第6章 §6 6.1 柱锥台的侧面展开与面积（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦柱、锥、台的侧面展开与面积，从展开图入手推导侧面积公式，通过退化关系衔接圆柱、圆锥、圆台公式，构建知识支架，帮助学生梳理前后知识脉络。 其亮点在于以展开图转化空间问题培养数学眼光，通过公式逻辑关系发展数学思维，结合正四棱锥计算、圆台最短路径等典例强化数学语言表达。学生提升空间观念与应用能力，教师可高效把握重难点。

§6　简单几何体的再认识 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 　柱体、锥体、台体的面积 必备知识 清单破 知识点 1.圆柱、圆锥、圆台的面积 侧面展开图 侧面展开图的形状 面积公式 圆 柱   矩形 S底=πr2 S圆柱侧=2πrl S圆柱表=2πr(r+l) 第六章　立体几何初步 高中同步 圆 锥 扇形 S底=πr2 S圆锥侧=πrl S圆锥表=πr(r+l) 圆 台 扇环 S上底面=π  S下底面=π  S圆台侧=π(r1+r2)l  S圆台表=π( + + r1l+r2l) 　　其中r为圆柱、圆锥底面半径,r1,r2分别为圆台上、下底面半径,l为母线的长. 第六章　立体几何初步 高中同步 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系   　　其中r1,r2分别为圆台的上、下底面半径,l为母线的长,r为圆柱或圆锥的底面半径. 第六章　立体几何初步 高中同步 3.直棱柱、正棱锥、正棱台的面积 侧面展开图 面积公式 直棱柱   S直棱柱侧=ch(其中c为底面周长,h为高) 正棱锥   S正棱锥侧=     ch'(其中c为底面周长,h'为斜高) 正棱台   S正棱台侧=     (c1+c2)h'(其中c1,c2分别为上、下底面周长,h'为斜高) 第六章　立体几何初步 高中同步 特别提醒 (1)长方体是特殊的直棱柱,其6个面均为矩形,且各条棱均垂直于一组相对的面,设长方体的 长、宽、高分别为a,b,c,则长方体的表面积S=2(ab+bc+ac). (2)正方体的表面积S=6a2(a为正方体的棱长). (3)斜棱柱的侧面积等于各个侧面的面积之和,也等于其直截面(与各侧棱垂直且均相交的截 面)的周长与侧棱长的乘积. 第六章　立体几何初步 高中同步 知识辨析 1.棱台的侧面展开图一定是由若干个等腰梯形组成的吗? 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是它们的表面积吗?把各个面的面积加起来,就 得到多面体的表面积吗? 3.沿不同的棱将多面体展开,得到的展开图相同吗?展开图的面积是否相等? 4.若一个棱柱的底面周长为c,侧棱长为l,那么三棱柱的侧面积为cl吗? 第六章　立体几何初步 高中同步 一语破的 1.不一定.棱台的侧面不一定是等腰梯形,只有正棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成 的. 2.不是,是.侧面展开图的面积叫侧面积,而表面积等于侧面积与底面积之和. 3.不一定相同,相等.各面全等的多面体,沿不同的棱展开后,得到的展开图相同,其他情况下一 般不相同.虽然展开方式可能不同,但展开图的面积总是相等的. 4.不一定.若此三棱柱为直三棱柱,则其侧面积是cl,若是斜棱柱,则其侧面积不是cl. 第六章　立体几何初步 高中同步 关键能力 定点破 　柱、锥、台的面积的计算  定点 1 1.求柱体、锥体、台体的表面积,先计算侧面积与底面积,再求和即可. 　　对于棱台和棱锥,计算侧面积时,要注意利用底面内的线段、高、斜高、侧棱构造直角 三角形、直角梯形.对于圆柱、圆锥、圆台,求表面积时要熟悉其几何特征及侧面展开图的 特征. 2.求组合体的表面积时,首先应弄清它的组合方式,其表面由哪些面构成,再根据公式求出各 面的面积,最后相加或相减即可.涉及与旋转体有关的组合体的表面积,一般考虑利用轴截面 求解.当组合体为不规则几何体时,通常用割补法将其转化成规则的几何体来求解. 第六章　立体几何初步 高中同步 典例1 已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm,高与斜高的夹角为30°,求正四棱锥的侧面积 和表面积. 解析    如图,在正四棱锥P-ABCD中,易知高PO,斜高PE,底面边心距OE组成Rt△POE. 由已知得OE=2 cm,∠OPE=30°, ∴PE= =4 cm. 因此S侧=4× ×BC×PE=4× ×4×4=32(cm2),S底=4×4=16(cm2), ∴S表=S侧+S底=32+16=48(cm2). 第六章　立体几何初步 高中同步 典例2 已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=a,BC=2a,∠DCB=60°,在平面ABCD内,过C 作直线l∥AB,以l为轴将梯形ABCD旋转一周,求此旋转体的表面积. 解析    如图所示,该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的.   在直角梯形ABCD中,AD=a,BC=2a,∠DCB=60°, 所以AB=(2a-a)tan 60°= a,DC= =2a,易得DD'=2a, 所以S表=S圆柱表+S圆锥侧-S圆锥底=2π·2a· a+2π·(2a)2+π·a·2a-πa2=(9+4 )πa2. 第六章　立体几何初步 高中同步 解题方法 求组合体的表面积的三个基本步骤: (1)明确它是由哪些基本几何体构成的,组成形式是什么; (2)根据组合体的组成形式设计计算思路; (3)根据公式计算求值. 第六章　立体几何初步 高中同步 　与几何体展开图有关的最短路径问题  　　将空间图形转化为平面图形,是解决立体几何问题最基本、最常用的方法.立体图形表 面上两点之间的最短路径问题常通过把立体图形转化为平面图形,运用“两点之间,线段最 短”来解决. 化“曲”为“直”的一般步骤: (1)将几何体的表面沿着某些棱(或母线)剪开后展开,得到其展开图; (2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题; (3)结合已知条件求得结果. 定点 2 第六章　立体几何初步 高中同步 典例1 如图,正三棱柱ABC-A'B'C'的底面边长为 ,高为2,一只蚂蚁要从顶点A沿三棱柱的表 面爬到顶点C',若侧面AA'C'C紧贴墙面(不能通行),则蚂蚁爬行的最短路程是　　    (　    )   A. 　　　    B.2+ 　　　    C.4　　　    D. +  A 第六章　立体几何初步 高中同步 解析    将侧面ABB'A'与BCC'B'展开,如图①, 连接AC',则AC'= =4.            图①　　　　　　　图② 将侧面ABB'A'与上底面A'C'B'展开,如图②,连接AC', 则AC'= = , 又 <4,所以蚂蚁爬行的最短路程是 . 第六章　立体几何初步 高中同步 典例2 如图,圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm,母线长AB=20 cm,从圆台母线AB的中 点M拉一条绳子并绕圆台侧面转到点A. (1)求绳子的最短长度; (2)当绳子最短时,求上底面圆周上的点到绳子的最短距离.   第六章　立体几何初步 高中同步 解析    (1)如图,画出圆台的侧面展开图,并延长AB,A'B'交于点O,则绳子的最短长度为侧面展 开图中AM的长度. ∵圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm, ∴ = , 又母线长AB=20 cm,M为AB的中点, ∴OB=20 cm, ∴OA=40 cm,OM=30 cm. 设∠BOB'=n°, 由2×5π= ,解得n=90, ∴AM= =50(cm), 第六章　立体几何初步 高中同步 即绳子的最短长度为50 cm.   (2)过点O作OQ⊥AM于点Q,交 于点P,则PQ的长度为所求的最短距离. 易知△AQO∽△AOM, ∴ = ,即 = ,∴OQ=24 cm, ∴PQ=24-20=4(cm), 即当绳子最短时,上底面圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm. 第六章　立体几何初步 高中同步 $