第4章 三角恒等变换 综合拔高练（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（北师大版）

综合拔高练 高考真题练 考点1　利用三角恒等变换解决求值问题 1.(2025全国二卷,8)已知0<α<π,cos =,则sin=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 2.(2024新课标Ⅰ,4)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)①=(　　)  A.-3m　　B.-　　C.　　D.3m ①心中有“数”两角和与差的余弦公式;对点突破P408定点2 3.(2024全国甲理,8)已知=,则tan=(　　) A.2+1　　B.2-1　　C.　　D.1- 4.(2023新课标Ⅱ,7)已知α为锐角,cos α=,则sin =(　　) A.　　B. C.　　D. 5.(2023新课标Ⅰ,8)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)=(　　) A.　　B.　　C.-　　D.- 6.(2023全国乙文,14)若θ∈,tan θ=,则sin θ-cos θ=　　　　.  7.(2024新课标Ⅱ,13)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+ tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)=　　　　.  考点2　三角恒等变换的应用 8.(2023全国甲理,7)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则(　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 9.(2025北京,8)设函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0).若f(x+π)=f(x)恒成立,且f(x)在上存在零点,则ω的最小值为(　　) A.8　　B.6　　C.4　　D.3 10.(2024全国甲文,13)函数f(x)=sin x-cos x在区间[0,π]的最大值是　　　　.  11.(2024新课标Ⅱ,15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2. (1)求A; (2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长. 12.(2024北京,16)在△ABC中,∠A为钝角,a=7,sin 2B=bcos B. (1)求∠A; (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在,求△ABC的面积. 条件①:b=7; 条件②:cos B=; 条件③:csin A=. 注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分. 高考模拟练 应用实践 1.(2025江西南昌二中模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos 2A+cos 2B=2cos 2C,则cos C的最小值为(　　) A.　　B.　　C.　　D.- 2.(多选题)(2025江西上饶期中)已知函数f(x)=3sin x-sin,则(　　) A.f(x)的最小正周期为2π B.f(x)的值域为[-,] C.当f(x)取得最大值时,cos x= D.当f(x)取得最大值时,sin x= 3.(2025四川德阳期中)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(0<ω<3,|φ|<π),且 f-f =2,则当f(α)=时,cos=(　　) A.-　　B.　　C.-　　D. 4.(2024江西多校教学质量检测)已知a=+,b=tan 84°-tan 24°- tan 84°tan 24°,c=4sin 32°sin 58°,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a<b<c　　B.a<c<b　　 C.c<a<b　　D.b<a<c 5.(多选题)(2024江西景德镇期末质量检测)已知α,β均为锐角, 2cos α=sin(α+β),则下列说法正确的是(　　) A.若β=,则α= B.若α+2β=,则sin β= C.若β>,则α+β> D.α的最小值为 6.(多选题)(2024山东青岛一中月考)重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一,荣昌折扇的平面图为如图所示的扇形COD,其中∠COD=,OC=4OA=4,动点P在弧上(含端点),连接OP交扇形OAB的弧于点Q,且=x+y(x,y∈R),则下列说法正确的是(　　) A.若y=x,则x+y=1　　 B.若y=2x,则·=0 C.·≥-2　　 D.·≥ 7.(2025江西宜春模拟)若cos α=2sin ·sin,0<α<π,则α=　　　　.  8.(2025浙江嘉兴期中)我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”,即S=(其中S为三角形的面积,a,b,c为三角形的三边长).在非直角△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若a=c(cos B+cos C)=2,则△ABC的面积最大时,c=　　　　.  9.(2025湖北武汉新洲部分学校期中联考)已知a=(cos x+sin x, 2sin x),b=(cos x-sin x,cos x),函数f(x)=a·b. (1)求函数f(x)的解析式及图象的对称中心; (2)若f=,且<α<,求的值; (3)在锐角△ABC中,角A,B,C分别为a,b,c三边所对的角,若b=,f(B)=1,求△ABC的面积的取值范围. 迁移创新 10.(2024江西抚州临川十六中月考)人脸识别技术应用于各行各业,改变着人类的生活.所谓人脸识别,就是利用计算机分析人脸视频或者图像,并从中提取出有效的信息,最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中检测样本之间的相似度主要应用的是距离的测试,常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点A(x1,y1),B(x2,y2),则曼哈顿距离:d(A,B)=|x1-x2|+|y1+y2|,余弦相似度:cos(A,B)=×+×,余弦距离:1-cos(A,B). (1)若A(1,-),B,求A,B之间的曼哈顿距离和余弦距离; (2)已知M(sin α ,cos α),N(sin β,cos β),Q(sin β,-cos β).若cos(M,N)=,cos(M,Q)=,求tan αtan β的值. 答案与分层梯度式解析 综合拔高练 高考真题练 1.D 2.A 3.B 4.D 5.B 8.B 9.C 1.D　解法一:∵0<α<π,∴0<<,又∵cos =, ∴sin ===, ∴sin α=2sin cos =,cos α=cos2-sin2=-, ∴sin=(sin α-cos α)=×=. 解法二:∵cos =,∴cos α=2cos2-1=-, ∵0<α<π,∴sin α==, ∴sin=(sin α-cos α)=×=. 2. A　 真题降维 关键信息 信息处理 求cos(α-β) 展开知,整体求解cos αcos β,sin αsin β即可 cos(α+β)=m, tan αtan β=2 根据余弦的和角公式,结合切化弦求解 解析　由cos(α+β)=m,得cos αcos β-sin αsin β=m, 由tan αtan β=2,得sin αsin β=2cos αcos β, 故cos αcos β-2cos αcos β=m,即cos αcos β=-m, 所以sin αsin β=-2m, 故cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m. 3.B　= = =+tanα+=, ∴tan=2-1. 4.D　∵α为锐角,∴为锐角,∴sin>0. ∵cos α=1-2sin2,∴2sin2=1-cos α=, ∴sin2===,∴sin=. 5.B　因为sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=, cos αsin β=,所以sin αcos β=+=, 所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=+=. 所以cos(2α+2β)=cos[2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1-2×=. 6.答案　- 解析　解法一:因为tan θ==,所以cos θ=3sin θ,代入sin2θ+cos2θ=1得sin2θ=,因为θ∈,所以sin θ=,则cos θ=,所以sin θ-cos θ=-. 解法二:(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1-=1-=,因为tan θ=<1,0<θ<,所以0<θ<,所以sin θ<cos θ,所以sin θ-cos θ=-. 考场速决 　　设原点为O,因为θ∈,tan θ=,所以角θ的终边经过点P(3,1),所以OP=,所以sin θ-cos θ=-=-. 7.答案　- 解析　解法一:∵α是第一象限角,∴2k1π<α<+2k1π,k1∈Z, ∵β是第三象限角,∴π+2k2π<β<+2k2π,k2∈Z, ∴π+2(k1+k2)π<α+β<2π+2(k1+k2)π,k1,k2∈Z, ∴角(α+β)的终边在第三或第四象限内,或与y轴的非正半轴重合, 又由已知条件易得tan(α+β)===-2,∴角(α+β)的终边在第四象限内, ∴sin(α+β)<0,∴sin(α+β)=-. 解法二:∵α为第一象限角,β为第三象限角, ∴cos α>0,cos β<0, 又cos α==,cos β==, ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=cos αcos β(tan α+tan β)= 4cos αcos β= ===-. 8. B　∵∴sin2α=cos2β,∴|sin α|=|cos β|,推不出 sin α+cos β=0,∴充分性不成立; ∵sin α+cos β=0,∴sin α=-cos β,∴sin2α+sin2β=(-cos β)2+sin2β=1, ∴必要性成立. ∴甲是乙的必要条件但不是充分条件. 9.C　f(x)=sin ωx+cos ωx=sin, 由f(x+π)=f(x)恒成立知,π是最小正周期的k倍(k∈N*),则=π,即ω=2k(k∈N*).(*) 由x∈0,得,ωx+∈,+, 又f(x)在0,上存在零点, 所以+≥π,解得ω≥3,结合(*)式可知ω的最小值为4. 10.答案　2 解析　f(x)=sin x-cos x=2sin,当x∈[0,π]时,x-∈, 故当x-=,即x=时, f(x)max=2. 11.解析　(1)由已知得2sin A+cos A=2, 故sin=1.易知A∈(0,π), ∴A+∈,∴A+=,∴A=. (2)∵bsin C=csin 2B, ∴由正弦定理得sin Bsin C=sin C·2sin Bcos B. ∵B,C∈(0,π),∴sin B≠0,sin C≠0, ∴cos B=,∴B=.又∵A+B+C=π,A=, ∴sin C=sin=sin=×+×=, 由正弦定理得==, ∴b=2,c=+. ∴△ABC的周长为a+b+c=2++3. 12.解析　(1)∵sin 2B=bcos B,∴2sin Bcos B=b·cos B,∵A为钝角,∴B为锐角,∴cos B>0, ∴2sin B=b,∴===,∴sin A=,又A为钝角,∴A=. (2)若选①,b=7,则a=b=7,又A=,∴B=, ∴A+B>π,此时三角形不存在,∴不能选①. 若选②,cos B=,则sin B=, 由=,A=,a=7,得b=×=3, 易得sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×+×=. ∴S△ABC=absin C=×7×3×=. 若选③,csin A=,∴c==5. 解法一:由=,A=,a=7,得sin C==,又∵0<C<π-A=, ∴cos C==,∴sin B=sin(A+C)=sin Acos C+ cos Asin C=×+×=, ∴S△ABC=acsin B=×7×5×=. 解法二:由A=,a=7,c=5及a2=c2+b2-2bccos A得25+b2+5b=49,得b2+5b-24=0, ∴(b+8)(b-3)=0,∴b=3(负值舍去), ∴S△ABC=bcsin A=×3×5×=. 高考模拟练 1.C 2.ABD 3.C 4.D 5.ACD 6.BD 1.C　∵cos 2A+cos 2B=2cos 2C, ∴1-2sin2A+1-2sin2B=2(1-2sin2C), 即sin2A+sin2B=2sin2C,由正弦定理得a2+b2=2c2. ∴cos C==≥==, 当且仅当a=b时等号成立,故cos C的最小值为. 2.ABD　f(x)=3sin x-sin =3sin x-sin xcos +cos xsin =2sin x-cos x=sin x-cos x=sin(x-α), 其中sin α=,cos α=, 故f(x)的最小正周期为2π,值域为[-,],故A,B正确; 当f(x)取得最大值时,x-α=+2kπ,k∈Z, 此时cos x=cosα++2kπ=-sin α=-,k∈Z, sin x=sinα++2kπ=cos α=,k∈Z,故C错误,D正确. 3.C　由题意得,f(x)max=f =1,f(x)min=f =-1,即sin=1,sin=-1, ∴ ②-①,可得ω=1+2(k2-k1),k1∈Z,k2∈Z, ∵0<ω<3,∴ω=1, 将ω=1代入ω·+φ=2k1π+,k1∈Z,得φ=2k1π+,k1∈Z, 又|φ|<π,∴φ=, ∴f(x)=sin,则f(α)=sin=, ∴cos=cos=-cos2α+ =2sin2-1=-. 4.D　a=+ =+ =+, 由0<sin 28°<cos 28°得a=sin 28°+cos 28°-sin 28°+cos 28°=2cos 28°; tan 60°=tan(84°-24°)=, 故b=tan 84°-tan 24°-tan 84°tan 24°=tan 60°(1+tan 84°tan 24°)-tan 84°tan 24°=; 因为32°+58°=90°,所以sin 58°=sin(90°-32°)=cos 32°, 故c=4sin 32°sin 58°=4sin 32°cos 32°=2sin 64°=2cos 26°, 又cos 26°>cos 28°>cos 30°=,所以b<a<c. 5.ACD　对于A,若β=,则2cos α=sin=sin αcos +cos αsin =sin α+cos α, 即cos α=sin α,解得tan α=, 又α为锐角,所以α=,故A正确; 对于B,若α+2β=,则α=-2β, 由2cos α=sin(α+β),得2cos=sin,所以2sin 2β=cos β,即2×2sin βcos β=cos β, 又β为锐角,所以cos β≠0,所以sin β=,故B错误; 对于D,2cos α=sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β⇒tan α==, 令y=tan α,x=sin β,其中α,β均为锐角,则y=>0, 等号两边平方,得y2=,所以(1+y2)x2-4x+4-y2=0, 由题意可得Δ=(-4)2-4(1+y2)(4-y2)≥0,解得y2≥3,即tan α≥, 又α为锐角,所以α的最小值为,当β=时,α取最小值,故D正确; 对于C,由D的分析知当β>时,α>,所以α+β>,故C正确. 6.BD　如图,作OE⊥OC,交弧于点E,分别以OC,OE所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系, 则A(1,0),C(4,0),B,D(-2,2), 设Q(cos θ,sin θ),θ∈,则P(4cos θ,4sin θ), 由=x+y可得(cos θ,sin θ)=(4x,0)+(-2y,2y),即cos θ=4x-2y,sin θ=2y. 对于A,若y=x,则cos2θ+sin2θ=(4x-2y)2+=1,解得x=y=(负值舍去),故x+y=,故A错误; 对于B,若y=2x,则cos θ=4x-2y=0,则θ=,所以·=4cos θ=0,故B正确; 对于C,·=·(4cos θ,4sin θ)=-6cos θ+2sin θ=4sin, 因为θ∈,所以θ-∈,故-6≤4sin≤6,所以·≥-6,故C错误; 对于D,易得=(1-4cos θ,-4sin θ),=--4cos θ,-4sin θ, 则·=(1-4cos θ)+(-4sin θ)·=-2cos θ-2sin θ=-4sin, 因为θ∈,所以θ+∈,所以sinθ+∈,所以·=-4sin≥-4=,故D正确. 7.答案　 解析　因为2sin sin=cos--cos+=cos-cos, 所以cos α=cos-cos, 则cos α=cos α+sin α-cos, 即cos α-sin α=cos=-cos, 即cos+cos=0, 所以2cos cos =0, 即2coscos =0, 又cos ≠0,所以cos=0, 因为0<α<π,所以<α+<, 所以α+=,解得α=. 8.答案　2 解析　∵a=c(cos B+cos C), ∴sin A=sin C(cos B+cos C). ∵A=π-(B+C), ∴sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C, ∴sin Bcos C=sin Ccos C. ∵△ABC为非直角三角形,∴cos C≠0, ∴sin B=sin C,即b=c, ∴S△ABC= == =, 故当c2=12,即c=2时,S△ABC最大. 9.解析　(1)因为a=(cos x+sin x,2sin x),b=(cos x-sin x,cos x), 所以f(x)=a·b=cos2x-sin2x+2sin xcos x=cos 2x+sin 2x=2sin, 即函数f(x)的解析式为f(x)=2sin, 令2x+=kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z, 所以函数图象的对称中心为点,k∈Z. (2)由(1)知f(x)=2sin,因为f =, 所以2sin=2sin=2sin=2cos=,即cos=, 所以cos α-sin α=,则(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=, 即2sin αcos α=sin 2α=, 由<α<得<α+<2π, 所以sin=-,tan=-, 则= ==sin 2α· =sin 2αtanα+=×=-. (3)由(1)知f(x)=2sin. 因为f(B)=1,所以2sin=1,所以sin2B+=, 又B∈,所以2B+∈,所以2B+=,解得B=, 在△ABC中,由正弦定理可得====2, 即a=2sin A,c=2sin C=2sin, 所以S△ABC=acsin B=sin Asin =sin Acos A+sin2A=sin 2A-cos 2A+ =sin+, 在锐角三角形中,可得<A<,故<2A-<,所以<sin≤1,所以<S△ABC≤, 所以△ABC的面积的取值范围为. 10.解析　(1)由题知,d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|=+=+, cos(A,B)=×+×==-, 所以余弦距离等于1-cos(A,B)=. (2) 由cos(M,N)=,得·+·=sin αsin β+ cos αcos β=, 同理,由cos(M,Q)=得sin αsin β-cos αcos β=, 故2(sin αsin β-cos αcos β)=3(sin αsin β+cos αcos β), 即sin αsin β=-5cos αcos β, 即=-5,故tan αtan β=-5. 7 学科网（北京）股份有限公司 $