第1章 §7 正切函数（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦正切函数，系统涵盖定义、诱导公式、图象与性质（定义域、值域、周期性等），通过关联已学的正弦余弦函数导入，构建三角函数知识脉络，为后续学习提供支架。 其亮点在于通过知识辨析（如周期、单调性易错点）和典例解析（换元法求值域、整体代换求单调区间），培养学生数学思维（推理能力、运算能力）与数学语言表达。学生能深化理解，教师可提升教学效率，助力核心素养落地。

§7　正切函数 　正切函数的定义 　　根据函数的定义,比值     是x的函数,称为x的正切函数,记作y=tan x,其中定义域为 x ∈R x≠ +kπ,k∈Z . 若在角α的终边上任取一点Q(x,y)(x≠0),则tan α= . 必备知识 清单破 知识点 1 第一章　三角函数 高中同步 　正切函数的诱导公式 tan(kπ+x)=tan x(k∈Z);tan(-x)=-tan x; tan(π+x)=tan x;tan(π-x)=-tan x; tan =- ;tan = . 其中x∈R,x≠ +kπ,k∈Z. 知识点 2 第一章　三角函数 高中同步 　正切函数y=tan x的图象与性质 知识点 3 函数 y=tan x 图象(正 切曲线)   定义域      x∈R x≠kπ+ ,k∈Z  值域 R 周期性 是周期函数,最小正周期为π 第一章　三角函数 高中同步 奇偶性 奇函数 单调性 在 (k∈Z)上单调递增 图象的 对称性 图象是中心对称图形,对称中心为      ,k∈Z 第一章　三角函数 高中同步 知识辨析 1.由正切函数y=tan x的周期为π,可知函数y=|tan x|的周期为 ,对吗? 2.正切函数y=tan x在定义域内是增函数吗? 3.正切曲线有对称性吗? 4.正切曲线的对称中心一定是曲线上的点吗? 第一章　三角函数 高中同步 一语破的 1.不对.函数y=|tan x|的周期为π. 2.不是.正切函数y=tan x在每一个区间 - +kπ, +kπ (k∈Z)上单调递增,但在整个定义域上 不具有单调性. 3.有.正切曲线存在对称中心,且有无数个,其对称中心为 (k∈Z),不存在对称轴. 4.不一定.如点 是正切曲线的对称中心,但它不在曲线上.关键能力定点破 第一章　三角函数 高中同步 与正切函数有关的函数的定义域、值域问题  定点 1 关键能力 定点破 1.(1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了满足函数定义域的一般要求外,还要保证正 切函数y=tan x有意义,即x≠ +kπ,k∈Z. (2)求正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0)的定义域时,要将ωx+φ视为一个整体,令ωx+φ≠kπ+ ,k ∈Z,从而解得x的范围. 2.求与正切函数有关的函数的值域时,要注意函数的定义域,在定义域内求值域;求由正切函 数复合而成的函数的值域时,常利用换元法,求解时要注意新元的范围. 第一章　三角函数 高中同步 典例 (1)求函数y=3tan 的定义域; (2)求函数y=tan2x-2tan x 的值域. 思路点拨    (1)把 - 看作一个整体,借助正切函数的定义域求解;(2)换元,将原函数转化为二 次函数求解. 第一章　三角函数 高中同步 解析    (1)令 - ≠ +kπ,k∈Z, 解得x≠- -4kπ,k∈Z, 即函数的定义域为 x x≠- -4kπ,k∈Z . (2)令u=tan x. 因为|x|≤ ,所以由正切函数的图象(如图),知u∈[- , ],   第一章　三角函数 高中同步 所以原函数可化为y=u2-2u,u∈[- , ], 由二次函数的性质可知,当u=1时,y取得最小值,且ymin=12-2×1=-1, 当u=- 时,y取得最大值,且ymax=(- )2-2×(- )=3+2 , 所以原函数的值域为[-1,3+2 ]. 第一章　三角函数 高中同步 　正切(型)函数的单调性及其应用  定点 2 1.函数y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω≠0,φ是常数)的单调区间的求法 (1)若ω>0,由于y=tan x在每一个区间 ,k∈Z上都单调递增,故可用“整体代 换”的思想,令kπ- <ωx+φ<kπ+ ,k∈Z,解得的x的取值集合即为原函数的单调递增区间. (2)若ω<0,则可先利用诱导公式把y=Atan(ωx+φ)转化为y=-Atan(-ωx-φ),即先把x的系数化为正 数,再利用“整体代换”的思想,令kπ- <-ωx-φ<kπ+ ,k∈Z,解得的x的取值集合即为原函数 的单调递减区间. 2.利用正切函数的单调性比较大小的步骤 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一个单调区间内; (2)运用单调性比较大小. 第一章　三角函数 高中同步 典例 (1)求函数y=tan 的单调区间; (2)比较tan 1,tan 2,tan 3的大小. 思路点拨    (1)先将x的系数化为正数,然后根据正切函数的单调性建立不等式求解;(2)先利 用诱导公式把相应的角化到y=tan x 的同一单调区间内,再利用正切函数的 单调性解决. 第一章　三角函数 高中同步 解析    (1)y=tan =-tan , 由kπ- <3x- <kπ+ (k∈Z), 得 - <x< + (k∈Z), 所以函数y=tan 的单调递减区间是 (k∈Z),无单调递增区间. (2)∵y=tan x 的最小正周期为π, ∴tan 2=tan(2-π),tan 3=tan(3-π), 又- <2-π<3-π<1< ,y=tan x在 上单调递增, ∴tan(2-π)<tan(3-π)<tan 1, 即tan 2<tan 3<tan 1. 第一章　三角函数 高中同步 $