第1章 §8 三角函数的简单应用（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦三角函数模型的应用，通过简谐振动、室温变化等实际问题导入，衔接三角函数图像与性质，借助知识辨析、典例分析搭建学习支架，引导学生掌握从实际问题抽象为三角函数模型的过程。 其亮点在于结合电流强度、港口水深、摩天轮高度等跨学科实例，以“审清题意-建立模型-求解模型-得出结论”四步培养数学建模与数学运算素养，帮助学生用数学眼光观察现实世界，教师可直接利用实例开展教学，提升学生解决实际问题的能力。

§8　三角函数的简单应用 知识点　三角函数模型的应用 必备知识 清单破 知识点 1.周期现象是自然界中最常见的现象之一,三角函数是研究周期现象最重要的数学模型. 2.面对实际问题建立数学模型,是一项重要的基本技能.这个过程就是把问题提供的“条件” 逐条地“翻译”成“数学语言”,从而解决实际问题. 第一章　三角函数 高中同步 知识辨析 1.物体的简谐振动是一种常见的运动,其最大的特点是什么? 2.某实验室一天的室温(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似地满足函数关系:f(t)=10-2sin  ,t∈[0,24),则该实验室这一天的温差是多少? 第一章　三角函数 高中同步 一语破的 1.周而复始.常利用三角函数模型来模拟这类运动. 2.4 ℃.该实验室这一天的最高室温为12 ℃,最低室温为8 ℃,温差为4 ℃. 第一章　三角函数 高中同步 关键能力 定点破 三角函数模型在物理中的应用 定点 1 1.三角函数模型在物理中的应用常涉及单摆运动、电流强度变化、机械波等,其共同的特点 是具有周期性. 2.研究关于周期现象的简单实际问题,关键是将实际问题转化为三角函数模型. 第一章　三角函数 高中同步 典例 已知表示电流强度I(安)与时间t(秒)的函数关系式为I=Asin(ωt+φ) A>0,ω>0,|φ|<  . (1)若电流强度I(安)与时间t(秒)的函数关系的部分图象如图所示(实线部分),试根据图象写出 I=Asin(ωt+φ)的解析式;   (2)若在任意一段 秒的时间t内电流强度I能同时取到最大值A与最小值-A,那么正整数ω的 最小值是多少? 第一章　三角函数 高中同步 解析    (1)由题图知,A=300, T= - -  = ,∴ω= =100π. 由题图知100π× +φ=2kπ,k∈Z, 解得φ=2kπ- ,k∈Z, ∵|φ|< ,∴φ= , ∴I=300sin (t≥0). (2)问题等价于T≤ ,即 ≤ , ∴ω≥200π≈628.3, ∴正整数ω的最小值为629. 第一章　三角函数 高中同步 　三角函数模型在生活中的应用  　　在现实生活中,有大量的运动变化现象在一定范围内呈现出近似周期变化的特点,这些 现象涉及的问题可借助三角函数知识来解决. 定点 2 第一章　三角函数 高中同步 典例1 下表是某地某年的月平均气温(华氏度)统计表: 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温/ 华氏度 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温/ 华氏度 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 第一章　三角函数 高中同步 以月份为x轴(x=月份-1),月平均气温为y轴. (1)用正弦曲线去拟合这些数据; (2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A; (3)下面三个函数模型中,哪一个最符合这些数据? ① =cos ;② =cos ;③ =cos . 第一章　三角函数 高中同步 解析    (1)如图.   (2)最低月平均气温为1月份的21.4华氏度,最高月平均气温为7月份的73.0华氏度,故 =7-1=6, 所以T=12. 因为2A的值等于最高月平均气温与最低月平均气温的差,即2A=73.0-21.4=51.6, 所以A=25.8. (3)因为x=月份-1,所以不妨取x=2-1=1,y=26.0, 第一章　三角函数 高中同步 代入①,得 = >1≠cos ,故①不符合; 代入②,得 = <0≠cos ,故②不符合; 代入③,得0< = <1,所以③符合. 所以③最符合这些数据. 第一章　三角函数 高中同步 典例2 某研究小组调查了某港口的水深情况,发现水深在一天(24小时)之内呈周期性变化,且 符合函数y=f(t)=Asin(ωt+φ)+k A>0,ω>0,- <φ<  ,其中f(t)为水深(单位:米),t为时间(单位:小 时),且t∈[0,24).研究小组绘制了水深变化图,部分信息如下: (1)求f(t)的解析式; (2)某艘货船满载时吃水深度为4.5米,空载时吃水深度为2.5米,按安全条例规定,港口内的船 只底部与海底至少要有1.5米的安全间隙. ①问该船满载时一天之内何时能安全进出港口? ②该船凌晨3时已经在港口卸货完毕准备空载离港,为确保安全,需至少在安全水深最低前半 小时离港,问最迟在几时之前离港才能确保安全? 第一章　三角函数 高中同步 解析    (1)由题意得A= =2,k= =5,T=2×(8-2)=12= ,∴ω= . 当t=2时,f(t)取得最大值, ∴2× +φ=2kπ+ ,k∈Z, 又φ∈ , ∴φ= ,∴f(t)=2sin +5,t∈[0,24). (2)①由(1)及题意得2sin +5≥4.5+1.5,即sin  t+  ≥ , ∴2kπ+ ≤ t+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 解得12k≤t≤12k+4,k∈Z. ∵t∈[0,24),∴0≤t≤4或12≤t≤16, 第一章　三角函数 高中同步 ∴该船满载时一天之内从0时到4时或从12时到16时能安全进出港口. ②空载离港时水深至少要有2.5+1.5=4(米), 由2sin +5≥4,得sin ≥- , ∴2kπ- ≤ t+ ≤2kπ+ ,k∈Z, ∴12k-2≤t≤12k+6,k∈Z, 又t∈[0,24), ∴0≤t≤6或10≤t≤18或22≤t≤24, ∵6-0.5=5.5, ∴5时30分之前离港才能确保安全. 第一章　三角函数 高中同步 通过三角函数的应用发展数学建模、数学运算的素养 学科素养 情境破 素养 素养解读 　　应用三角函数模型解决实际问题时,首先要把实际问题抽象为数学问题,即建立三角函 数模型,然后对建立的三角函数模型进行分析研究,运用三角函数的有关知识进行推理、运 算,使问题得到解决. 第一章　三角函数 高中同步 典例呈现 例题 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可 以从高处俯瞰四周景色.已知某摩天轮的最高点距离地面的高度为120 m,直径为110 m,设置 有48个座舱,开启后按逆时针方向匀速旋转,游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,转一 周大约需要30 min. (1)如图,建立平面直角坐标系,游客甲在P处坐上摩天轮的座舱,开始转动t min后距离地面的 高度为H m,求转动一周的过程中,H关于t的函数解析式; (2)求游客甲在开始转动10 min后距离地面的高度; (3)若甲、乙两人先后分别坐在两个相邻的座舱里,两人的位置分别用点A,B表示,在运行一周 的过程中,求经过t min后,乙距离地面的高度H'的函数解析式,并求出两人距离地面高度相等的时刻t(精确到0.1). 第一章　三角函数 高中同步 解题思路    (1)设H=A1sin(ωt+φ)+B1, 则由题意得 所以  所以H=55sin +65,0≤t≤30. (2)当t=10时,H=55sin +65=92.5. 所以游客甲在开始转动10 min后距离地面的高度为92.5 m. 第一章　三角函数 高中同步 (3)解法一:由题意得∠AOB= = ,经过t min后甲距离地面的高度H=55sin +65,此 时乙距离地面的高度H'=55sin +65=55sin +65. 令H=H',即sin =sin ,0≤t≤30,则 + =π,解得t= ≈15.3. 综上,H'=55sin +65,0≤t≤30,两人距离地面高度相等的时刻t约为15.3. 解法二:当甲、乙两人距离地面的高度相等时,甲、乙位于最高点的两侧,且具有对称性. 由题意得∠AOB= = , 又转一周大约需要30 min, 所以甲从最低点开始转动,转过π+ = ,乙从最低点开始转动,转过π- = ,此时t=15+ 第一章　三角函数 高中同步  × = ≈15.3. 同解法一知,H'=55sin +65,0≤t≤30.综上,H'=55sin +65,0≤t≤30,两人距 离地面高度相等的时刻t约为15.3. 第一章　三角函数 高中同步 思维升华 解与三角函数有关的应用问题的基本步骤 (1)审清题意:读懂题目中的“文字”“图象”“符号”等语言,理解所反映的实际问题的背 景,提炼出相应的数学问题. (2)建立函数模型:整理数据,引入变量,找出变化规律,运用已掌握的三角函数知识、物理知识 及其他相关知识建立关系式,即建立三角函数模型. (3)求解函数模型:利用所学过的三角函数知识求解建立的三角函数模型. (4)得出结论:将所得结果翻译成实际问题的答案,并检验. 第一章　三角函数 高中同步 $