第6章 §5 5.1 直线与平面垂直（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦直线与平面垂直的定义、判定定理、性质定理及直线与平面的夹角，通过从定义到判定、性质的逻辑递进，结合知识拓展与辨析，构建系统的立体几何学习支架。 其亮点在于融合文字、图形、符号语言精准表述概念，通过典例解析培养逻辑推理（数学思维），知识辨析题引导学生用数学眼光观察空间关系。学生能系统掌握证明方法，教师可借助资料提升教学效率。

§5　垂直关系 5.1　直线与平面垂直 　直线与平面垂直的定义 必备知识 清单破 知识点 1 文字语言 图形语言 符号语言 如果直线l与平面α内的任何 一条直线都垂直,那么称直线 l与平面α垂直,记作l⊥α.直线 l称为平面α的垂线,平面α称 为直线l的垂面,它们唯一的 公共点P称为垂足   l⊥α⇔ ∀m⊂α, l⊥m 第六章　立体几何初步 高中同步 　直线与平面垂直的性质定理 知识点 2 文字语言 图形语言 符号语言 垂直于同一个平面的两条直 线平行    ⇒a∥b 第六章　立体几何初步 高中同步 知识拓展 1.两个与线面垂直有关的结论: (1)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直. (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. 2.平行关系与垂直关系之间的相互转化: 第六章　立体几何初步 高中同步 　直线到平面的距离 如果一条直线与平面平行,那么这条直线上任意一点到平面的距离就是这条直线到这个平面 的距离. 知识点 3 第六章　立体几何初步 高中同步 　直线与平面的夹角 知识点 4 1.相关定义 如图,一条直线与一个平面α相交,但不与这个平面垂直,这条直线称为这个平面的斜线,斜线 与平面的交点A称为斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面作垂线,过垂足O和斜足A的直线 AO称为斜线在这个平面上的投影.平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角,叫作这 条直线与这个平面的夹角. 2.范围:直线与平面的夹角θ的取值范围为0°≤θ≤90°.特别地,(1)当一条直线垂直于平面时,我 们说它们的夹角是直角;(2)当一条直线与平面平行,或在平面内时,就说它们的夹角是0°. 第六章　立体几何初步 高中同步 　直线与平面垂直的判定定理 知识点 5 文字语言 图形语言 符号语言 如果一条直线与一个平面内 的两条相交直线垂直,那么该 直线与此平面垂直     ⇒l⊥α     第六章　立体几何初步 高中同步 知识辨析 1.若一条直线垂直于一个平面,则这个直线与这个平面内的直线的位置关系如何? 2.若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也一定垂直于这个平面吗? 3.若m⊥n,n∥α,则可以断定m⊥α吗? 4.若m,n与α所成的角相等,则m与n一定平行吗? 5.若一直线与两平面所成的角都相等,则这两平面平行吗? 6.当直线平行于平面时,这条直线上存在不同两点,它们到这个平面的距离不相等,这种说法 对吗? 第六章　立体几何初步 高中同步 一语破的 1.垂直.可能是共面垂直,也可能是异面垂直. 2.一定. 3.不可以.m和α可能垂直,可能斜交,也可能平行. 4.不一定.m与n可能平行、相交或异面.例如,圆锥的母线与底面所成的角都相等,但这些母线 相交. 5.不一定.这两个平面可能平行,也可能相交. 6.不对.若直线与平面平行,则直线上任意一点到这个平面的距离都相等. 第六章　立体几何初步 高中同步 关键能力 定点破 　直线与平面垂直的判定  定点 1 1.证明直线与平面垂直的常用方法 (1)利用直线与平面垂直的定义,即证明直线a垂直于平面α内的任意一条直线,从而得到直线a 垂直于平面α(一般不易验证任意性); (2)利用直线与平面垂直的判定定理,即如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那 么该直线与此平面垂直,简记为“线线垂直⇒线面垂直”(a⊥b,a⊥c,b⊂α,c⊂α,b∩c=M⇒a ⊥α); (3)利用平行线与平面垂直的传递性,即如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那 么另一条直线也垂直于这个平面(a∥b,b⊥α⇒a⊥α); (4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面(a⊥α,α∥β ⇒a⊥β). 第六章　立体几何初步 高中同步 2.利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤 (1)在这个平面内找两条直线,使已知直线和这两条直线垂直; (2)确定找到的这两条直线是相交直线; (3)根据判定定理得出结论. 3.证明线面垂直常转化为证明线线垂直,而证明线线垂直常见的方法如下: (1)利用勾股定理的逆定理证明,即在△ABC中,若AB2+BC2=AC2,则AB⊥BC; (2)利用等腰三角形三线合一证明,即在△ABC中,AB=AC,E为BC边的中点,则AE⊥BC; (3)利用菱形的对角线互相垂直的性质证明; (4)利用线面垂直的定义证明,即a⊥α,b⊂α,则a⊥b; (5)利用平行转化,即a∥b,b⊥c,则a⊥c. 第六章　立体几何初步 高中同步 典例1 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC, E是PC的中点.求证: (1)CD⊥AE; (2)PD⊥平面ABE.   第六章　立体几何初步 高中同步 证明    (1)在四棱锥P-ABCD中, ∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD, ∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC, ∴CD⊥平面PAC. ∵AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE. (2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°, 可得AC=PA. ∵E是PC的中点,∴AE⊥PC. 由(1)知,AE⊥CD, ∵PC∩CD=C,PC,CD⊂平面PCD, 第六章　立体几何初步 高中同步 ∴AE⊥平面PCD. 又PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥AB, 又∵AB⊥AD,AD∩PA=A,AD,PA⊂平面PAD, ∴AB⊥平面PAD, ∵PD⊂平面PAD,∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE=A,AB,AE⊂平面ABE, ∴PD⊥平面ABE. 第六章　立体几何初步 高中同步 典例2 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD=AD,E是PB的中点,F是CD 上的点且DF= AB,PH为△PAD的边AD上的高. (1)证明:PH⊥平面ABCD; (2)证明:EF⊥平面PAB.   第六章　立体几何初步 高中同步 证明     (1)因为AB⊥平面PAD,PH⊂平面PAD,所以PH⊥AB. 因为PH为△PAD的边AD上的高,所以PH⊥AD. 因为AB∩AD=A,AB,AD⊂平面ABCD, 所以PH⊥平面ABCD. (2)如图,取PA的中点M,连接MD,ME.   因为E是PB的中点, 第六章　立体几何初步 高中同步 所以ME= AB,且ME∥AB. 又因为DF= AB,且DF∥AB, 所以ME∥DF,且ME=DF, 所以四边形MEFD是平行四边形, 所以EF∥MD. 因为PD=AD,M为PA的中点,所以MD⊥PA. 因为AB⊥平面PAD,MD⊂平面PAD, 所以MD⊥AB. 又PA∩AB=A,PA⊂平面PAB,AB⊂平面PAB, 所以MD⊥平面PAB, 所以EF⊥平面PAB. 第六章　立体几何初步 高中同步 　直线与平面的夹角  求直线与平面的夹角的步骤 (1)作角: ①作垂线:过斜线上一点(不是斜足)作平面的垂线; ②作投影:由垂足和斜足确定投影; ③得平面角:斜线与它在平面上的投影所成的锐角即为所求,即将空间角(斜线与平面的夹角) 转化为平面角(两条相交直线的夹角). (2)证明:证明某平面角就是斜线与平面的夹角,关键是证垂直. (3)计算:通常在垂线段、斜线和投影所构成的直角三角形中计算. 定点 2 第六章　立体几何初步 高中同步 典例 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是A1B1的中点,求直线AE与平面ABC1D1的夹角 的正弦值.   第六章　立体几何初步 高中同步 解析    如图,取CD的中点F,连接EF交平面ABC1D1于点O,连接AO,B1C.   易得B1C⊥BC1,B1C⊥D1C1, 又BC1∩D1C1=C1,BC1⊂平面ABC1D1,D1C1⊂平面ABC1D1,∴B1C⊥平面ABC1D1. 由E,F分别为A1B1,CD的中点,易得EF∥B1C,∴EF⊥平面ABC1D1, ∴∠EAO为直线AE与平面ABC1D1的夹角. 在Rt△EOA中,EO= EF= B1C= , 第六章　立体几何初步 高中同步 AE= = = , ∴sin∠EAO= = , ∴直线AE与平面ABC1D1的夹角的正弦值为 . 第六章　立体几何初步 高中同步 $