第2章 1 从位移、速度、力到向量（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

该高中数学课件围绕平面向量的概念、表示、特殊向量（零向量、单位向量）、相等与共线向量及向量夹角展开，通过物理中位移与距离的区分、路程与位移的计算等问题导入，从具体物理情境抽象到数学向量，构建“物理背景-有向线段-向量定义-概念辨析”的学习支架。 其特色是采用问题驱动与讲练结合，提升数学抽象和直观想象素养。如自主梳理用问题引导学生区分量的属性，例2在方格纸画向量培养几何直观，反思感悟总结向量表示方法。帮助学生深化概念理解，教师可借助结构化资源高效开展教学。

第二章　平面向量及其应用 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 §1　从位移、速度、力到向量 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（十三） Part 03 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 课 前 预 习 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 大小 方向 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 长度为0 方向 1个单位长度 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 相等 相同 a＝b 相等 无关 相同 相反 a∥b 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 相等 相反 －a 共线 0∥a 零向量 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 θ＝∠AOB(0°≤θ≤180°) [0，π] 0 π a⊥b 0 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 课 堂 互 动 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 课时作业（十三） 点击进入word 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 谢谢观看 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1．了解向量的物理背景，理解零向量、单位向量的概念． 2．掌握向量的几何表示，理解相等向量、共线向量、向量夹角的含义． 1．通过学习向量的有关概念，重点提升数学抽象的核心素养． 2．会用有向线段表示向量，重点提升直观想象的核心素养． [自主梳理] 知识点一　有向线段向量的概念与表示 [问题1]　 在物理中，位移与距离是同一个概念吗？现实世界中有各种各样的量，如年龄、身高、体重、力、速度、面积、体积、温度等，怎样正确区分这些量呢？ 答：位移与距离不是同一个概念；这些量中有些只有大小，没有方向，但有些既有大小又有方向，因此应该从大小和方向两个方面对这些量进行区分． [问题2]　甲由A地向正北方向走了1 km，然后向正东方向又走了 1 km，到达B地，问甲走的路程和位移各为多少？ 答：路程2 km，位移是向北偏东45°方向移动了 eq \r(2) km. ►知识填空 1．有向线段的概念及表示 具有方向和长度的线段称为有向线段(如图).以A为起点，B为终点的有向线段，记作 eq \o(AB,\s\up14(→)) .线段AB的长度称为有向线段 eq \o(AB,\s\up14(→)) 的长度，记作| eq \o(AB,\s\up14(→)) |. 2．向量的概念 (1)定义：既有________又有________的量统称为向量． (2)表示 (3)向量的模 向量a的大小记作|a|，称为向量的模． 3．零向量与单位向量 ____________的向量称为零向量，记作0或 eq \o(0,\s\up14(→)) ，任何方向都可以作为零向量的________．模等于________________的向量称为单位向量． ►知识填空 1．相等向量 是指它们的长度________且方向________．向量a与b相等，记作________．若两条有向线段方向相同、长度相等，则它们表示的向量________，代表相等向量的有向线段与起点位置________． 2．共线向量 若两个非零向量a，b的方向________或者________，则称这两个向量为共线向量或平行向量，也称这两个向量共线或平行，记作_______． 3．相反向量 若两个向量的长度________、方向________，则称它们互为相反向量．相反向量是共线向量．若其中一个向量为a，则它的相反向量记作________． 4．规定零向量与任一向量________，即对于任意的向量a，都有________．零向量的相反向量仍是__________． 知识点三　向量的夹角 ►知识填空 向量的夹角 定义 已知两个非零向量a和b，作 eq \o(OA,\s\up14(→)) ＝a， eq \o(OB,\s\up14(→)) ＝b，则____________________________称为向量a与b的夹角 范围 __________ 特殊 θ＝______ a与b同向 θ＝______ a与b反向 θ＝______ a与b垂直，记作_______，规定______可与任一向量垂直 eq \f(π,2) [自主检验] 1．如图在⊙O中，向量 eq \o(OB,\s\up14(→)) ， eq \o(OC,\s\up14(→)) ， eq \o(AO,\s\up14(→)) 是(　　) A．有相同起点的向量 B．共线向量 C．模相等的向量 D．相等的向量 答案：C 2．已知向量a如图所示，下列说法不正确的是(　　) A．也可以用 eq \o(MN,\s\up14(→)) 表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 答案：D 3．(多选)如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的是(　　) A． eq \o(AO,\s\up14(→)) ＝ eq \o(OC,\s\up14(→)) B． eq \o(AO,\s\up14(→)) ∥ eq \o(AC,\s\up14(→)) C． eq \o(AB,\s\up14(→)) 与 eq \o(CD,\s\up14(→)) 共线 D． eq \o(AO,\s\up14(→)) ＝ eq \o(BO,\s\up14(→)) 解析：选ABC　∵ eq \o(AO,\s\up14(→)) 与 eq \o(OC,\s\up14(→)) 方向相同，长度相等，∴A正确； ∵A，O，C三点在一条直线上， ∴ eq \o(AO,\s\up14(→)) ∥ eq \o(AC,\s\up14(→)) ，B正确； ∵AB∥DC，∴ eq \o(AB,\s\up14(→)) 与 eq \o(CD,\s\up14(→)) 共线，C正确； ∵ eq \o(AO,\s\up14(→)) 与 eq \o(BO,\s\up14(→)) 方向不同，∴二者不相等，D错误． 4．如图，以1 cm×3 cm方格纸中的格点为始点和终点的所有向量中，则以A为始点，可以写出__________个不同的向量．向量 eq \o(AB,\s\up14(→)) 与 eq \o(CE,\s\up14(→)) 的夹角等于__________． 答案：7　 eq \f(π,4) 题型一　向量的有关概念 [例1]　(多选)下列说法错误的是(　　) A．向量 eq \o(AB,\s\up14(→)) 与向量 eq \o(BA,\s\up14(→)) 的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量都是相等的 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 解析：两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的模都是0，但方向不确定；若两个单位向量反向，则不相等，故B，C，D都错误，A正确． 答案：BCD [反思感悟] 对向量的有关概念的理解要全面、准确，要注意相等向量与共线向量(或平行向量)之间的区别和联系；零向量的长度为零，方向不确定，解题时一定要注意这一特殊向量． 下列说法中正确的是(　　) A．向量的模都是正实数 B．单位向量都是相等向量 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 解析：零向量的模为0，故A不正确；单位向量的方向可以是任意的，故B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确． 答案：C 题型二　向量的几何表示 [例2]　在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量： (1) eq \o(OA,\s\up14(→)) ，使| eq \o(OA,\s\up14(→)) |＝4 eq \r(2) ，点A在点O北偏东45°方向； (2) eq \o(AB,\s\up14(→)) ，使| eq \o(AB,\s\up14(→)) |＝4，点B在点A正东方向； (3) eq \o(BC,\s\up14(→)) ，使| eq \o(BC,\s\up14(→)) |＝6，点C在点B北偏东30°方向． 解：如图中的 eq \o(OA,\s\up14(→)) ， eq \o(AB,\s\up14(→)) 和 eq \o(BC,\s\up14(→)) . [反思感悟] 用有向线段表示向量的方法 (1)用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点． (2)必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量． 1．在本例条件下： (1)求向量 eq \o(OA,\s\up14(→)) 与 eq \o(AB,\s\up14(→)) 的夹角； (2)求向量 eq \o(OA,\s\up14(→)) 与 eq \o(BC,\s\up14(→)) 的夹角． 解析：(1)∵点A在点O北偏东45°方向， ∴ eq \o(OA,\s\up14(→)) 与 eq \o(AB,\s\up14(→)) 的夹角为45°. (2)∵C点在点B北偏东30°方向， ∴向量 eq \o(OA,\s\up14(→)) 与 eq \o(BC,\s\up14(→)) 的夹角为45°－30°＝15°. 2．一辆汽车从点A出发，向西行驶了100 km到达点B，然后改变方向，向西偏北50°的方向行驶了200 km到达点C，最后又改变了方向，向东行驶了100 km达到点D. (1)作出向量 eq \o(AB,\s\up14(→)) ， eq \o(BC,\s\up14(→)) ， eq \o(CD,\s\up14(→)) ； (2)求| eq \o(AD,\s\up14(→)) |. 解析：(1)如图所示． (2)由题意知 eq \o(AB,\s\up14(→)) 与 eq \o(CD,\s\up14(→)) 方向相反， 所以 eq \o(AB,\s\up14(→)) 与 eq \o(CD,\s\up14(→)) 共线， 所以在四边形ABCD中，AB∥CD， 又因为| eq \o(AB,\s\up14(→)) |＝| eq \o(CD,\s\up14(→)) |， 所以四边形ABCD为平行四边形， 所以| eq \o(AD,\s\up14(→)) |＝| eq \o(BC,\s\up14(→)) |＝200(km). 题型三　相等向量与共线向量 [例3]　如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点． (1)写出与 eq \o(EF,\s\up14(→)) 共线的向量； (2)写出模与 eq \o(EF,\s\up14(→)) 的模相等的向量； (3)写出与 eq \o(EF,\s\up14(→)) 相等的向量． 解：(1)因为E，F分别是AC，AB的中点， 所以EF∥BC，EF＝ eq \f(1,2) BC. 又因为D是BC的中点， 所以与 eq \o(EF,\s\up14(→)) 共线的向量有 eq \o(FE,\s\up14(→)) ， eq \o(BD,\s\up14(→)) ， eq \o(DB,\s\up14(→)) ， eq \o(DC,\s\up14(→)) ， eq \o(CD,\s\up14(→)) ， eq \o(BC,\s\up14(→)) ， eq \o(CB,\s\up14(→)) . (2)模与 eq \o(EF,\s\up14(→)) 的模相等的向量有 eq \o(FE,\s\up14(→)) ， eq \o(BD,\s\up14(→)) ， eq \o(DB,\s\up14(→)) ， eq \o(DC,\s\up14(→)) ， eq \o(CD,\s\up14(→)) . (3)与 eq \o(EF,\s\up14(→)) 相等的向量有 eq \o(DB,\s\up14(→)) ， eq \o(CD,\s\up14(→)) . [反思感悟] 向量相等与向量共线的探求方法 (1)寻找向量相等：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线． (2)寻找向量共线：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量．注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量． 如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形． (1)图中所标出的向量与 eq \o(AB,\s\up14(→)) 共线的有________； (2)图中所标出的向量与 eq \o(AB,\s\up14(→)) 相等的有________； (3)图中所标出的向量与 eq \o(AB,\s\up14(→)) 模相等的有____________； (4)向量 eq \o(CD,\s\up14(→)) 与向量 eq \o(EC,\s\up14(→)) 的夹角为________． 答案：(1) eq \o(BE,\s\up14(→)) ， eq \o(CD,\s\up14(→)) 　(2) eq \o(BE,\s\up14(→)) 　(3) eq \o(BE,\s\up14(→)) ， eq \o(BC,\s\up14(→)) ， eq \o(CD,\s\up14(→)) ， eq \o(DA,\s\up14(→)) 　(4)45° [课堂小结] 1．向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，所以向量能起到数形结合的桥梁作用． 2．向量共线与向量平行是一组等价的概念，两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量． 3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，零向量与任一向量都垂直．单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆． $