第1章 §6 函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换、性质及应用，从y=sinx出发，通过ω的伸缩、φ的平移、A的振幅变换逐步构建知识，形成从基础到综合的学习支架。 其亮点在于知识辨析（错题纠正）与典例解析（五点法、图象求解析式）结合，培养数学思维（推理、运算）和数学语言（符号表达）。例如，通过错题分析强化概念理解，典例中参数求解引导学生用数学眼光观察图象特征，提升学生探究能力，也为教师提供清晰教学路径。

§6　函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象 ω对y=sin ωx图象的影响 　　函数y=sin ωx(ω>0)的图象是将函数y=sin x图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)到　原 来的 或伸长(当0<ω<1时)到原来的 倍(纵坐标不变)得到的. 知识点 1 必备知识 清单破   φ对y=sin(ωx+φ)图象的影响 　　函数y=sin(ωx+φ)(φ≠0)的图象,可以看作将函数y=sin ωx图象上的所有点向左(φ>0)或向 右(φ<0)平移       个单位长度得到的. 知识点 2 第一章　三角函数 高中同步     A对y=Asin(ωx+φ)图象的影响 函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的图象是将y=sin(ωx+φ)的图象上的每个点的纵坐标伸长(当A>1     时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)得到的. 知识点 3   A,ω,φ的物理意义及y=Asin(ωx+φ)的性质 知识点 4 1.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中,A叫作振幅,周期T= ,频率为 = ,相位是ωx+φ,初相是φ. 第一章　三角函数 高中同步 2.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质如下: 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0) 定义域 R 值域 [-A,A] 周期性 最小正周期T=  奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时该函数是奇函数;当φ= +kπ(k∈Z)时该函数是偶函数;当φ≠ (k∈Z)时该函数既不是奇函数也不是偶函数 单调性 单调递增区间可由2kπ- ≤ωx+φ≤2kπ+ (k∈Z)得到; 单调递减区间可由2kπ+ ≤ωx+φ≤2kπ+ (k∈Z)得到 第一章　三角函数 高中同步 知识辨析 1.若函数y=cos 的周期为π,则ω=2,对吗? 2.将函数y=2sin 的图象向左平移 个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=2sin 2x,对吗? 3.函数y=sin 的单调递减区间为 - +2kπ, +2kπ (k∈Z),对吗? 4.将函数y=sin ωx的图象“先向左平移 个单位长度,再将各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐 标不变)”与“先将各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移 个单位长度”, 所得图象对应的函数解析式一样,这种说法对吗? 5.若y=sin(ωx+φ)(ω>0)的初相和频率分别为-π和 ,则它的相位是x-π,对吗? 第一章　三角函数 高中同步 一语破的 1.不对.由T= 可知ω的值为±2. 2.不对.将函数y=2sin 的图象向左平移 个单位长度所得图象对应的函数解析式为y= 2sin 2 x+  -  =2sin . 3.不对.函数y=sin =-sin ,要求函数y=sin 的单调递减区间即求函数y =sin 的单调递增区间,易得函数y=sin 的单调递减区间为 - +kπ, +kπ (k∈ Z). 第一章　三角函数 高中同步 4.不对.如函数y=sin 2x,若将其图象“先向左平移 个单位长度,再将各点的横坐标变为原来 的2倍(纵坐标不变)”,则得到的图象对应的函数解析式为y=sin ;若“先将各点的横坐 标变为原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移 个长度单位”,则得到的图象对应的函数解析 式是y=sin . 5.不对.∵频率为 ,∴最小正周期T= ,∴ω=3π,又初相为-π,∴相位为3πx-π. 第一章　三角函数 高中同步 关键能力 定点破 　函数y=Asin(ωx+φ)的图象的画法  　　画函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象的方法主要有“五点(画图)法”和图象变换法两种. (1)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象可用“五点(画图)法”作图得到,可在作正弦函数y=sin x图 象时的五个关键点(0,0), ,(π,0), ,(2π,0)的基础上,通过变量代换确定该函数图象 的五个关键点. (2)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象可由函数y=sin x的图象通过变换得到,变换有两条途径: “先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.具体过程如下: 先平移后伸缩: 定点 1 第一章　三角函数 高中同步 　　先伸缩后平移: 第一章　三角函数 高中同步 典例 画出函数y=sin 在一个周期内的图象. 解析    解法一:按五个关键点列表如下: 2x+  0   π   2π x -          y 0 1 0 -1 0 第一章　三角函数 高中同步 在平面直角坐标系中描出五个点 , , , , ,然后用光滑的曲线 将它们顺次连接起来,即得到函数y=sin 在 上的图象,如图.   解法二:如图,画出函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象,将y=sin x,x∈[0,2π]的图象上所有点的横坐标 缩短为原来的 ,纵坐标不变,得到y=sin 2x,x∈[0,π]的图象,再将所得图象向左平移 个单位 长度,即得y=sin 2 =sin ,x∈ 的图象. 第一章　三角函数 高中同步 解法三:如图,画出函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象,将y=sin x,x∈[0,2π]的图象向左平移 个单位 长度,得到y=sin ,x∈ 的图象,再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的  ,纵坐标不变,即得y=sin ,x∈ 的图象. 第一章　三角函数 高中同步 　已知函数图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式  根据三角函数的图象求y=Asin(ωx+φ)的解析式的思路 (1)A的确定:一般可由图象上的最高点、最低点的纵坐标来确定|A|. (2)ω的确定:因为T= ,所以常通过周期T来确定ω.图象上相邻的两个对称中心、相邻的两 条对称轴之间的距离均为 ,相邻的对称轴与对称中心之间的距离为 . (3)φ的确定:以“五点(画图)法”中的第一个点 (也叫初始点)作为突破口来确定φ,注 意要根据图象的升降情况找准第一个点的位置. 　　依据“五点(画图)法”作图,点的序号与式子的对应关系如下: 　　“第一点”(图象第一次上升时与x轴的交点):ωx+φ=0; 定点 2 第一章　三角函数 高中同步 　　“第二点”(图象的“峰点”):ωx+φ= ; 　　“第三点”(图象下降时与x轴的交点):ωx+φ=π; 　　“第四点”(图象的“谷点”):ωx+φ= ; 　　“第五点”(图象第二次上升时与x轴的交点):ωx+φ=2π. 　　在用以上方法确定φ的值时,还要注意题目中给出的φ的范围,不在要求范围内的要通过 周期性转化到要求范围内. 第一章　三角函数 高中同步 典例 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ≤π)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是(        )   A.f(x)=2sin 　　　    B.f(x)=2sin  C.f(x)=2sin 　　　    D.f(x)=2sin  D 解析    由题图知A=2, = - = ,即T=π,即 =π,得ω=2,则f(x)=2sin(2x+φ).由“五点(画 图)法”中“第一点”得2× +φ=0,可得φ= ,符合0≤φ≤π,即f(x)=2sin . 第一章　三角函数 高中同步 正、余弦型函数性质与图象的综合应用 定点 3 1.函数y=Asin(ωx+φ)的图象的对称轴方程由ωx+φ=kπ+ ,k∈Z求得,即x= ,k∈Z;图象 的对称中心由ωx+φ=kπ,k∈Z求得,即 ,k∈Z. 2.函数y=Acos(ωx+φ)的图象的对称轴方程由ωx+φ=kπ,k∈Z求得,即x= ,k∈Z;图象的对称 中心由ωx+φ=kπ+ ,k∈Z求得,即 ,k∈Z. 3.确定函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的单调区间的方法:若ω>0,则采用换元法整体代换,将ωx+φ看 作一个整体,可令z=ωx+φ,即通过求y=Asin z的单调区间得到y=Asin(ωx+φ)的单调区间;若ω<0, 则可先利用诱导公式将x的系数转变为正数,再求单调区间. 第一章　三角函数 高中同步 4.求形如y=Asin(ωx+φ)+B (或y=Acos(ωx+φ)+B)的函数的值域或最值,可先由定义域求得ωx+φ 的范围,然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ)) 的范围,最后求得原函数的值域或最值. 5.有关三角函数奇偶性问题的解题思路: (1)若y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)为奇函数,则φ=kπ(k∈Z). (2)若y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)为偶函数,则φ=kπ+ (k∈Z). (3)若y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)为奇函数,则φ=kπ+ (k∈Z). (4)若y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)为偶函数,则φ=kπ(k∈Z). 第一章　三角函数 高中同步 典例1 已知函数f(x)=2sin (0<φ<π). (1)当φ= 时,用“五点(画图)法”画出函数f(x)在一个周期内的图象; (2)若函数f(x)为偶函数,求φ的值; (3)在(2)的条件下,求函数f(x)在[-π,π]上的单调递减区间. 解析    (1)当φ= 时, f(x)=2sin , 按五个关键点列表如下:  +  0   π   2π x -          f(x)=2sin 0 2 0 -2 0 第一章　三角函数 高中同步 描点,连线,得到函数f(x)=2sin 在一个周期内的图象,如图所示: (2)∵函数f(x)为偶函数,∴φ= +kπ(k∈Z), 又∵0<φ<π,∴φ= . 第一章　三角函数 高中同步 (3)由(2)得, f(x)=2sin =2cos  . 当x∈[-π,π]时, ∈ , 易知当 ∈ ,即x∈[0,π]时,f(x)单调递减, ∴函数f(x)在[-π,π]上的单调递减区间为[0,π]. 第一章　三角函数 高中同步 典例2 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) 在一个周期内的图象如图所示.   (1)求函数f(x)的解析式; (2)求方程f(x)-lg x=0的实数解的个数. 第一章　三角函数 高中同步 解析    (1)由题图知A=2, 由函数图象过点(0,1),得f(0)=1, 所以sin φ= ,又|φ|< ,所以φ= . 易知点 是“五点”中的“第五点”, 所以 ω+ =2π,所以ω=2. 所以f(x)=2sin . (2)在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x)和函数y=lg x的图象,如图所示. 第一章　三角函数 高中同步 因为f(x)的最大值为2, 所以令lg x=2,得x=100, 令 +kπ<100(k∈Z),得k≤30(k∈Z). 而 +31π>100,且 +30π+ <100, 所以在区间(0,100]内有31个区间 (k∈Z,0≤k≤30),且在每个区间上y=f(x) 与y=lg x的图象都有两个交点,故这两个函数的图象在 上有2×31=62个交点. 另外,两函数的图象在 上还有一个交点, 所以方程f(x)-lg x=0共有63个实数解. 第一章　三角函数 高中同步 $