第2章 §1 从位移、速度、力到向量（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件围绕向量的概念、表示、基本关系及应用展开，从位移、速度等实际量导入，通过有向线段几何表示与符号表示建立概念，再辨析相等、共线等关系，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于知识辨析深化理解（如向量与有向线段的区别），结合生活实例（汽车行驶路径）和典例分析，体现数学眼光观察现实、数学思维推理。帮助学生发展抽象能力和应用意识，教师可通过问题链提升教学效率。

§1　从位移、速度、力到向量 向量的概念与表示 必备知识 清单破 知识点 1 1.向量的概念 　　既有大小又有方向的量统称为向量. 2.向量的表示 (1)有向线段:具有方向和长度的线段称为有向线段(如图).以A为起点,B为终点的有向线段,记 作 .线段AB的长度称为有向线段 的长度,记作| |.   第二章　平面向量及其应用 高中同步 (2)向量的几何表示:向量可以用有向线段表示,其中有向线段的长度表示向量的大小,箭头所 指的方向表示向量的方向. (3)向量的符号表示:向量可以用黑斜体小写字母如a,b,c,…或 , , ,…(书写)来表示(如图). (4)向量的模:向量a的大小,记作|a|,又称作向量的模. 3.两个特殊的向量 (1)零向量:长度为0的向量,记作0或 .任何方向都可以作为零向量的方向. (2)单位向量:模等于1个单位长度的向量. 第二章　平面向量及其应用 高中同步 向量的基本关系 知识点 2 1.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫相等向量.向量a与b相等,记作a=b.若两条有向线 段方向相同、长度相等,则它们表示的向量是相等的.代表相等向量的有向线段与起点位置 无关. 2.共线向量:若两个非零向量a,b的方向相同或相反,则称这两个向量为共线向量或平行向量, 也称这两个向量共线或平行,记作a∥b.两个向量共线或平行,是指表示这两个向量的有向线 段所在的直线重合或平行. 3.相反向量:若两个向量的长度相等、方向相反,则称它们互为相反向量.相反向量是共线向 量.若其中一个向量为a,则它的相反向量记作-a.规定零向量与任一向量共线,即对于任意的 向量a,都有0∥a.零向量的相反向量仍是零向量. 第二章　平面向量及其应用 高中同步 4.向量的夹角:已知两个非零向量a和b,在平面内选一点O,作 =a, =b,则θ=∠AOB (0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角.当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向;当θ=90°时,a与b垂 直,记作a⊥b.规定零向量与任一向量垂直,即对于任意的向量a,都有0⊥a. 第二章　平面向量及其应用 高中同步 知识辨析 1.向量就是有向线段吗? 2.温度含零上温度和零下温度,那么温度是向量吗? 3.两个向量中长度大的向量较大,这种说法正确吗? 4.在等边三角形ABC中,向量 与 的夹角为60°吗? 5.向量中的“平行”“共线”和平面几何中的“平行”“共线”相同吗? 第二章　平面向量及其应用 高中同步 一语破的 1.不是.有向线段是向量的几何表示,但向量不等同于有向线段.向量只有大小和方向两个要 素,与起点位置无关;而有向线段有起点、方向、长度三个要素,即与线段起点的位置有关. 2.不是.温度的零上与零下,其正负是相对规定的,不是指方向,因此不是向量. 3.不正确.向量不能比较大小,其长度才可以比较大小. 4.不是.向量的夹角要强调共起点,故在等边三角形ABC中,将 与 的起点平移至同一点, 得夹角为120°. 5.不相同.在向量中,“平行”与“共线”是同一概念,平行向量所在的直线可以平行,也可以 重合,而平面几何中的“平行”不包括“共线”的情况. 第二章　平面向量及其应用 高中同步 关键能力 定点破 　相等向量和共线向量  定点 1 1.在平面图形中寻找相等向量的方法:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的线段所表 示的向量,再确定其中与已知向量同向的向量. 2.在平面图形中寻找共线向量的方法:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再 构造与已知向量同向和反向的向量.注意不要漏掉已知向量的相反向量. 3.利用向量相等可以证明线段相等,利用向量共线可以证明线段平行. (1)证明线段相等,只需证明相应向量的模相等. (2)证明线段平行,先证明相应的向量共线,再说明表示该向量的有向线段不共线. 第二章　平面向量及其应用 高中同步 典例 如图,四边形ABCD和四边形BCED都是平行四边形,在以点A,B,C,D,E为起点或终点的向 量中:   (1)写出与 相等的向量; (2)写出与 共线的向量. 解析    (1)因为四边形ABCD和四边形BCED都是平行四边形,所以BC∥AD,BC∥DE,BC=AD= DE,所以 = = ,故与 相等的向量有 , . (2)与 共线的向量共有7个,分别是 , , , , , , . 第二章　平面向量及其应用 高中同步 生活中的向量问题  定点 2 1.解决生活中的向量问题时,首先要把实际问题转化为向量问题,再作出几何图形,然后结合 向量的相关概念求解. 2.在画表示向量的有向线段时,先确定有向线段的起点和方向,再根据向量的模确定终点位置 并标上箭头. 第二章　平面向量及其应用 高中同步 典例 已知一辆汽车从A地按北偏东30°方向行驶200 km到达B地,再从B地按南偏东30°方向行 驶200 km到达C地,最后从C地按西南方向行驶100  km到达D地. (1)画图表示向量 , , ; (2)求向量 的模并指出它的方向. 第二章　平面向量及其应用 高中同步 解析    (1)根据方向角及行驶的距离作出向量 , , ,设比例尺为1∶10 000 000,如图所 示. (2)易知△ABC为等边三角形, ∴| |=200 km. ∵∠ACD=45°,| |=100  km, ∴△ACD为等腰直角三角形, ∴| |=100  km,∠CAD=45°. ∴向量 的模为100  km,方向为东南方向. 第二章　平面向量及其应用 高中同步 $