第1章 §4 4.3 诱导公式与对称4.4诱导公式与旋转（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（北师大版）

4.3　诱导公式与对称　4.4　诱导公式与旋转 基础过关练 题组一　给角求值 1.(2024江西吉安泰和中学月考)sin 300°cos 0°的值为(　　) A.0　　B.　　C.-　　D.- 2.(2025陕西多校月考)sin +cos =　　　　.  3.(2025安徽蚌埠月考)已知函数f(x)=,则f=　　　　.  4.计算下列各式的值: (1)sin+cos+cos(-5π)+tan; (2)sin(-1 200°)cos 1 290°. 题组二　给值求值 5.(2025河北衡水联考)已知锐角α满足+=4,则=(　　) A.-1　　B.4　　C.　　D.2 6.(多选题)(2025河北沧州盐山中学月考)在平面直角坐标系xOy中,若角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(3a,-4a)(a≠0),则cos+2sin(π+α)+2sin的值为(　　) A.-　　B.-2　　C.　　D.2 7.(2024江西宜春中学月考)已知cos=,则sin=　　　　.  8.(2025江西上饶余干蓝天中学月考)已知α为第二象限角,f(α)=,若f=,求sin,cos的值. 题组三　化简、证明 9.(2025浙江四校联考)在△ABC中,下列等式一定成立的是(　　) A.sin =-cos B.cos =-cos C.sin(2A+2B)=-sin 2C D.cos(2A+2B)=-cos 2C 10.化简:(k∈Z). 11.求证:sin=cos2nπ+(-1)n·(n∈Z). 题组四　诱导公式的综合应用 12.(多选题)已知函数f(x)=sin,则以下结论恒成立的是(　　) A.f(-x)=-f(x)　　B.f(-x)=f(x) C.f(2π-x)=f(x)　　D.f(π+x)=f(2π-x) 13.(2023江苏南通中学开学考试)已知f(sin x)=cos 3x,则f(cos 10°)的值为(　　) A.-　　B.±　　C.　　D. 14.(2024江西抚州月考)从cos,sin ,cos ,sin ,sin 这五个数中任取两个数,则这两个数相等的概率为　　　　.  15.(2025上海青浦高级中学质量检测)已知sin A1+sin A2+…+ sin A2 025=2 025,则sin(A1+A2+…+A2 025)=　　　　.  16. (创新题)(2025上海南洋模范中学月考)在数学史上,为了三角计算的简便以及计算的精确性,曾经出现过下列两种三角函数:定义1- cos θ为角θ的正矢,记作versin θ,定义1-sin θ为角θ的余矢,记作coversin θ,则下列命题正确的是　　　　.  ①versin =; ②versin(π-θ)-coversin=0; ③若=2,则=-; ④函数f(x)=versin+coversin2 025x+的最大值为2+. 17.(2023北京顺义期末)在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于第一象限内的点P. (1)求y1的值; (2)将角α的终边绕坐标原点O按逆时针方向旋转角β后与单位圆交于点Q(x2,y2),请从下面的①、②、③这三个条件中任意选择一个作为已知条件,求的值. ①β=;②β=π;③β=. 答案与分层梯度式解析 4.3　诱导公式与对称　4.4　诱导公式与旋转 基础过关练 1.D 5.B 6.BD 9.C 12.AC 13.B 1.D　sin 300°cos 0°=sin(360°-60°)=sin(-60°)=-sin 60°=-. 2.答案　-1 解析　sin +cos =sin+cos=sin+cos=-sin -cos =--=-1. 3.答案　- 解析　f(x)===sin x, 所以f=sin =sin=sin =sin=-sin =-. 4.解析　(1)sin+cos+cos(-5π)+tan =sin+cos+cos π+1=-1+0-1+1=-1. (2)原式=-sin(120°+3×360°)cos(210°+3×360°) =-sin 120°cos 210° =-sin(180°-60°)cos(180°+30°) =sin 60°cos 30° =×=. 5.B　由+=4,得-=4, 因为α是锐角,所以cos α>0, 令=t,则t>0,t2-3t-4=0,解得t=4或t=-1(舍去), 所以=4. 6.BD　由三角函数的定义得cos α==,sin α==, 当a<0时,则cos+2sin(π+α)+2sin=sin α-2sin α+2cos α=-sin α+2cos α=-+2×=-2; 当a>0时,则cos+2sin(π+α)+2sin=-sin α+2cos α=+2×=2. 故cos+2sin(π+α)+2sin的值为2或-2. 7.答案　- 解析　sin=sin=-cos=-. 方法总结 　　利用诱导公式解决给值求值问题时,先寻找未知角与已知角之间的联系,再利用诱导公式把未知角的三角函数用已知角的三角函数表示出来,从而得到结果. 8.解析　f(α)===cos α, 因为f=,所以cos=, 因为+=, 所以sin=sin-=cos=, 因为+=π, 所以cos=cosπ--α=-cos-α=-. 9.C　∵A+B+C=π,∴=-,2A+2B=2π-2C, ∴sin =sin=cos ,cos =cos=sin ,sin(2A+2B)=sin(2π-2C)=sin(-2C)=-sin 2C,cos(2A+2B)=cos(2π-2C)=cos(-2C)=cos 2C,故C正确. 10.解析　当k=2n(n∈Z)时, 原式= ===-1; 当k=2n+1(n∈Z)时, 原式= ===-1. 综上,原式=-1. 易错警示 　　在化简含参的三角函数式时,要注意对参数进行分类讨论. 11.证明　①当n=2k,k∈Z时, 左边=sin=sin=, 右边=cos=cos=, 左边=右边,则原等式成立; ②当n=2k+1,k∈Z时, 左边=sin=sin =sin=, 右边=cos2(2k+1)π+(-1)2k+1·=cos =cos=, 左边=右边,则原等式成立. 综上,sin=cos2nπ+(-1)n·(n∈Z). 12.AC　f(-x)=sin=-sin=-f(x),故A正确,B错误; f(2π-x)=sin=sin=sin=f(x),故C正确; f(π+x)=sin=sin=cos,又由C中分析知f(2π-x)=sin ,所以f(π+x)≠(2π-x),故D错误. 13.B　因为f(sin x)=cos 3x,cos 10°=sin 80°, 所以f(cos 10°)=f(sin 80°)=cos 240°=cos(180°+60°)=-cos 60°=-. 又因为cos 10°=sin 100°, 所以f(cos 10°)=f(sin 100°)=cos 300°=cos(360°-60°)=cos 60°=, 故f(cos 10°)=±. 14.答案　 解析　由诱导公式可得cos=cos=sin =sin= sin ,cos =sin+=sin . 易知从五个数中任取两个数,有10种不同的情况,cos,sin , sin 这三个数相等,从这三个数中任取两个数,有3种不同的情况, cos 与sin 相等,取出这两个数,有1种情况, 故从五个数中取出的两个数相等的情况有3+1=4(种),所以所求概率为=. 15.答案　1 解析　因为sin An∈[-1,1],且sin A1+sin A2+…+sin A2 025=2 025, 所以sin A1=sin A2=…=sin A2 025=1,故An=+2kπ,k∈Z,n=1,2,…, 2 025, 所以A1+A2+…+A2 025=+2 025×2kπ=+1 012π+2 025×2kπ,k∈Z, 所以sin(A1+A2+…+A2 025)=sin =1. 16.答案　②③ 解析　versin =1-cos =1-cos=1+cos =,①错误; versin(π-θ)-coversin=1-cos(π-θ)-1+sin-θ=cos θ-cos θ=0,②正确; 因为===2, 所以sin x=2cos x, 则===-,③正确; f(x)=versin+coversin =1-cos+1-sin =2-sin-sin =2-2sin, 当sin=-1时,f(x)取得最大值,且最大值为4,④错误. 17.解析　(1)因为角α的终边与单位圆交于第一象限内的点P,所以解得y1=. (2)易得sin α=,cos α=,sin(α+β)=y2,cos(α+β)=x2. 若选条件①β=,则===-. 若选条件②β=π,则===. 若选条件③β=,则===-. 7 学科网（北京）股份有限公司 $