第1章 §5 5.1 正弦函数的图象与性质再认识（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（北师大版）

§5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 5.1　正弦函数的图象与性质再认识 基础过关练 题组一　正弦函数的图象 1.以下对正弦函数y=sin x的图象的描述不正确的是 (　　) A.当x∈[2kπ,2kπ+2π](k∈Z)且k取不同值时的图象形状相同,只是位置不同 B.介于直线y=1与直线y=-1之间 C.关于x轴对称 D.与y轴仅有一个交点 2.(2025江西南昌新建二中月考)函数y=1+sin x(x∈[0,2π])的大致图象是(　　) 3.(2024四川绵阳期末)函数f(x)=-sin|x|在区间[-π,π]上的图象大致是(　　) 　　　　　　 题组二　正弦函数图象的应用 4.(2025四川内江第一中学月考)已知x∈,则不等式2sin x+1≥0的解集是(　　)　 　　　　 A.　　B. C.　　D. 5.(2025甘肃平凉静宁六校联考)在△ABC中,“sin A>”是“A>”的(　　) A.必要不充分条件　　 B.充分不必要条件 C.充要条件　　 D.既不充分也不必要条件 6.(2024浙江温州联考)已知a为实数,且满足a=sin x+1(x∈[-π,π])的x的值只有1个,则实数a的值为(　　) A.0　　B.1　　C.1或2　　D.0或2 7.(2025浙江杭州仁和实验学校期末)函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数,例如,[-3.5]=-4,[2.1]=2,则方程[x]-sin x=0的根的个数为(　　) A.0　　B.1　　C.2　　D.3 8.(2023河南开封通许第一高级中学期末)函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围为(　　) A.[0,3]　　B.[1,3]　　C.(1,3)　　D.(0,3) 9.(2025福建福州质量检测)函数f(x)=sin x-,x∈(0,π)恰有两个零点x1,x2,则f(x1+x2)=　　　　.  10.用“五点(画图)法”作出函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的大致图象,并写出使1≤y≤2 成立的x的取值范围. 题组三　正弦函数的性质及应用 11.(2025辽宁名校联盟联合考试)若命题“∃x∈R,sin x<a”是假命题,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,1]　　B.(-∞,1) C.(-∞,-1]　　D.(-∞,-1) 12.(多选题)(2025浙江杭州实验学校期末)已知函数f(x)=|sin x|,则(　　) A.f(x)的最小正周期为2π B.f(x)的最小正周期为π C.f(x)在区间π,上单调递增 D.f(x)为奇函数 13.(2025陕西咸阳模拟)已知x∈-,π,则函数y=的最大值是(　　) A.　　B.1　　C.　　D.2 14.(2025上海高境第一中学月考)函数f(x)=2sin x+1的图象的对称轴方程是　　　　.  15.(2025河南南阳六校联考)函数y=的值域为　　　　.  16.(2024上海建平中学一检)已知函数f(x)=sin x+x+x3+2,若f(m)=4,则f(-m)=　　　　.  17.(2024江苏扬州大学附属中学月考)已知f(x)=-sin2x+sin x+2,求f(x)在,上的值域. 18.判断下列每组中两个三角函数值的大小. (1)sin(-3)与sin(-2); (2)sin与sin; (3)sin与cos. 能力提升练 题组一　正弦函数的图象及应用 1.(2025四川成都树德中学阶段性测试)函数f(x)=sin x-的部分图象是(　　) 　　　　 　　 2.函数f(x)=(x-π)sin x+1在区间[-2π,4π]上的所有零点之和为　　(　　) A.0　　B.π　　C.4π　　D.8π 3.(多选题)(2025河南驻马店月考)在平面直角坐标系内,曲线C由函数y=sin x(0≤x≤2π)和y=-sin x(0≤x≤2π)的图象构成,则下列说法一定正确的是(　　) A.曲线C关于点(π,0)中心对称 B.直线x=t(0≤t≤2π)被曲线C截得的弦最长为2 C.曲线C所围成区域的面积小于2π D.曲线C的周长大于14 题组二　正弦函数的性质及应用 4.已知函数f(x)=-4sin2 x+4sin x,x∈[0,a]的值域为[0,1],则实数a的取值范围为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 5.(多选题)(2024湖北荆门期末)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|,下列结论正确的是(　　) A.f(x)是偶函数 B.f(x)在区间上单调递减 C.f(x)的最大值为2 D.f(x)的周期为π 6.(2025黑龙江大庆实验中学开学考试)设函数f(x)=sin x+,若f(x1)f(x2)=2[f(x1)-f(x2)-1],则|x1-x2|的最小值为(　　) A.π　　B.　　C.2π　　D.3π 7.(2024湖北武汉华中师大一附中期末)已知x,y∈,则“x3+y3> -sin x-sin y”是“x+y>0”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 8.已知函数f(x)=ln+sin x,则关于a的不等式f(a-2)+f(a2-4)<0的解集是　　　　.  9.已知函数f(x)=,且f(x-2)+f(-x)-a>0. (1)a的取值范围为　　　　;  (2)f(x)的最大值与最小值的和为　　　　. 10.(2025北京第一六一中学月考)已知函数f(x)=2sin2x- asin x+1,x∈[0,π].  (1)当a<0时,求f(x)的最大值; (2)若f(x)在[0,π]上有零点,求实数a的最小值. 答案与分层梯度式解析 §5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 5.1　正弦函数的图象与性质再认识 基础过关练 1.C 2.A 3.A 4.C 5.B 6.D 7.C 8.C 11.C 12.BC 13.C 1.C　由正弦函数y=sin x的图象可知,C项不正确. 2.A　根据“五点(画图)法”找出五个关键点,分别为(0,1),,(π,1),,(2π,1),依此五点判断可知A项符合. 3.A　f(-x)=-sin|-x|=-sin|x|=f(x),故f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,排除B,C;当x∈(0,π)时,f(x)=-sin x<0,排除D. 4.C　由2sin x+1≥0得sin x≥-,在同一平面直角坐标系内作出函数y=sin x,x∈的图象及直线y=-,如图所示, 由图可知,原不等式的解集为. 5. B　在△ABC中,0<A<π,在同一平面直角坐标系中作出函数y= sin x,x∈(0,π)的图象及直线y=,如图所示, 由图可知,当sin A>时,<A<, 因为⫋, 所以“sin A>”是“A>”的充分不必要条件. 6. D　在同一平面直角坐标系内作出直线y=a及函数y=sin x+1(x∈ [-π,π])的图象,如图所示, 由图可知,当直线y=a与曲线y=sin x+1在x∈[-π,π]上只有1个交点时,a=0或a=2. 7.C　方程[x]-sin x=0的根的个数等价于函数y=f(x)=[x]与y=sin x的图象的交点个数, 当x<-1时,[x]≤-2,两个图象没有交点; 当-1≤x<0时,[x]=-1,两个图象没有交点; 当0≤x<1时,[x]=0,两个图象有1个交点; 当1≤x<2时,[x]=1,两个图象有1个交点; 当x≥2时,[x]≥2,两个图象没有交点. 故两个函数图象共有2个交点,即方程[x]-sin x=0的根的个数为2. 8.C　f(x)=sin x+2|sin x|= 在同一平面直角坐标系中作出f(x)的图象和直线y=k,如图所示, 若使函数f(x)的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是(1,3). 9.答案　- 解析　因为函数f(x)=sin x-,x∈(0,π)恰有两个零点x1,x2,所以sin x1=,sin x2=,不妨设x1<x2, 在同一平面直角坐标系中作出函数y=sin x,x∈(0,π)的图象和直线y=,如图所示, 由图可得=,即x1+x2=π, 所以f(x1+x2)=f(π)=sin π-=-. 10.解析　按五个关键点列表如下: x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 y=1-sin x 1 0 1 2 1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示: 由图可知,当x∈{0}∪[π,2π]时,1≤y≤2成立. 11.C　因为“∃x∈R,sin x<a”是假命题,所以“∀x∈R,sin x≥a”是真命题,即a要小于或等于sin x的最小值, 又当x∈R时,sin x∈[-1,1],故a≤-1. 12.BC　解法一:因为f(x+π)=|sin(x+π)|=|sin x|=f(x),所以f(x)的最小正周期不是2π,故A错误; 假设存在0<T<π,满足∀x∈R,f(x+T)=f(x), 不妨取x=0,则f(T)=|sin T|=f(0)=|sin 0|=0, 而0<T<π,则sin T≠0,所以不存在比π更小的正周期, 故f(x)的最小正周期为π,故B正确; 当x∈π,时,y=sin x单调递减,且y∈[-1,0], 将y=sin x在π,上的图象沿着x轴翻折,即得y=|sin x|在π,上的图象, 故f(x)在区间上单调递增,故C正确; 因为f(x)=|sin x|的定义域为R,且f(-x)=|sin(-x)|=|sin x|=f(x)≠-f(x),所以f(x)是偶函数,故D错误. 解法二:作出函数f(x)=|sin x|的部分图象,如图所示, 由图可得,f(x)的最小正周期为π,且在区间π,上单调递增,为偶函数,所以B,C正确. 13.C　令u=sin x,则y=,易知y=在其定义域上单调递减, 因为x∈-,π,u=sin x在-,上单调递增,在,π上单调递减, 所以y=在-,上单调递减,在,π上单调递增, 当x=-时,y==,当x=π时,y==1, 所以函数y=的最大值是. 14.答案　x=+kπ(k∈Z) 解析　函数y=sin x的图象的对称轴方程是x=+kπ(k∈Z), 所以函数f(x)=2sin x+1的图象的对称轴方程是x=+kπ(k∈Z). 15.答案　[-3,1] 解析　解法一:y===3+, 因为-1≤sin x≤1,所以-3≤sin x-2≤-1,则-1≤≤-,-6≤≤ -2,-3≤3+≤1, 所以函数的值域为[-3,1]. 解法二:由y=得ysin x-2y=3sin x, 易知y≠3,则sin x=,由|sin x|≤1,得≤1, 即4y2≤(y-3)2,解得-3≤y≤1, 所以函数的值域为[-3,1]. 方法总结 　　求解y=(ac≠0)型函数的值域的两种方法: (1) 反解出sin x,得到sin x=f(y),再根据-1≤sin x≤1列出不等式-1≤f(y)≤1,此不等式的解集即为原函数的值域. (2)利用分离常数法,化为只有分母含sin x的函数,然后利用 sin x的有界性,求得值域. 16.答案　0 解析　设F(x)=f(x)-2=sin x+x+x3,则F(x)的定义域为R,关于原点对称, ∵F(-x)=-F(x),∴F(x)是奇函数, ∵f(m)=4,∴F(m)=f(m)-2=2, ∴F(-m)=-F(m)=-2,即F(-m)=f(-m)-2=-2, ∴f(-m)=0. 一题多解 由f(x)=sin x+x+x3+2得f(x)+f(-x)=sin x+x+x3+2+sin(-x)+(-x)+ (-x)3+2=4, 所以f(m)+f(-m)=4+f(-m)=4,即f(-m)=0. 17.解析　对于f(x)=-sin2x+sin x+2, 当x∈时,sin x∈, 令t=sin x,则t∈, 原函数等价为g(t)=-t2+t+2=-+, 故g(t)在上单调递增,在上单调递减, 又g=,g=,g(1)=, 所以f(x)min=,f(x)max=, 所以f(x)∈. 18. 解析　(1)∵y=sin x在上单调递减,-<-3<-2<-, ∴sin(-3)>sin(-2). (2)sin=sin=sin, ∵y=sin x在上单调递增,且-<-<<, ∴sin<sin,即sin>sin. (3)sin=sin=sin=-sin,cos=cos=cos=cos=-sin, ∵y=sin x在上单调递减,且<<<, ∴sin>sin,∴-sin<-sin, ∴sin<cos. 能力提升练 1.A 2.D 3.ABD 4.C 5.AC 6.A 7.A 1.A　函数f(x)=sin x-的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, 因为f(-x)=sin(-x)-=-=-f(x), 所以f(x)为奇函数,其图象关于原点对称, 当x>0且x→0时,f(x)→-∞,故排除B,C; 又f=1->0,故排除D. 2.D　当x=π时,f(π)=0+1=1,所以π不是f(x)的零点.当x≠π时,令f(x)=(x-π)sin x+1=0,可得sin x=,在同一平面直角坐标系内作出函数y=sin x和y=的部分图象,如图, 它们均关于点(π,0)对称,由图象可知它们在[-2π,4π]上有8个交点,且这8个交点可分成4对关于点(π,0)对称的点,每对对称点的横坐标之和均为2π,所以这8个点的横坐标之和,即f(x)在区间[-2π,4π]上的所有零点之和,为8π. 3. ABD　对于A,由正弦函数的性质可知,函数y=sin x(0≤x≤2π)和y= -sin x(0≤x≤2π)的图象都关于点(π,0)中心对称,则曲线C也关于点(π,0)中心对称,故A正确; 对于B,直线x=t(0≤t≤2π)被曲线C截得的弦的长为|sin t- (-sin t)|=|2sin t|, 当t=或t=时取得最大值2,故B正确; 对于C,如图所示,记A,B, 则S△OAB=××1=, 易知曲线C所围成区域的面积大于8S△OAB=2π,故C错误; 对于D,结合C中分析知,曲线OA的长大于线段OA的长, 又OA==>, 所以曲线C的周长大于8OA=4, 又(4)2=208>196=142,所以4>14,故D正确. 4. C　设t=sin x,则f(x)=-4sin2x+4sin x可转化为g(t)=-4t2+4t= -4+1,所以g(t)≤g=1,且g(0)=0,又函数f(x)=-4sin2x+ 4sin x,x∈[0,a]的值域为[0,1],所以≤a≤π,故实数a的取值范围为. 方法总结 　　对于y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数的值域问题,常将sin x视为一个整体,将函数式看成关于sin x的“二次函数”,再通过配方法求值域. 5. AC　由题知,函数f(x)的定义域是R,关于原点对称,因为f(-x)= sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),所以f(x)为偶函数,故A正确; 当x∈[0,π]时,|x|=x,|sin x|=sin x≥0,所以f(x)=2sin x; 当x∈(π,2π)时,|x|=x,|sin x|=-sin x≥0,所以f(x)=0,所以f(x)的部分图象如图所示, 所以f(x)在上单调递增,故B错误; f(x)的最大值为2,故C正确; 由图象可知,函数f(x)不是周期函数,故D错误. 6.A　∵f(x1)f(x2)=2[f(x1)-f(x2)-1], ∴[f(x1)+2][f(x2)-2]=-6, ∵f(x)=sin x+,且-1≤sin x≤1, ∴-1≤f(x)≤+1, ∴+1≤f(x1)+2≤+3,-3≤f(x2)-2≤-1, ∴f(x1)+2>0恒成立,∴-3≤f(x2)-2<0, ∴[f(x1)+2][f(x2)-2]∈[(-3)×(+3),0×(+1)),即[f(x1)+2][f(x2)-2]∈[-6,0), 当且仅当f(x1)+2=+3,f(x2)-2=-3时, [f(x1)+2][f(x2)-2]=-6成立, ∴sin x1=1,sin x2=-1, ∴x1=2k1π+,k1∈Z,x2=2k2π-,k2∈Z, ∴|x1-x2|=|2(k1-k2)π+π|,k1∈Z,k2∈Z, ∴=π. 7.A　设F(x)=x3+sin x,x∈,定义域关于原点对称, 因为F(-x)=(-x)3+sin(-x)=-(x3+sin x)=-F(x), 所以函数F(x)为奇函数, 又y=x3与y=sin x在x∈上均单调递增, 所以函数F(x)在上单调递增. 若x3+y3>-sin x-sin y,则x3+sin x>-y3-sin y, 即F(x)>F(-y),所以x>-y,即x+y>0, 此时“x3+y3>-sin x-sin y”是“x+y>0”的充分条件; 当x+y>0,即x>-y时,有F(x)>F(-y), 即x3+sin x>-y3-sin y,即x3+y3>-sin x-sin y, 此时“x3+y3>-sin x-sin y”是“x+y>0”的必要条件. 综上所述,“x3+y3>-sin x-sin y”是“x+y>0”的充要条件. 8.答案　(,2) 解析　由>0,得-1<x<1,故函数f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称. 因为f(-x)=ln+sin(-x)=-ln -sin x=-f(x), 所以f(x)为奇函数, 又f(a-2)+f(a2-4)<0, 所以f(a-2)<-f(a2-4)=f(4-a2). 由函数y==-1,y=sin x在(-1,1)上都单调递增,可得函数f(x)在其定义域上单调递增, 所以解得<a<2. 9.答案　(1)(-∞,2)　(2)2 解析　(1)由f(x)=,得f(x-2)+f(-x)=+ ==2, 所以2-a>0,即a<2,故a的取值范围为(-∞,2). (2)解法一:由(1)知,f(x-2)+f(-x)=2,则f(x)的图象关于点(-1,1)对称,所以f(x)max+f(x)min=2. 解法二:f(x)==1+, 记g(x)=,则g(x-1)=, 易知g(x-1)在R上为奇函数, 所以g(x)max+g(x)min=g(x-1)max+g(x-1)min=0, 所以f(x)max+f(x)min=1+g(x)max+1+g(x)min=2. 10.解析　(1)令m=sin x,则m∈[0,1],原函数等价为g(m)=2m2-am+1,m∈[0,1],易知此函数在R上的图象开口向上,对称轴方程为m=, 当a<0时,m=<0,则函数g(m)在[0,1]上单调递增, 所以g(m)max=g(1)=2-a+1=3-a, 即f(x)的最大值为3-a. (2)令t=sin x,则t∈[0,1], 则f(x)在[0,π]上有零点等价于y=2t2-at+1在[0,1]上有零点, 当t=0时,2×02-a×0+1=1≠0,所以只需研究t∈(0,1]时的情况, 令2t2-at+1=0,则a=2t+,t∈(0,1], 因为2t+≥2=2, 当且仅当2t=,即t=时,等号成立, 所以a≥2,即a的最小值为2. 7 学科网（北京）股份有限公司 $