第1章 §6 函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（北师大版）

§6　函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象 基础过关练 题组一　图象变换和作法 1.(2025江西南昌第二中学月考)要得到函数y=cos的图象,只需将函数y=cos x图象上的所有点(　　) A.先向右平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变) B.先向右平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变) C.横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位长度 D.横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),再向右平移个单位长度 2.(2025湖北新高考协作体联考)要得到函数y=-sin 2x的图象,只需要将函数y=cos2x+图象上的所有点(　　) A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 3.(多选题)(2024福建漳州期末)要得到函数y=2cos的图象,只需(　　) A.将函数y=2cos 3x图象上的所有点向左平移个单位长度 B.将函数y=2cos 3x图象上的所有点向左平移个单位长度 C.将函数y=2sin 3x图象上的所有点向左平移个单位长度 D.将函数y=2sin 3x图象上的所有点向右平移个单位长度 4.(2025广东和美联盟联考)将函数f(x)=2sin x图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍,横坐标缩短为原来的,再将所得的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则g(x)=　　　　　　　.  5.已知函数f(x)=3sin,x∈R. (1)列表并在下面的坐标系中画出函数f(x)在一个周期内的简图; (2)将函数y=sin x的图象进行怎样的变换可得到函数f(x)的图象? 题组二　由图象确定函数解析式 6.(2024江西部分高中联考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,则f(x)=(　　) A.sin　　B.sin C.sin　　D.sin 7.(2025辽宁沈阳120中学质量监测)函数y=Asin(ωx+φ)A<0,ω>0,|φ|≤的部分图象如图所示,则此函数的解析式为(　　) A.y=-4sin　　B.y=4sin C.y=-4sin　　D.y=4sin 8.(2024河北承德联考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+bA>0,0≤ω≤6,|φ|<的部分图象如图所示,则f(x)=(　　) A.2sin+1　　B.3sin C.2sin+1　　D.2sin+1 9.(2025北京海淀一模)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示,若A,B,C,D四点在同一个圆上,则ω=　　　　.  10.函数f(x)=Asin+1(A>0,ω>0)的最大值为3,其图象的相邻两条对称轴之间的距离为. (1)求函数f(x)的解析式; (2)设α∈, f=2,求α的值. 题组三　函数y=Asin(ωx+φ)(y=Acos(ωx+φ))的性质 11.(2025江苏苏州期中调研)函数f(x)=cos3x+图象的一个对称中心是(　　) A.　　B. C.　　D. 12.(2025湖北七市州联合统一调研测试)把函数f(x)=sin(4x+φ)图象上的所有点向右平移个单位长度后,得到偶函数g(x)的图象,则φ=(　　) A.-　　B.-　　C.　　D. 13.(2025江西南昌新民外语学校月考)已知函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递增,则ω的取值范围是(　　) A.(0,2]　　B.(0,4]　　C.(0,6]　　D.(0,8] 14.(多选题)(2025江西景德镇昌江一中模考)已知函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,则(　　) A.f(x)和g(x)的最小正周期相同 B.f(x)和g(x)在区间上的单调性相同 C.将f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后得到g(x)的图象 D.f(x)和g(x)的图象关于直线x=对称 15.(2025江西九师联盟联考)函数y=2sin2x+-3cos的最大值为　　　　.  16.(2024山东临沂期末)已知函数f(x)=2cos(ωx-φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为4π,且图象经过点(0,1). (1)求f(x)的单调递减区间; (2)当x∈[0,2π]时,求f(x)的最值以及取得最值时x的值. 17.(2024江西抚州联考)已知函数f(x)=4sin(2x+φ)的图象关于点,0对称. (1)求φ的值; (2)求f(x)的单调递增区间; (3)将f(x)图象上各点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求g(x)在上的值域. 能力提升练 题组一　函数y=Asin(ωx+φ)的奇偶性、周期性与图象的对称性 1.(2025山西部分学校联考)已知函数f(x)=sinωx+的图象关于点对称,则函数y=|f(x)|的最小正周期为(　　) A.　　B. C.2π　　D.或2π 2.(多选题)(2025四川德阳天立高级中学教学质量检测)已知函数f(x)=2sin2x++φ|φ|<的图象的一条对称轴的方程是x=,则(　　) A.φ=　　B.φ=- C.f是偶函数　　D.f是奇函数 3.(2025辽宁大连滨城高中联盟月考)函数f(x)=sin(ω>0)的周期T=π,设x1<0<x2且f(x1)+f(x2)=0,则|x1-x2|的取值范围是(　　) A.　　B. C.　　D. 4.(2025江西南昌第二中学月考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,C为图象与y轴的交点,B为图象与x轴的一个交点,且BC=,则函数f(x)图象的一条对称轴的方程可能为(　　) A.x=　　B.x=1　　C.x=3　　D.x= 5.(多选题)(2024江西新余期末质量检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是(　　) A.φ= B.函数f(x)的图象关于直线x=对称 C.将函数f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度,得到函数y=2sin 2x的图象 D.若方程f(x)=m(m∈R)在上有两个不相等的实数根x1,x2,则cos(x1+x2)= 6.(2024北京育才学校月考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),且f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为,且　　　　.  从下面的①、②、③三个条件中任选两个作为已知条件补充在横线上,再解答下列问题. ①f(x)的最小值为-2; ②f(x)图象的一个对称中心为; ③f(x)的图象经过点. (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)求函数f(x)的解析式; (3)若f(x)图象的对称轴只有一条落在区间[0,a](a>0)上,求实数a的取值范围. 题组二　函数y=Asin(ωx+φ)的单调性与最值 7.(2025河南南阳六校联盟体联考)函数f(x)=log2(cos 2x)的单调递减区间和值域分别为(　　) A.2kπ,+2kπ(k∈Z),R B.2kπ,+2kπ(k∈Z),R C.kπ,+kπ(k∈Z),(-∞,0] D.kπ,+kπ(k∈Z),(-∞,0] 8.(2025山东济宁实验中学质量检测)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)满足f(x)≤,若0<x1<x2<π,且f(x1)=f(x2)=-,则sin(x1+x2)的值为(　　) A.-　　B.　　C.　　D.- 9.(2025江西南昌第二中学月考)已知ω>0,函数f(x)=sin在上单调递增,且对任意x∈,都有f(x)≥0,则ω的取值范围为(　　) A.　　B.[2,6] C.　　D. 10.(2025山东部分学校学业水平联合检测)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<,f=0,当x=-时,f(x)取得最值,且当x∈时,f(x)单调递增,则f(x)在[-π,π]上的零点个数为　　　　.  11.(2024江西宜春部分中学联考)已知A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上的任意两点,f(0)=-1,且当|f(x1)-f(x2)|=2时,|x1-x2|的最小值为π. (1)求f(x)的解析式; (2)将y=f(x)图象上的所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,再将所得图象上的所有点向左平移个单位长度,得到y=g(x)的图象,若g(x)在区间(0,m)上有最大值没有最小值,求实数m的取值范围. 答案与分层梯度式解析 §6　函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象 基础过关练 1.C 2.A 3.ACD 6.A 7.A 8.A 11.B 12.B 13.B 14.ABD 1.C　解法一(先平移后伸缩): y=cos x的图象y=cos的图象y=cos的图象,故C正确. 解法二(先伸缩后平移): y=cos x的图象y=cos x的图象y=cos =cosx-的图象,故C正确. 2.A　∵y=-sin 2x=cos=cos 2, y=cos=cos 2=cos 2, ∴只需要将函数y=cos图象上的所有点向左平移个单位长度,即可得到函数y=-sin 2x的图象. 方法总结 　　在三角函数图象的变换中,若变换前与变换后函数名不相同,则应先利用诱导公式将函数化为同名三角函数,再利用相应的变换得到结论. 3.ACD　将y=2cos 3x图象上的所有点向左平移个单位长度,得到y=2cos 3=2cos3x+的图象,故A正确,B错误; 将y=2sin 3x图象上的所有点向左平移个单位长度,得到y= 2sin 3=2sin=2cos3x+的图象,故C正确; 将y=2sin 3x图象上的所有点向右平移个单位长度,得到y= 2sin 3=2sin=2sin-3x=2cos的图象,故D正确. 4.答案　4sin 解析　将函数f(x)=2sin x图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍,得到函数y=4sin x的图象, 再将所有点的横坐标缩短为原来的,得到函数y=4sin 4x的图象, 最后将其向右平移个单位长度,得到函数g(x)=4sin 4x-=4sin的图象. 5.解析　(1)函数f(x)的最小正周期T==4π. 列表如下: x- 0 π 2π x f(x)=3sinx- 0 3 0 -3 0 描出五个关键点并用光滑的曲线顺次连接,得到f(x)在一个周期内的简图如下. (2)先把函数y=sin x图象上的所有点向右平移个单位长度,然后把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把所有点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变),即可得到函数f(x)的图象. 6.A　由题图可知A=,f(x)的最小正周期T=4×=,则ω==5, 由f =,得5×+φ=+2kπ,k∈Z, 又|φ|<,所以k=0,φ=-, 所以f(x)=sin. 7.A　由题图可知A=-4,T=14-(-2)=16, 所以T=16=,解得ω=, 又因为函数y=-4sin过点(2,-4), 所以-4sin=-4, 所以sin=1,即+φ=+2kπ(k∈Z), 解得φ=+2kπ(k∈Z), 又|φ|≤,所以φ=,所以y=-4sin. 8.A　由题图可知f(x)max=A+b=3,f(x)min=-A+b=-1, 解得A=2,b=1,所以f(x)=2sin(ωx+φ)+1, 由f(0)=2,得sin φ=,而|φ|<,所以φ=, 所以f(x)=2sin+1, 由f =0,得sin=-, 即ω+=-+2kπ或ω+=-+2kπ,k∈Z, 解得ω=-+或ω=-+,k∈Z, 函数f(x)的周期为, 显然有<<,解得<ω<, 又0≤ω≤6,所以ω=3, 所以f(x)=2sin+1. 9.答案　 解析　连接BC交x轴于E,如图, 因为A,B,C,D四点在同一个圆上,且A,D和B,C均关于点E对称,所以E为圆心,故AE=BE, 因为AE=T=·=,BE==,所以=, 又ω>0,所以ω=. 10.解析　(1)∵函数f(x)的最大值为3, ∴A+1=3,即A=2. ∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为, ∴最小正周期T=π, ∴ω=2, 故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin+1. (2)∵f=2sin+1=2, ∴sin=. 又∵0<α<,∴-<α-<, ∴α-=,故α=. 11.B　令3x+=+kπ,k∈Z,解得x=+,k∈Z, 当x=时,k=0,而x=,x=-,x=-均不满足x=+,k∈Z,所以函数图象的一个对称中心是. 12.B　把函数f(x)=sin(4x+φ)图象上的所有点向右平移个单位长度,得到函数g(x)=sin4x-+φ的图象, 因为g(x)是偶函数, 所以-+φ=kπ+(k∈Z),解得φ=kπ+(k∈Z), 又-<φ<,所以φ=-. 13.B　解法一:令-+2kπ≤ωx-≤+2kπ,k∈Z, 得-+≤x≤+,k∈Z, 令k=0,得-≤x≤, 因为函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递增,所以≥,所以0<ω≤4, 即ω的取值范围是(0,4]. 解法二:因为0≤x≤,所以-≤ωx-≤-,又函数f(x)在上单调递增,所以-<-≤,解得0<ω≤4,即ω的取值范围是(0,4]. 14.ABD　对于A,f(x)和g(x)的最小正周期均为π,故A正确; 对于B,当x∈时,2x∈,所以f(x)单调递增,当x∈时,2x-∈,所以g(x)单调递增,故B正确; 对于C,将f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后得到函数f=sin的图象,故C错误; 对于D,f=sin=sin=g(x),故D正确. 15.答案　1 解析　因为y=2sin-3cos =2sin-3cos =2sin-3sin =-sin, 所以y≤1当2x+=2kπ-,k∈Z,即x=kπ-,k∈Z时取“=”,即ymax=1. 16.解析　(1)∵f(x)=2cos(ωx-φ)的最小正周期为4π,∴=4π,∴ω=, ∵f(x)的图象经过点(0,1), ∴f(0)=2cos(-φ)=2cos φ=1,解得cos φ=, ∵0<φ<π,∴φ=,∴f(x)=2cos, 令2kπ≤-≤2kπ+π,k∈Z, 得4kπ+≤x≤4kπ+,k∈Z, 故函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z. (2)当x∈[0,2π]时,-∈, 则cos∈, 故当-=0,即x=时,函数f(x)取得最大值2, 当-=,即x=2π时,函数f(x)取得最小值-1. 17.解析　(1)依题意得f =4sin=0, 则+φ=kπ,k∈Z,解得φ=-+kπ,k∈Z, 又|φ|<,所以φ=. (2)由(1)得f(x)=4sin, 令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z, 得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z. (3)由(2)及题得,g(x)=4sin, 由x∈,得4x+∈, 所以当4x+=-时,g(x)取得最小值,为4sin-=-2, 当4x+=时,g(x)取得最大值,为4sin =4, 故g(x)在上的值域为[-2,4]. 能力提升练 1.A 2.BC 3.B 4.D 5.ACD 7.D 8.D 9.C 1.A　因为函数f(x)=sin的图象关于点对称,所以ω×+=kπ,k∈Z,即+=k,k∈Z, 则<ω=2k-<3,k∈Z,故1<k<,k∈Z,所以k=2. 当k=2时,ω=,故f(x)的最小正周期为=, 所以y=|f(x)|的最小正周期为. 2.BC　由题意可得f=2sin=±1,故2×++φ=+kπ,k∈Z,故φ=-+kπ,k∈Z, 又因为|φ|<,所以φ=-,故A错误,B正确; f(x)=2sin=2sin, 则f=2sin2+=2sin=2cos 2x,为偶函数,故C正确; f=2sin2+=2sin,不是奇函数,故D错误. 技巧点拨 　　若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的图象关于直线x=a对称,则直线x=a必过该图象的最高点或最低点,故有f(a)=±A. 3.B　因为函数f(x)=sin(ω>0)的周期T=π, 所以ω==2,所以f(x)=sin, 令2x+=kπ(k∈Z),得x=-+(k∈Z),所以f(x)=sin的图象的对称中心为(k∈Z), 因为f(x1)+f(x2)=0,所以f(x1)=-f(x2), 所以点(x1,f(x1))与点(x2,f(x2))关于(k∈Z)对称,所以x1+x2= -+kπ(k∈Z), 因为x1<0<x2,所以x1与x2越靠近0,|x1-x2|越小, 当x1=0时,x2=,此时|x1-x2|=, 当x2=0时,x1=-,此时|x1-x2|=, 又x1,x2均不为0,所以|x1-x2|>. 4.D　由题图可知A=2,则f(x)=2sin(ωx+φ). 设C(0,yC),由B,得BC==,即+=, 所以yC=-(由题中图象可知C点纵坐标为负). 因为C(0,-)在f(x)=2sin(ωx+φ)的图象上, 所以f(0)=2sin φ=-,即sin φ=-, 又因为|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=2sin. 因为B在f(x)=2sin的图象上, 所以2sin=0,故ω-=kπ,k∈Z, 解得ω==+,k∈Z. 设T为函数f(x)的最小正周期, 由题中图象可知,所以<T<5,又T=,所以<<5,所以<ω<, 令<+<,k∈Z,可得k=1, 此时ω=+=,满足条件, 所以f(x)=2sin, 令x-=mπ+(m∈Z),解得x=2m+(m∈Z),所以f(x)的图象的对称轴方程为x=2m+(m∈Z). 当x=时,m=1,而x=,x=1,x=3都不满足x=2m+(m∈Z),故D正确. 5.ACD　由题图可得A=2,函数f(x)的最小正周期T=4=π,所以ω==2,所以f(x)=2sin(2x+φ), 把代入,得sin=0,即2×+φ=kπ,k∈Z, 又|φ|<,所以φ=,故A正确; 由上述分析知f(x)=2sin, 当x=时,f(x)=2sin=-1,不是最值,故函数f(x)的图象不关于直线x=对称,故B错误; 将f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度,得到函数y=2sin=2sin 2x的图象,故C正确; 因为x∈,所以2x+∈[0,π], 故2x1++=π,即x1+x2=, 所以cos(x1+x2)=,故D正确. 6.解析　(1)因为f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为,所以最小正周期T=π. (2)由(1)得ω==2,故f(x)=Asin(2x+φ). 选条件①②:由题知f(x) min=-A=-2,所以A=2. 因为f(x)图象的一个对称中心为, 所以2×+φ=kπ(k∈Z), 又|φ|<,所以φ=, 所以f(x)=2sin. 选条件①③:由题知f(x) min=-A=-2,所以A=2. 因为f(x)的图象过点,所以2sin=-1,即sin=-, 又因为|φ|<,所以<+φ<, 所以φ+=,解得φ=, 所以f(x)=2sin. 选条件②③:因为f(x)图象的一个对称中心为, 所以2×+φ=kπ(k∈Z),所以φ=kπ-(k∈Z). 因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=Asin. 因为f(x)的图象过点,所以Asin=-1,即-A=-1,所以A=2,所以f(x)=2sin. (3)由(2)知,f(x)=2sin. 因为x∈[0,a],所以2x+∈, 因为f(x)图象的对称轴只有一条落在区间[0,a]上, 所以≤2a+<,所以≤a<, 所以实数a的取值范围为. 7.D　由题意得0<cos 2x≤1,则2kπ-<2x<2kπ+,k∈Z,即kπ-<x<kπ+,k∈Z. 因为y=log2t在t∈(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)=log2(cos 2x)的单调递减区间即为函数y=cos 2x的单调递减区间, 令2kπ≤2x≤π+2kπ,k∈Z,得kπ≤x≤+kπ,k∈Z. 所以函数f(x)=log2(cos 2x)的单调递减区间为kπ,+kπ(k∈Z). 结合以上分析得函数f(x)=log2(cos 2x)的值域为(-∞,0]. 8.D　由f(x)=sin(2x+φ)满足f(x)≤f,得f=1, 则2×+φ=+kπ,k∈Z,得φ=+kπ,k∈Z, 又0<φ<π,所以φ=,则f(x)=sin, 由0<x1<π,0<x2<π,得<2x1+<,<2x2+<, 又f(x1)=f(x2)=-<0,x1<x2, 所以π<2x1+<,<2x2+<2π, 则2x1++2x2+=2×,解得x1+x2=, 所以sin(x1+x2)=sin =-. 9.C　由≤x≤,ω>0,可得-≤ωx-≤-, 依题意得-+2kπ≤-<-≤+2kπ,k∈Z, 解得-2+12k≤ω≤2+6k,k∈Z(*). 又-≤=,ω>0,所以0<ω≤6, 结合(*)式得k=0,即0<ω≤2. 由≤x≤,ω>0,得-≤ωx-≤-, 因为对任意x∈,都有f(x)≥0,所以2mπ≤-<-≤π+2mπ,m∈Z, 解得+18m≤ω≤+8m,m∈Z, 又因为0<ω≤2,所以m=0,即≤ω≤2. 综上,可得ω的取值范围为. 方法总结 　　已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在某区间上单调,求参数的取值范围时,可将ωx+φ视为一个整体,求出该整体的范围,再与函数y=sin x的单调区间类比,从而得到关于参数的不等式(组)并求解. 10.答案　4 解析　由当x=-时,f(x)取得最值,且当x∈时,f(x)单调递增, 可知当x=-时,f(x)取得最小值, 设f(x)的最小正周期为T,则T≥-=,解得T≥π,故≥π,又ω>0,所以0<ω≤2, 又0<φ<,所以-<-+φ<,0<+φ<, 又sin=-1,f=0, 所以-+φ=-①,+φ=π②, 联立①②,解得ω=2,φ=,故f(x)=sin, 当x∈[-π,π]时,2x+∈, 令f(x)=0,则2x+=-π或2x+=0或2x+=π或2x+=2π, 解得x=-或x=-或x=或x=, 故f(x)在[-π,π]上的零点个数为4. 11.解析　(1)因为f(x)=sin(ωx+φ), 所以f(x)max=,f(x) min=-, 依题意可得解得φ=-, 设f(x)的最小正周期为T,因为当|f(x1)-f(x2)|=2时,|x1-x2|的最小值为π,所以T=π,所以T=2π, 又T=,ω>0,所以ω=1, 所以f(x)=sin. (2)将y=f(x)图象上的所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,得到y=sin的图象,再将所得图象上的所有点向左平移个单位长度,得到g(x)=sin=sin的图象, 当x∈(0,m)时,2x+∈, 因为g(x)在区间(0,m)上有最大值没有最小值, 所以<2m+≤,解得<m≤, 即实数m的取值范围为. 7 学科网（北京）股份有限公司 $