第6章 §1 基本立体图形（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦立体几何初步，涵盖空间几何体构成、平面概念、棱柱棱锥棱台等多面体及球圆柱等旋转体，从生活实物抽象出平面，逐步过渡到几何体定义性质，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于通过知识辨析（如棱柱概念辨析）、截面探究（正方体截面形状）培养数学思维，结合典例（正棱锥计算、球的截面问题）运用数学语言解决问题，帮助学生发展空间观念与推理能力，教师可依托结构化内容提升教学效率。

§1　基本立体图形 空间几何体的构成 必备知识 清单破 知识点 1 1.空间几何体的基本元素 构成空间几何体的基本几何元素是点、线(直线和曲线)、面(平面和曲面)等. 第六章　立体几何初步 高中同步 2.长方体 面 由六个面围成,每个面都是矩形(包括它的内部) 棱 相邻两个面的公共边 顶点 棱和棱的公共点 基本元素 长方体有6个面、12条棱、8个顶点 第六章　立体几何初步 高中同步 3.平面的概念及表示 概念 由生活中的实物(平整的桌面、平静的湖面等)抽象出来的处处平直的面 特性 无限延展性,可以将空间一分为二;没有厚度、大小;没有面积、体积、质量,且不可度量 表示 (1)用希腊字母表示,如平面α、平面β、平面γ;(2)用表示平行四边形顶点的字母表示,如平面ABCD;(3)用表示平行四边形两个相对顶点的字母表示,如平面AC   第六章　立体几何初步 高中同步 画法 (1)通常用一个锐角为45°,横边长为其邻边长的两倍的平行四边形表示水平放置的平面,如图①; (2)当两个平面相交时,把被遮挡的部分画成虚线或不画,如图②③ 第六章　立体几何初步 高中同步 简单多面体——棱柱、棱锥、棱台 知识点 2 1.多面体的概念 由平面多边形围成的几何体,称为多面体.这些多边形称为多面体的面,两个相邻的面的公共 边称为多面体的棱,棱与棱的公共点称为多面体的顶点. 第六章　立体几何初步 高中同步 2.棱柱、棱锥、棱台 名称 棱柱 棱锥 棱台 定义 有两个面是边数相同的多边形,且它们所在平面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行,由这些面围成的几何体称为棱柱 有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体称为棱锥 用一个平行于底面的平面去截棱锥,截面与底面之间的部分称为棱台 第六章　立体几何初步 高中同步 图形表示及相应名称 棱柱ABCDE-A'B'C'D'E'(或棱柱AC') 棱锥S-ABCD(或棱锥S-AC) 棱台ABC-A'B'C' 第六章　立体几何初步 高中同步 性质 (1)侧棱都相等;(2)两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形;(3)过不相邻两条侧棱的截面都是平行四边形 如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么截面和底面相似 分类 按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 按底面多边形的边数分为三棱锥(四面体)、四棱锥、五棱锥…… 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……所截得的棱台,分别 称为三棱台、四棱台、五棱台…… 第六章　立体几何初步 高中同步 3.特殊几何体 (1)特殊棱柱:①直棱柱:侧棱与底面垂直的棱柱(侧面平行四边形都是矩形的棱柱). ②正棱柱:底面是正多边形的直棱柱. ③平行六面体:底面是平行四边形的棱柱. (2)正棱锥:如果棱锥的底面是正多边形,且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上,那 么这个棱锥称为正棱锥.正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形,这些等腰三角形底边上的高 都相等,称为正棱锥的斜高. (3)正棱台:由正棱锥截得的棱台称为正棱台.正棱台各侧面都是全等的等腰梯形,这些等腰梯 形的高称为正棱台的斜高. 第六章　立体几何初步 高中同步 知识拓展 几种特殊的四棱柱及其关系: 第六章　立体几何初步 高中同步 　简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台 知识点 3 1.旋转体的概念 一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转一周所形成的曲面称为旋转面,封闭的 旋转面围成的几何体称为旋转体. 第六章　立体几何初步 高中同步 2.球、圆柱、圆锥和圆台 名称 定义 图形表示 性质 球 以半圆的直径所在的 直线为旋转轴,将半 圆旋转一周所形成的 曲面称为球面.球面 所围成的几何体称为 球体,简称球   球O (1)球面上所有的点 到球心的距离都等于 球的半径; (2)用任何一个平面 去截球面,得到的截 面都是圆,其中过球 心的平面截球面得到 的圆的半径最大,等 于球的半径 第六章　立体几何初步 高中同步 圆柱 以矩形的一边所在的 直线为旋转轴,其余 各边旋转一周而形成 的面所围成的几何体 称为圆柱   平行于圆柱底面的截 面是圆,过圆柱旋转 轴的截面是全等的矩 形 圆锥 以直角三角形的一条 直角边所在的直线为 旋转轴,其余各边旋 转一周而形成的面所 围成的几何体称为圆 锥   平行于圆锥底面的截 面是圆,过圆锥旋转 轴的截面是等腰三角 形 第六章　立体几何初步 高中同步 圆台 以直角梯形垂直于底 边的腰所在的直线为 旋转轴,其余各边旋 转一周而形成的面所 围成的几何体称为圆 台,也可以看作用平 行于圆锥底面的平面 截圆锥得到的   平行于圆台底面的截 面是圆,过圆台旋转 轴的截面是等腰梯形 第六章　立体几何初步 高中同步 知识辨析 1.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗? 2.各个面都是三角形的几何体一定是棱锥吗? 3.存在每个面都是直角三角形的四面体吗? 4.球与球面有什么区别? 5.圆台上底面圆周上任意一点与下底面圆周上任意一点的连线就是圆台的母线吗? 第六章　立体几何初步 高中同步 一语破的 1.不一定.如图,该几何体有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形,但该几何体不是棱柱.        2.不一定.如图,该几何体各个面都是三角形,但该几何体不是棱锥. 第六章　立体几何初步 高中同步 3.存在.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,三棱锥C1-ABC的四个面都是直角三角形.   4.球是球体的简称,是一个几何体,是“实心”的.而球面只是球的表面(“外壳”),球面可定 义为“半圆弧绕其直径所在直线旋转一周所形成的曲面”.从集合观点来看,球可看作空间 中与一个定点的距离小于或等于定长的点的集合,这个定点就是球心,定长就是球的半径.而 球面可看作空间中与一个定点的距离等于定长的点的集合. 第六章　立体几何初步 高中同步 5.错误.用经过圆台的轴的平面截圆台得到的等腰梯形的腰才是圆台的母线.如图,PP1,QQ1是 母线,而PB不是母线.   第六章　立体几何初步 高中同步 关键能力 定点破 　多面体的截面  用一个平面去截多面体,此平面与多面体的交集,称为这个多面体的截面,此平面与多面体表 面的交集(交线)称为截线,此平面与多面体棱的交集(交点)称为截点. 定点 1 1.正方体的截面 正方体的截面有以下四种类型: (1)三角形:如图①②③. (2)四边形:如图④⑤⑥⑦⑧. (3)五边形:如图⑨. (4)六边形:如图⑩ . 第六章　立体几何初步 高中同步   第六章　立体几何初步 高中同步   第六章　立体几何初步 高中同步 2.作截面的步骤 一是确定截面与多面体的哪些棱相交;二是找到截面与多面体的这些棱的交点;三是将所得 的交点依次连接起来,画出截面. 第六章　立体几何初步 高中同步 典例 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,那么过P,Q,R三点的截面图 形是 (　    ) A.三角形　　　    B.四边形　　　     C.五边形　　　    D.六边形 D 思路点拨    结合正方体的特征,利用中点找截点,然后将所有截点顺次连接,形成截线,即得正 方体的截面. 解析    如图,分别取C1D1,B1B,D1D的中点H,M,N,连接HR,RM,MP,PQ,QN,NH,则面HNQPMR就 是所求截面,它是正六边形. 第六章　立体几何初步 高中同步 　几何体中基本量的计算  定点 2 1.正棱锥中的直角三角形的应用 如图,以正四棱锥P-ABCD为例,其高为PO,底面为正方形ABCD,作PE⊥CD于E,则PE为斜高.   (1)斜高、侧棱、底面一边的一半可构成直角三角形,如图中Rt△PEC. (2)斜高、高、边心距可构成直角三角形,如图中Rt△POE. (3)侧棱、高、底面对角线的一半可构成直角三角形,如图中Rt△POC. 第六章　立体几何初步 高中同步 2.正棱台中的直角梯形的应用 如图,以正四棱台ABCD-A1B1C1D1为例,O1,O分别为上、下底面的中心,作O1E1⊥B1C1于E1,OE ⊥BC于E,则E1E为斜高.   (1)斜高、侧棱及上、下底面一边的一半可构成直角梯形,如图中梯形E1ECC1. (2)斜高、高及上、下底面的边心距可构成直角梯形,如图中梯形O1E1EO. (3)高、侧棱及上、下底面对角线的一半可构成直角梯形,如图中梯形O1OCC1. 第六章　立体几何初步 高中同步 3.解决圆柱、圆锥、圆台中的计算问题,一般需结合它的形成过程,分清轴、母线、底面半径 和旋转前平面图形的相关量之间的关系.还可以发挥轴截面的作用,把轴截面从旋转体中分 离出来,在平面图形中解决立体问题. 第六章　立体几何初步 高中同步 典例1 一个圆台的母线长为12 cm,两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求: (1)圆台的高; (2)截得此圆台的圆锥的母线长. 思路点拨    作出轴截面,依据勾股定理及相似三角形知识即可求解. 第六章　立体几何初步 高中同步 解析    (1)如图,圆台的轴截面是等腰梯形ABCD,由已知可得上底面半径O1A=2 cm,下底面半 径OB=5 cm, 又腰长AB=12 cm, 所以高AM= =3 (cm). 所以圆台的高为3  cm.   (2)设截得此圆台的圆锥SO的母线长为l cm,则由△SAO1∽△SBO,可得 = ,即 = , 解得l=20. 故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm. 第六章　立体几何初步 高中同步 典例2 如图所示,正三棱锥P-ABC的底面边长为a,高PO为h,求侧棱PA和斜高PD的长.   第六章　立体几何初步 高中同步 解析    如图,连接AD,则点O在AD上.   ∵正三棱锥P-ABC的底面边长为a,O为△ABC的中心,∴OA= a,OD= a. 在Rt△POA中,根据勾股定理,得PA= = = . 在Rt△POD中,根据勾股定理,得PD= = = . ∴正三棱锥的侧棱PA的长为 ,斜高PD的长为 . 第六章　立体几何初步 高中同步 　球的截面问题  　　一般情况下,在球的截面问题中,明确截面圆的半径、球心到截面的距离与球的半径之 间的数量关系是解决有关计算问题的基础.球的轴截面(过球的直径的截面)是将球的问题(立 体问题)转化为圆的问题(平面问题)的关键.截面圆的半径r、球心到截面的距离d、球的半径 R之间的数量关系是R2=r2+d2.   定点 3 第六章　立体几何初步 高中同步 典例 已知球的两个平行截面的面积分别为5π,8π,它们位于球心的同一侧,且距离为1,求这个 球的半径. 解析    设这个球的半径为R,两个截面圆的半径分别为r1,r2,球心O到较小截面圆的距离为d1, 到较大截面圆的距离为d2,且r1<r2. 作出球的轴截面如图所示,   ∵两个平行截面的面积分别为5π,8π, ∴r1= ,r2=2 ,d1= ,d2= , ∴d1-d2= - =1,∴R2=9, ∴R=3,即球的半径为3. 第六章　立体几何初步 高中同步 $