第1章 三角函数 本章复习提升（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（北师大版）

本章复习提升 易混易错练 易错点1　忽略轴线角而致错 1.设角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,则“角α的终边在第二或第三象限内”是“cos α<0”的(　　) A.充分不必要条件　　 B.必要不充分条件 C.充要条件　　 D.既不充分也不必要条件 易错点2　忽略分类讨论而致错 2.(2024江苏南通如皋中学调研)设角θ的终边经过点P(4a,-3a)(a≠0),则sin+sin(3π+θ)的值为(　　) A.±　　B.±　　C.　　D. 3.化简(n∈Z)的结果为　　　　　　.  4.(2024浙江杭州学军中学月考)已知函数f(x)=3cos-2. (1)求函数f(x)的最小正周期、单调递减区间及其图象的对称中心; (2)若定义在区间上的函数h(x)=af(x)+b的最大值为6,最小值为-3,求实数a,b的值. 易错点3　忽略隐含条件而致错 5.(2025江西上饶期末)已知sin =,cos =-,则θ是(　　) A.第一象限角　　B.第二象限角 C.第三象限角　　D.第四象限角 6.已知sin x+sin y=,则sin y+sin 2x-1的最大值为　　　　.  7.(2023江苏扬州中学月考)已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递增,且f(-2)=0.若A是△ABC的一个内角,且满足f<f(2),则A的取值范围为　　　　.  易错点4　图象变换中忽视自变量x的系数和平移的方向而致错 8.(2025山东德州夏津第一中学月考)为了得到y=cos的图象,只要把y=sin 2x的图象上所有的点(　　) A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 9.(2025江苏常州联盟学校学情调研)若函数y=sin的图象向右平移a(a>0)个单位长度后得到的图象关于y轴对称,则a的最小值为　　　　.  思想方法练 一、分类讨论思想 1.化简:sin+cos(k∈Z). 2.已知函数y=asin+b在x∈上的值域为[-5,1],求a,b的值. 二、函数与方程思想 3.(多选题)(2025上海浦东新区期中教学质量检测)关于x的方程xsin x+1=mx在区间(0,+∞)上解的情况的说法中,正确的是(　　) A.存在实数m使得方程无解 B.存在实数m使得方程有无数个解 C.存在唯一的实数m使得方程只有1个解 D.存在唯一的实数m使得方程只有2个解 4.已知函数g(x)=cos+1,x∈. (1)求g(x)的值域; (2)若方程[g(x)]2+(2-m)g(x)+3-m=0有解,求实数m的取值范围. 三、数形结合思想 5.(2025江西赣州中学月考)设函数f(x)=sin2ωx+,ω>0在区间(0,π)上恰有三个最值点和两个零点,则ω的取值范围是(　　) A.　　B. C.　　D. 6.(2024江西宜春期末)下列关于函数f(x)=sin x+cos x+|sin x-cos x|的说法,正确的是　　　　.(填序号)  ①f(x)是以2π为周期的函数; ②当且仅当x=2kπ+,k∈Z时,函数取得最小值-; ③f(x)图象的对称轴为直线x=+2kπ,k∈Z; ④当2kπ+π<x<2kπ+,k∈Z时,-≤f(x)<0. 四、转化与化归思想 7.(多选题)(2024河南洛阳强基联盟期末)已知角α和角β的终边关于x轴对称,则(　　) A.sin α=-sin β　　B.tan α=tan β C.sin=cos β　　D.cos(π-α)=cos β 8.(2024四川隆昌一中开学考试)已知函数f(x)=sin. (1)求函数f(x)的最小正周期以及单调递增区间; (2)求f(x)在上的最大值和最小值; (3)若函数g(x)=f(x)-,x∈有两个零点x1,x2,求实数a的取值范围与f(x1+x2)的值. 五、数学建模思想 9.(2024安徽A10联盟开学联考)近年来,我国逐渐用风能等清洁能源替代传统能源,目前利用风能发电的主要手段是风车发电.如图,风车由一座塔和三个叶片组成,每两个叶片之间的夹角均为,现有一风车,塔高100米,叶片长40米.叶片按照逆时针方向匀速转动,并且每5秒旋转一圈,风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点(此时P离地面60米).设点P转动t秒后离地面的距离为s米,则s关于t的函数关系式为s(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π). (1)求s(t)的解析式; (2)求当叶片旋转一圈时,点P离地面的高度不低于80米的时长. 答案与分层梯度式解析 本章复习提升 易混易错练 1.A 2.A 5.D 8.B 1.A　若角α的终边在第二或第三象限内,则cos α<0,充分性成立; 若cos α<0,则角α的终边在第二或第三象限内或在x轴的负半轴上,必要性不成立. 故“角α的终边在第二或第三象限内”是“cos α<0”的充分不必要条件. 易错警示 　　由角的象限可以确定三角函数值的符号;反过来,由三角函数值的符号确定角的范围时,要注意轴线角这种特殊情况,防止遗漏导致解题错误. 2.A　因为角θ的终边经过点P(4a,-3a)(a≠0), 所以当a>0时,sin θ===-,cos θ===, 则sin+sin(3π+θ)=cos θ-sin θ=-=; 当a<0时,sin θ===,cos θ===-, 则sin+sin(3π+θ)=cos θ-sin θ=--=-. 故sin+sin(3π+θ)的值为±. 易错警示 　　当角的终边上的点的坐标含有参数时,要注意对参数的范围进行讨论,进而解决问题. 3.答案　(-1)n+1sin α(n∈Z) 解析　①当n=2k(k∈Z)时, 原式===-sin α. ②当n=2k+1(k∈Z)时, 原式= ==sin α. 所以化简所得的结果为(-1)n+1sin α(n∈Z). 易错警示 　　未对整数n进行n为奇数与n为偶数的分类或者分类后不能正确利用诱导公式易导致错误. 4.解析　(1)因为f(x)=3cos-2=3cos2x--2,所以函数f(x)的最小正周期T=π, 令2kπ≤2x-≤π+2kπ,k∈Z, 得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 故函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z. 令2x-=+kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z, 所以函数f(x)图象的对称中心为,k∈Z. (2)由题知,h(x)=af(x)+b=3acos-2a+b, 当x∈时,2x-∈, 则-≤cos≤1, 若a>0,则有解得 若a<0,则有解得 a=0明显不符合题意,故或 5.D　由sin =>0,cos =-<0,可知为第二象限角,又sin =<=sin π,所以2kπ+π<<2kπ+π(k∈Z), 则4kπ+π<θ<4kπ+2π(k∈Z),故θ是第四象限角. 易错警示 　　对于给定了三角函数值的问题,往往会忽略隐含的特殊三角函数值的制约关系,从而使所求角的范围扩大,因此解题时要关注条件中隐含的限制条件. 6.答案　 解析　由已知得sin y=-sin x, 因为sin y=-sin x∈[-1,1],所以-≤sin x≤1, 而sin y+sin 2x-1=-sin x+sin 2x-1=sin 2x-sin x-=-, 易知当sin x=-时,sin y+sin 2x-1取得最大值,为. 易错警示 　　解与三角函数有关的最值问题时,除了要注意正、余弦函数的有界性外,还得注意条件中隐含的一些变量之间的相互约束关系. 7.答案　∪ 解析　∵偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递增, ∴f(x)在区间[0,+∞)上单调递减, ∴f=f<f(2), ∴>2,∴0<|sin 2A+1|<,∴-1<sin 2A<-, ∵A是△ABC的一个内角,∴0<A<π, ∴<2A<,且2A≠.∴A∈∪. 易错警示 　　研究三角函数的性质时,首先要考虑自变量的范围,再结合函数的定义域进行等价变形,进而利用相关性质解决问题得到结论. 8.B　因为y=cos=sin=sin 2, 所以把y=sin 2x的图象上所有的点向左平移个单位长度可得y= sin 2的图象,也就是y=cos的图象,故B正确. 9.答案　 解析　将函数y=sin的图象向右平移a(a>0)个单位长度,得到函数y=sin=sin2x-2a-的图象, 因为此图象关于y轴对称,所以-2a-=kπ+(k∈Z), 解得a=--(k∈Z), 因为a>0,所以当k=-1时,a取得最小值,为-=. 易错警示 三角函数图象变换中的注意事项 (1)将函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象上的所有点向左(右)平移k个单位长度后,得到的图象对应的解析式为y=sin[ω(x±k)+φ],而不是y=sin(ωx±k+φ). (2)不同名三角函数要先化为同名三角函数,再进行图象的变换. 思想方法练 3.ABD 5.A 7.AC 1.解析　原式=sin+coskπ+-α(k∈Z). 分k为奇数和k为偶数两种情况讨论,体现了分类讨论思想. 当k为奇数时,设k=2n1+1(n1∈Z), 则原式=sin+cos(2n1+1)π+-α=sin+cos =sin-cos =sin-cos =sin-sin=0; 当k为偶数时,设k=2n2(n2∈Z), 则原式=sin+cos2n2π+ =-sin+cos =-sin+cos =-sin+sin=0. 综上所述,原式=0. 2.解析　因为x∈,所以2x+∈, 所以sin∈. 分a>0和a<0两种情况讨论,体现了分类讨论思想. 当a>0时,解得 当a<0时,解得 所以或 思想方法 　　当所研究的问题中包含多种情况,但不能用统一的方法、统一的式子进行解决时,可分类进行解决.与三角函数有关的问题常受到角的范围或参数的影响,往往需要进行分类讨论. 3. ABD　因为x∈(0,+∞),所以关于x的方程xsin x+1=mx可化为 sin x=-+m, 通过对原方程变形,将方程解的问题转化为两函数图象的交点问题,充分体现了函数与方程思想. 在同一平面直角坐标系中作出函数y=sin x,y=-+m的图象,如图所示. 当m≤-1时(如图中(1)),函数y=sin x,y=-+m的图象无交点,A正确; 当-1<m≤1时(如图中(2)),函数y=sin x,y=-+m的图象有无数个交点,B正确; 令x=π,由sin π=-+m得m=1+(如图中(4)),此时函数y=sin x,y= -+m的图象有两个交点,D正确; 当m>1+时(如图中(3)),函数y=sin x,y=-+m的图象只有一个交点,C错误. 4. 解析　(1)当x∈时,4x+∈, 则cos∈, 所以g(x)=cos+1∈, 即 g(x)的值域为. (2)因为当x∈时,g(x)∈, 所以g(x)+1∈1,,且g(x)+1≠0. 因为[g(x)]2+(2-m)g(x)+3-m=0, 所以m=, 令s=g(x)+1,则s∈,g(x)=s-1, 所以m==s+,s∈. 通过分离参数及变量代换,将m表示成关于s的函数,转化为研究函数m=s+的性质,体现了函数与方程思想. 结合对勾函数的性质,知m=s+在[1,)上单调递减,在上单调递增,又当s=1时,m=3,当s=时,m=2,当s=时,m=, 所以m=s+∈. 思想方法 　　在研究三角函数有关问题时,可根据条件列方程(组)解决求值问题,也可建立函数关系式,利用函数的知识求解相关问题. 5.A　∵x∈(0,π),∴<2ωx+<2ωπ+, 作出函数y=sin x的图象,研究其在<x<2ωπ+上的最值点及零点的个数,直观得出ω的取值范围.  作出函数y=sin x的图象,由图可知,若函数f(x)=sin2ωx+,ω>0在区间(0,π)上恰有三个最值点和两个零点,则<2ωπ+≤3π,∴<ω≤. 6.答案　①②④ 解析　f(x+2π)=sin(x+2π)+cos(x+2π)+|sin(x+2π)-cos(x+2π)|=sin x+ cos x+|sin x-cos x|=f(x),故①正确. f(x)=sin x+cos x+|sin x-cos x| = = 作出y=f(x)的图象,如图, 由函数解析式作出函数图象,利用图象研究函数的性质. 由图可知,当x=2kπ+,k∈Z时, f(x)min=f+2kπ=-,故②正确. 由图可知, f(x)图象的对称轴为直线x=+kπ,k∈Z,故③不正确. 由图可得,当2kπ+π<x<+2kπ,k∈Z时, f(x)单调递减,当2kπ+<x<2kπ+,k∈Z时, f(x)单调递增,所以2kπ+π<x<2kπ+,k∈Z时,f(x)min=-,k∈Z, 又f(π)=f=0,所以-≤f(x)<0,故④正确. 思想方法 　　解决与三角函数有关的问题时,常利用数形结合思想实现图象与性质的有机结合,如解决函数零点、方程根的问题时,一方面,可利用图象确定函数零点或方程根的范围、个数;另一方面,可利用图象的对称性寻求函数零点之间或方程根之间的数量关系. 7.AC　因为角α和角β的终边关于x轴对称, 所以α=-β+2kπ,k∈Z. 利用诱导公式进行转化. 对于A,由于sin α=sin(-β+2kπ)=-sin β,k∈Z,故A正确; 对于B,由于tan α=tan(-β+2kπ)=tan(-β)=-tan β,k∈Z,故B错误; 对于C,由于sin=cos α=cos(-β+2kπ)=cos(-β)=cos β,k∈Z,故C正确; 对于D,由于cos(π-α)=-cos α=-cos(-β+2kπ)=-cos β,k∈Z,故D错误. 8.解析　(1)由题知,f(x)的最小正周期T==π, 令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z, 得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z. (2)因为x∈,所以2x-∈, 当2x-=,即x=时,f(x)在上取得最大值1; 当2x-=-,即x=0时,f(x)在上取得最小值-. 故f(x)在上的最大值为1,最小值为-. (3)令t=2x-,则t∈, 令g(x)=f(x)-=0,可得f(x)=,即sin t=, 因为函数g(x)=f(x)-,x∈有两个零点x1,x2,所以关于x的方程f(x)=在上有两个不相等的实数根,即关于t的方程sin t=在上有两个不相等的实数根, 所以y=sin t的图象与直线y=在内有两个交点,且交点的横坐标分别为t1,t2, 将函数零点的个数问题转化为方程解的个数问题,再将方程解的个数问题转化为两个函数图象交点的个数问题,从而利用图象解决问题. 画出y=sin t在上的图象,如图所示, 结合图象可得≤<1,t1+t2=2x1-+2x2-=π,即≤a<2,x1+x2=,所以f(x1+x2)=sin=sin=-sin =-.故a的取值范围为[,2),f(x1+x2)的值为-. 思想方法 　　转化与化归思想在三角函数中的运用常体现在:将任意角的三角函数通过诱导公式转化为锐角三角函数,方便求值;在研究y=Asin(ωx+φ)的图象和性质时通过换元,令t=ωx+φ,转化为研究y=Asin t的图象和性质,进而解决问题;在研究与三角函数有关的函数零点问题时,可转化为研究相应方程的根,进而转化为研究函数图象的交点问题. 9.解析　(1)根据题意建立如图所示的平面直角坐标系, 当t=0时,风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点,设为P0,则P0(0,60), 由每5秒旋转一圈,可确定该函数的最小正周期T=5,则ω=, 由题意得解得 所以s(t)=40sin+100或s(t)=-40cos t+100. (2)令s(t)≥80,则s(t)=40sin+100≥80,即sin≥-,即cos t≤,所以2kπ+≤t≤2kπ+(k∈Z), 解得+5k≤t≤+5k(k∈Z), 又0≤t≤5,所以当k=0时,≤t≤,-=, 所以当叶片旋转一圈时,点P离地面的高度不低于80米的时长为秒. 思想方法 　　在实际问题中常常涉及与三角函数模型有关的问题,求解时先要根据题中条件合理选择或构建相应的模型,再结合已知条件求解. 7 学科网（北京）股份有限公司 $