一部分同学选择路线二，两队从B点一起出发，请问哪个队伍先到山顶？（结果精确到个位） 24．如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．求面积的最大值，及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）问条件下，将原抛物线向右平移，再次经过（2）问条件下的点时，新抛物线与轴交于点，（在左侧），与轴交于点，点为新抛物线上的一点，连接，并延长交直线于点，使得，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25．已知，与均为直角三角形，． (1)如图1，若点共线，连接，且，求的长； (2)如图2，若，连接，并延长交于点，，猜想与的数量关系并证明； (3)如图3，，连接，点，点分别为与的中点，连接，记的最大值为的最小值为，请直接写出的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年重庆九年级适应性测试考前模拟卷【指标到校复习】 数学卷02 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1 2 6 7 8 9 10 C D D B D B C B B 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.3.58×10 12.6 13.9 14.2026 15. 25 3V5 2 16. 9871 6993 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 3x+1>2x① 17.(8分)【详解】解： 1+x+2x<4② 2+3 解不等式①，得x>-1, (3分) 解不等式②，得x<3, (6分) :.原不等式组的解集为-1<x<3 (7分) .原不等式组的所有整数解是x=0,1,2. (10分) 18.(8分) 【详解】(1)解：如图所示为所求： (4分) (2)证明：：四边形ABCD为平行四边形， A0=C0, .AE CF, 第1页共13页 多学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠EA0=∠FC0, 在△AOE和aCOF中， I∠EAO=∠FCO A0=C0, ∠AOE=∠COF AA0E≌ACOF(ASA, :AE =CF, ·四边形AECF为平行四边形. 如图，四边形AECF是菱形， :四边形ABCD为菱形， :A0=C0,AC⊥BD, .AE CF, :LEAO=∠FCO, 在△A0E和aCOF中， ∠EAO=∠FCO AO=CO ∠AOE=∠COF △AOE≌△COF(ASA, :.0E=0F, .四边形AECF是菱形， :.四边形AECF的形状为菱形. (8分) 19.(10分) 【详解】(1)解：八年级抽取的学生成绩， 在A组的人数为：10×10%=1（人)， 第2页共13页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在B组的人数为：10×10%=1（人）， 在D组的人数为：10-1-1-5=3（人）， m%=3 0·解得：m=30: 八年级抽取的学生成绩的中位数就是排序后第5和第6个成绩的平均数，它们分别是86和87， :八年级抽取的学生成绩的中位数为：a=87+86=86.5(分)： 2 七年级抽取的学生成绩中，86分出现3次，次数最多， :.七年级抽取的学生成绩的众数是b=86（分)， 故答案为：86.5,86,30： (6分) (2)解：八年级学生的初赛成绩更好，理由是：两个年级的平均数都是83分，但八年级初赛成绩的中位 数86.5分大于七年级初赛成绩的中位数84分；（答案不唯一） (8分) (3)解：480×2+560×3=264（人） 10 10 答：估计两个年级参加初赛测试的成绩不低于90分的共有264人. (10分) 20.(10分) 【详解】解：原式=m-2m2+1-2m+m+2m2+m21÷m+ 1-2m2m-1 =1+m2-1.2m-1 1-2m(m+1) =1-(m+川m-1,2m-1 2m-1(m+1)2 =1-m-1 m+1 2 m+1 (7分) m=(°-sm6-2 =(-2)2-1 =4-1 =3, 将m=3代入原式，得原式= (10分) 21.(10分) 第3页共13页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：设第二批纪念品的单价为x元，则第一批纪念品的单价为11x元， 33004000 根据题意，得 -25, 1.1x x 解得x=40, 经检验得x=40是原方程的解， 答：第二批纪念品的单价为40元； (5分) (2)解：购进第二批纪念品的数量为4000÷40=100（个）， 设定制第三批纪念品的数量为y个，则单价为40-y-100 10 50-6)元 根据题意， 得50-卫 10 y=6240, 解得=240，=260， 当y=240时，50-=26>25，符合题意， 10 当为=260时，50-=24<25，不符合题意，舍去， 10 答：定制第三批纪念品的数量为240个. (10分) 22.(10分) 【详解】(1)在矩形ABCD中，AB=CD=4,BC=AD=6, :点E为AB边的中点，点F为BC边上的三等分点(CF<BF), .AE-BE=TAB=2.CF-1BC=2.BF-2BC=4, 当点P在AD上时，则AP=2x,则0<2x≤6，即0<x≤3， 此时DP=6-2x, E B :PEF的面积y=4x6-E,AP-BE-BF-CF+DP-CD =4×6- x2x2xx2x42+6-2x4 2 Γ2 =2x+4; 当点P在CD上时，即3<x≤5时，如图， 第4页共13页 面学科网·上好课 www.zx×k.com 上好每一堂课 P 则DP=2x-6, :PEF的面积y=4×6-BEBF-CP.CF-(AE+DP)AD 2 =4x6-2x2x4-3x2x10-2到-号2+2x-61x6 2 2 =-4x+22; 2x+4,(0≤x≤3 .y= (6分) -4x+22,3<x≤5) (2)函数图象如图所示， 11 10 987 6 5 432 01234567891011x 当0≤x≤3时，y随着x的增大而增大，当3<x≤5时，y随着x的增大而减小： (8分) (3)当直线y=-2x+b经过点(5,2)时，2=-2×5+b,则b=12, 当直线y=-2x+b经过点(3,10时，10=-2×3+b,则b=16, 结合图象可知，直线y,=-2x+b与该函数图象有两个交点时，b的取值范围是12≤b<16. (10分) 第5页共13页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0987 6 2 01234567891011x 23.(10分) 【详解】(1)解：如图，设过点C的水平线交DE于点M,过点C作CN⊥AE于点N, C人53 M A B N E 则四边形CMEN为矩形， :CN=ME,CM =NE; 设CN=ME=x米， i=1:3=CN BN' .BN=V3CN=√3x(米)， 在Rt△CDM中， DM=CD.sin∠DCM=500×sin53°≈500×0.80=400（米）， CM=NE=CD·cos∠DCM=500×cos53°≈500×0.60=300（米）， .DE=DM+ME=（400+x)米， BE=NE+BN=300+V3x米， :AB=27米， AE=AB+BE=27+300+V5x=(327+5x)米， ∠DAE=45°，∠E=90°， .∠ADE=90°-∠DAE=45°， 第6页共13页 学科网·上好课 www.z×xk.com 上好每一堂课 ∠DAE=∠ADE, AE DE, 即：327+V3x=400+x, 解得：x 735+173x1.73+1=100(米)， 2 2 DE=400+x≈400+100=500（米）， 答：山顶D离水平地面AB的高度约为500米： (5分) (2)解：由(1)可知：CN=ME=100米， BN=√5CN=V5x100≈173米， BC=VBN2+CN2=V1732+1002≈200（米）， .BE=BN+NE≈173+300=473（米）， 路线一所需时间=200÷50+500÷70≈11（分钟）， 路线二所需时间=473÷50+500÷180≈12（分钟）， 11<12, :选择线路一的队伍先到山顶， 答：张老师带领部分同学选择路线一先到山顶. (10分) 24.(10分) 【详解】(1)解：：抛物线y=x2+bx与直线OB交于点B(6,6), .36+6b=6,解得b=-5, :抛物线为y=x2-5x; (3分) (2)解：设直线OB的解析式为y=, “y=x过点点B(6,6, ·6k=6,解得k=1, :直线OB的解析式为y=x, :OB∥AC, 设直线AC的解析式为y=x+n, 当y=0时，x2-5x=0,解得x=0,x2=5, :A5,0), 第7页共13页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5+n=0,解得n=-5, ·.直线AC的解析式为y=x-5, 设D(m,m2-5m,则E(m,m, 过点F作FW⊥DE交DE于点W,记DE交AC于点Q,设直线AC交y轴于点G,则OG=5 D :EQ∥OG,OBII AC :四边形OGQE是平行四边形， .EO=0G=5, :EF⊥AC, .EF⊥OB, 即∠EFQ=∠OEF=90°， :∠BOA=45°，DE⊥x轴交直线OB于点E, ∠0ED=45°， :∠FED=∠OEF-LOED=45°， 即△EFQ为等腰直角三角形， 5 2 1 、5 <0, 4 :当用=3时，D8F面的最大值为行m-5m=(-3-5-到=-6，则点D的坐标为3，-6： (6分) (3)解：设原拋物线向右平移m个单位， :平移后的拋物线解析式为y=(x-m)-5(x-m), 第8页共13页 高学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :平移后的拋物线解析式过点D3,-6), (3-m)2-5(3-m=-6,解得m=1,或m=0（舍去) :平移后的抛物线解析式为y=(x-1)2-5(x-1)=x2-7x+6, 当y=0时，x2-7x+6=0 解得：x1=1,x2=6, 当x=0时，y=6 .M1,0),N(6,0),, ①连接GD,作GD的垂直平分线交GN于点H, ∴.GH=DH, .∠HDG=∠DGN, .∠DHN=∠HDG+∠DGN=2∠DGN, 设直线GN的解析式为y=kx+6, :y=kx+6过点N(6,0), 6k+6=0,解得k=-1, :直线GN的解析式为y=-x+6, 设H(a,-a+6),则GH2=a2+(-a2=2a2,DH2=(a-3)2+(-a+6+6)2, 2a2=(a-3+(-a+122,解得a= 10 ·-a+6=-51 9 +6= 1010 第9页共13页 多学科网·上好课 www.zx×k.com 上好每一堂课 :H19） （10'10: DH= 10 ②过点D作DH=DH .∠DHN=∠DHN=2∠DGN D .DH2=(a-3)2+(-a+6+6)2= 51v2 10 解得：4-5L或a= 99 10 10 99 时， 99 39 当a= -a+6= +6=- 10 10 10 9939 :.H10 10 519）99 39 综上所述， 10'10 或 1010 (10分) 25.(10分) 【详解】(1)解：如图：记AB,DE的交点为K, C E A D :点C,E,B共线，∠AEC=90°， .∠AEB=90°， :AD=AE,AB=AB,∠ADB=90°， 第10页共13页 2026年重庆九年级适应性测试考前模拟卷【指标到校复习】 数学卷02 （全卷共24题，满分150分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷（选择题） 1、 选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1．的相反数为（   ） A．7 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义．根据只有符号不同的两个数互为相反数作答即可． 【详解】的相反数为7， 故选：A． 2．下列调查方式，你认为最合适的是（   ） A．调查一批冬枣的甜度情况，采用全面调查 B．调查一批小米汽车电池的使用寿命，采用全面调查 C．调查全市观众对电影《浪浪山小妖怪》的喜爱程度，采用抽样调查 D．调查歼战斗机的零部件质量，采用抽样调查 【答案】C 【分析】本题考查了全面调查和抽样调查，全面调查适用于对象数量少、非破坏性且要求精确的情况；抽样调查适用于对象数量多、破坏性调查或全面调查不现实的情况，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、调查冬枣甜度具有破坏性，不宜全面调查； 、调查电池使用寿命具有破坏性，不宜全面调查； 、全市观众数量大，全面调查困难，抽样调查合适； 、歼零部件质量要求高，必须全面检查以确保安全； 故选：． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂除法，积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式等内容，据此相关性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 4．反比例函数的图像一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，在反比例函数图象上的点的横纵坐标一定满足其解析式，故在反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积为负6，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函的图像一定经过的点是， 故选：D． 5．如图，用一些等边三角形“△”堆成“金字塔”图形，其中①中有3个“△”，②中有6个“△”，③中有10个“△”，······，按此规律排列下去，若第n个图形的“△”的个数为45个，则n的值为（    ）     A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，根据所给图形，依次求出图形中“△”的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 图①中“△”的个数为：； 图②中“△”的个数为：； 图③中“△”的个数为：； …， 所以图n中“△”的个数为：． 令， 解得（舍负）． 故选：B． 6．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质可得，由于，则． 【详解】解：根据题意得，四边形是的内接四边形，， 则 由于 则 故选：D． 7．某商品原价为元，经连续两次降价后售价为元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设平均每次降价的百分率为 x，那么第一次降价后的售价是原来的，那么第二次降价后的售价是原来的，根据题意列出方程即可． 【详解】解：根据题意可得两次降价后售价为， 方程为：， 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为：． 8．如图，和是以O为位似中心的位似图形，且，的周长是12，则的周长是（   ） A．4 B．6 C．36 D．24 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，由和是以为位似中心的位似图形得，,进而根据相似三角形的性质解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵和是以为位似中心的位似图形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴的周长的周长， 故选：C． 9．如图，在正方形中，点M为边上一点，，连接并延长，与的延长线交于点N，点F为边上一点，过点C作交于点E，作于点H，交于点G．若，，则的长为（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质与判定，可求出，则可求出，证明得到，，则可得到；设，则，，解直角三角形得到，则可求出，；证明，可得，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴可设， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10．已知整式M：，其中n为自然数，均为正整数，且．下列说法： ①当，，且为奇数时，则满足条件的所有整式M的和为 ②若且为偶数时，满足条件的所有整式M有且仅有8个； ③当时，满足条件的所有整式M有且仅有15个． 其中正确的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的规律类探索，理解题意后准确找出变化规律，并运用分类讨论的思想是解题的关键． 根据每个说法所给的条件，利用规律逐项讨论并判断即可解答． 【详解】解：①根据题意得，当时，没有比1小的正整数，不符合题意； 当时，或符合题意， ∴有整式的和为； ∴选项①正确，符合题意； ②当时，； 当时，或； 当时，或或或； 当时，或 或 ； 当时，； M有且仅有11个， ∴选项②错误，不符合题意； ③第一种情况：，当时，， ∴此时，整式有1个； 第二种情况：，当时，， 当时，， ∴此时，整式有2个； 第三种情况：，当时，， 当时，或， 当时，， ∴此时，整式有4个； 第四种情况：，当时，， 当时，或或， 当时，或或， 当时，， ∴此时，整式有8个； 第五种情况：，当时，， 当时，或或或， 当时，或或或或或， 当时，或或或， 当时，， ∴此时，整式有16个； ∴选项③错误，不符合题意； 正确的选项是①， 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题） 2、 填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11．据报道，2025年重庆中考报名人数约为358000人，其中数据358000用科学记数法表示为___． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 根据科学记数法作答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12．一只不透明的袋子中装有红球和白球共30个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球实验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是0.2，则袋中有_________个红球． 【答案】6 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】解：设袋中有x个红球，则， 解得． 故答案为：6． 13．已知a、b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b=___． 【答案】9 【详解】解∵16<17<25， ∴ ∴a=4，b=5． ∴a+b=9， 故答案为：9． 14．已知是方程的一个根，则 ______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，掌握相关知识是解决问题的关键．因为是方程的一个根，可得，整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 15．如图，的半径是2，是直径，点是延长线上一点，且，切于点，交于点，连接交于点，则_________，的面积是_________． 【答案】 【分析】连接，根据切线的性质，勾股定理以及正弦的定义等可求出，根据三角形外角的性质和圆周角定理可求出，根据平行线的性质求出，进而得出，根据垂径定理得出，根据可证明，得出，然后根据正弦和余弦的定义求出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴ ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴的面积是． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适的辅助线是解题的关键． 16．一个四位数，各数位上的数字互不相等且均不为0，若将的千位数字和百位数字组成的两位数与的十位数字和个位数字组成的两位数相加，和为完全平方数，则称这个四位数为“方数”．例如：四位数4816，，是“方数”，则最大的“方数”是__________，若是一个“方数”，且是整数，则满足条件的的最大值与最小值的差是________． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方数，整式的加减，二元一次方程组的解，整除；根据题意最大的方数前两位为，再找，根据，求得最大的“方数”；根据①各数位上的数字互不相等且均不为0；②是的倍数，③是一个完全平方数，得出，进而找到最大的和最小的，即可求解． 【详解】解：∵是一个“方数”， ∴是一个完全平方数， 又∵各数位上的数字互不相等且均不为0， ∴，， ∴， ∴的取值可能是169，144，121，100，81，64，49， ①寻找最大方数： 当时，则，， 当时，取最大值，，，， ， ∴是最大的“方数”； ②∵是整数， ∴ 是的倍数， ∴是的倍数， I.当时，,， 此时，，，不是的倍数， ∴当时，没有满足条件的值； II.当时，，或， 当，时，取最大值，取最大值时，，，此时是的倍数，则为， 当，时，取最大值，，此时不是的倍数，没有满足条件的值， III. 当时，，， 当取最大值时，，，此时不是的倍数，没有满足条件的值， 当取最小值2时，，此时也没有满足条件的值， IV.当时，，，当最大值不能为，此时符合条件数不可能是最大值，以后几种情况同理， 当取最小值1时，，此时不是的倍数，没有满足条件的值， 当取最小值2时，，此时不是的倍数，没有满足条件的值， 当取最小值3时，，此时是的倍数，取最小值时，，则为， V.当时，，， 当取最小值1时，，此时不是的倍数，没有满足条件的值， 当取最小值2时，，此时是的倍数，取最小值时，，则为， VI.当时，，或，， 当取最小值1时，，此时没有满足条件、，即没有满足条件的值， 当取最小值1时，，此时不是的倍数，即没有满足条件的值， 当取最小值2时，，此时不是的倍数，即没有满足条件的值， 当取最小值2时，，此时是的倍数，取最小值时，，则为， VII.当时，，， 则当取最小值1时，，此时不是的倍数，即没有满足条件的值， 综上所述：满足条件的最大值与最小值分别为、， ∴满足条件的最大值与最小值的差是， 故答案为：，． 三、解答题：（本大题共8个小题，17题和18题每小题8分，19-25题每小题10分，共86分） 17．求不等式组：的所有整数解． 【答案】 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，从而可得出不等式组的整数解即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为 ∴原不等式组的所有整数解是． 18．如图，小李在中考数学复习中，做了如下探究：在平行四边形中，对角线相交于点O，E为上一点，连接． (1)用直尺和圆规完成以下基本操作：过点C作的平行线，交于点F，连接；（不写作法，只保留作图痕迹） (2)求证：四边形为平行四边形． 证明：∵四边形为平行四边形， ①_______ ②_______ 在和中， ③_______ 四边形为平行四边形． 从以上探究过程中，小李进一步发现：若四边形为菱形，E为延长线上一点，连接，再过点C作直线的平行线，交延长线于点F，连接，则四边形的形状为④_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作，交于点F，连接即可； （2）根据平行四边形的性质得到，再由，得到，利用证明，得到即可证明；画出示意图，同理证明，得到，结合菱形的性质得到，即可得到四边形是菱形． 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）证明：∵四边形为平行四边形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形为平行四边形． 如图，四边形是菱形， ∵四边形为菱形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ∴四边形是菱形， ∴四边形的形状为菱形． 【点睛】本题考查尺规作图法作出和已知角相等的角，平行线的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质及菱形的性质是解题的关键． 19．为进一步营造良好的通信科技人才成长环境，提升信息科技素养，培养科技创新后备人才，某学校开展了以“青少年通信科技创新大赛”为主题的科技系列活动，初赛采用标准试题线上答题．其中该校对七、八年级学生进行了初赛测试，现从七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A：；B：；C：；D：），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的成绩是：63，72，76，82，82，86，86，86，97，100 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：84，86，82，87，87． 七、八年级抽取的学生成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 83 83 中位数 84 a 众数 b 87 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 请根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)根据以上数据，你认为哪个年级学生的初赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有480人、八年级有560人参加了此次初赛测试，请估计两个年级参加初赛测试的成绩不低于90分的共有多少人． 【答案】(1)86.5，86，30 (2)八年级学生的初赛成绩更好，理由见解析 (3)264 【详解】（1）解：八年级抽取的学生成绩， 在组的人数为：（人）， 在组的人数为：（人）， 在组的人数为：（人）， ∴，解得：； 八年级抽取的学生成绩的中位数就是排序后第5和第6个成绩的平均数，它们分别是86和87， ∴八年级抽取的学生成绩的中位数为：（分）； 七年级抽取的学生成绩中，86分出现3次，次数最多， ∴七年级抽取的学生成绩的众数是（分）， 故答案为：86.5，86，30； （2）解：八年级学生的初赛成绩更好，理由是：两个年级的平均数都是83分，但八年级初赛成绩的中位数86.5分大于七年级初赛成绩的中位数84分；（答案不唯一） （3）解：（人） 答：估计两个年级参加初赛测试的成绩不低于90分的共有264人． 20．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，掌握负整数指数幂、零指数幂的运算是解题关键． 先化简原式，再计算的值，最后代入求值． 【详解】解：原式 = =， = = =， 将代入原式，得原式． 21．某中学正值100周年校庆，该校准备制作一批纪念品，经过招标比选等正规程序，该校最终找到了满意的生产厂家，今年3月初，厂家提供第一批纪念品，学校花了3300元；三月中旬，厂家提供第二批纪念品，学校花了4000元，已知厂家生产第二批纪念品时，改进了技术，降低了成本，单价随之降低，第一批纪念品的单价是第二批单价的1.1倍，且第二批纪念品比第一批纪念品多25个． (1)求第二批纪念品的单价； (2)两批纪念品送达该校后，受到该校师生的青睐，学校准备再定制一批，经和商家协商，在第二批纪念品的基础上，若每多预定10个，单价降低1元，由于成本原因，纪念品单价不得低于25元，学校经过测算，随即和厂家签订第三批纪念品的订单，共计6240元，求第三批纪念品的个数． 【答案】(1)第二批纪念品的单价为40元 (2)240个 【详解】（1）解：设第二批纪念品的单价为x元，则第一批纪念品的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验得是原方程的解， 答：第二批纪念品的单价为40元； （2）解：购进第二批纪念品的数量为（个）， 设定制第三批纪念品的数量为y个，则单价为元， 根据题意，得， 解得，， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意，舍去， 答：定制第三批纪念品的数量为240个． 22．如图，矩形中，，，点E为边的中点，点F为边上的三等分点，动点P从点A出发，沿折线运动，到C点停止运动.点P的运动速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为x秒，的面积为y.      (1)请直接写出y关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图像，直接写出当直线与该函数图象有两个交点时，b的取值范围. 【答案】(1) (2)图象见解析；当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小；（答案不唯一） (3) 【详解】（1）在矩形中，，， ∵点E为边的中点，点F为边上的三等分点， ∴，， 当点P在上时，则则，即， 此时， ∴的面积 ； 当点P在上时，即时，如图， 则， ∴的面积 ； ∴ （2）函数图象如图所示， 当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小； （3）当直线经过点时，，则， 当直线经过点时，，则， 结合图象可知，直线与该函数图象有两个交点时，b的取值范围是. 23．某校组织初三学生到张家界国家森林公园开展研学旅行，同学们来到入口A观测到山顶D在仰角的地方（学生身高忽略不计），然后水平前行了27米，到达一个岔路口B处，从这里上山有两条路线．路线一：沿着一个坡度的斜坡步行到索道口C，然后乘坐一条长500米，且与水平线夹角为的索道上山；路线二：继续沿水平路线前行到山脚E，然后乘坐山体电梯直达山顶D（山体电梯与水平地面垂直）．（参考数据：，，，，） (1)求山顶D离水平地面的高度为多少米？（结果精确到1米） (2)若师生的步行速度为50米分，索道的运行速度为70米分，山体电梯的运行速度为180米分．张老师带领部分同学选择路线一，李老师带领另一部分同学选择路线二，两队从B点一起出发，请问哪个队伍先到山顶？（结果精确到个位） 【答案】(1) (2)张老师所带队伍先到山顶 【详解】（1）解：如图，设过点的水平线交于点，过点作于点， 则四边形为矩形， ； 设米， ， （米）， 在中， （米）， （米）， 米， 米， 米， 米， ，， ， ， ， 即：， 解得：（米）， （米）， 答：山顶离水平地面的高度约为米； （2）解：由（1）可知：米， 米， （米）， （米）， 路线一所需时间（分钟）， 路线二所需时间（分钟）， ， 选择线路一的队伍先到山顶， 答：张老师带领部分同学选择路线一先到山顶． 24．如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．求面积的最大值，及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）问条件下，将原抛物线向右平移，再次经过（2）问条件下的点时，新抛物线与轴交于点，（在左侧），与轴交于点，点为新抛物线上的一点，连接，并延长交直线于点，使得，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，点的坐标为； (3)或 【详解】（1）解：抛物线与直线交于点， ，解得， 抛物线为； （2）解：设直线的解析式为， 过点点， ，解得， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为， 当时，，解得，， ， ，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， 过点作交于点，记交于点，设直线交轴于点，则    ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ， ， 即， ，轴交直线于点， ， ， 即为等腰直角三角形， ， ， ， 当时，面积的最大值为，，则点的坐标为； （3）解：设原拋物线向右平移个单位， 平移后的拋物线解析式为， 平移后的拋物线解析式过点， ，解得，或（舍去） 平移后的拋物线解析式为， 当时， 解得：， 当时， ∴，，， ①连接，作的垂直平分线交于点，    ∴， ， ， 设直线的解析式为， 过点， ，解得， 直线的解析式为， 设，则，， ，解得， ∴ ， ∴ ②过点作 ∴    ∴ 解得：或 当时， ∴ 综上所述，或． 25．已知，与均为直角三角形，． (1)如图1，若点共线，连接，且，求的长； (2)如图2，若，连接，并延长交于点，，猜想与的数量关系并证明； (3)如图3，，连接，点，点分别为与的中点，连接，记的最大值为的最小值为，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：如图：记，的交点为， ∵点共线，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴，， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下， 证明：延长至点，使得，连接， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵, ∴， ∴， 设， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可求：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：取中点为点，链接， ∵点，点分别为与的中点， ∴， 在中，有， ∴的最大值为，最小值为， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 即：， ∴， ∴， 即， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $