第1章 §4 4.3 诱导公式与对称4.4诱导公式与旋转（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦正弦函数与余弦函数的诱导公式，系统梳理了公式内容、记忆口诀及应用方法，通过知识回顾衔接任意角三角函数基础，以对称与旋转的几何视角构建公式推导支架，帮助学生形成从具体到抽象的认知脉络。 其亮点在于融合数学思维与数学语言，以“奇变偶不变，符号看象限”口诀强化记忆，通过知识辨析题深化理解，典例涵盖求值、化简、证明及三角形应用，如给值求值中角的转化、恒等式证明的逻辑推理，培养学生的推理能力与应用意识。学生能提升公式应用与问题解决能力，教师可依托系统资源优化教学流程。

4.3　诱导公式与对称　　    4.4　诱导公式与旋转 必备知识 清单破 正弦函数与余弦函数的诱导公式 　　对任意角α,下列关系式均成立(其中k∈Z): sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos α; sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α; sin(α+π)=-sin α,cos(α+π)=-cos α; sin(α-π)=-sin α,cos(α-π)=-cos α; sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α; sin =cos α,cos =-sin α; sin =cos α,cos =sin α. 知识点 第一章　三角函数 高中同步 通常称上述公式为正弦函数、余弦函数的诱导公式. 正弦函数、余弦函数的诱导公式可以统一概括为关于“k· ±α(k∈Z)”的诱导公式.当k为 偶数时,等号右边得到的是α的同名三角函数;当k为奇数时,等号右边得到的是α的异名三角函 数,然后在右侧函数的前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变, 符号看象限”. 第一章　三角函数 高中同步 知识辨析 1.“sin(π+α)=-sin α”成立的条件是角α为锐角,对吗? 2.在△ABC中,恒有sin  =cos  成立,对吗? 3.角π+α和角α的终边,角π-α和角α的终边的对称关系是怎样的? 4.若sin <0,且cos >0,则θ为第几象限角? 第一章　三角函数 高中同步 一语破的 1.不对.角α应为任意角. 2.对.sin  =sin  =sin =cos  . 3.角π+α和角α的终边关于原点对称,角π-α和角α的终边关于y轴对称. 4.θ为第二象限角.因为sin =cos θ<0,cos =sin θ>0,所以θ为第二象限角. 第一章　三角函数 高中同步 关键能力 定点破 运用诱导公式化简、求值与证明 定点 1 1.运用诱导公式求值 (1)给角求值:利用诱导公式把已知角的三角函数转化为锐角、特殊角的三角函数求解. (2)给值求值:先寻找未知角与已知角之间的联系,再利用诱导公式将未知角的三角函数用已 知角的三角函数表示出来,从而得出结论. 2.利用诱导公式化简三角函数式的一般原则 　　负化正、大化小、异角化同角、异名化同名等,对于比较复杂的化简问题来说,需使用 诱导公式将角简化. 第一章　三角函数 高中同步 3.证明三角恒等式的常用方法 (1)由左边推至右边或由右边推至左边,一般遵循的是化繁为简的原则. (2)证明左边=A,右边=A,则左边=右边,这里的A起着桥梁的作用. (3)通过作差或作商证明,即左边-右边=0或 =1(左、右两边均不等于零). 第一章　三角函数 高中同步 典例1 (1)已知cos(75°+α)= ,求cos(105°-α)+sin(15°-α)的值; (2)化简: (n∈Z). 解析    (1)∵cos(75°+α)= ,∴cos(105°-α)=cos[180°-(75°+α)]=-cos(75°+α)=- , sin(15°-α)=sin[90°-(75°+α)]=cos(75°+α)= ,∴cos(105°-α)+sin(15°-α)=- + =0. (2)当n=2k(k∈Z)时, 原式= = ; 当n=2k+1(k∈Z)时, 原式= =- . 第一章　三角函数 高中同步 方法总结 利用诱导公式化简、求值的一般步骤:任意负角的正、余弦函数值 任意正角的正、余弦 函数值 [0,2π)范围内的角的正、余弦函数值 锐角的正、余弦函数值,可简记为“负 化正,大化小,化成锐角再求值”. 第一章　三角函数 高中同步 典例2 求证:  +  = . 证明    左边=  + = + = = = =右边, ∴原等式成立. 第一章　三角函数 高中同步 正弦函数、余弦函数的诱导公式在三角形中的应用  定点 2 1.注意隐含条件,如在△ABC中,A+B+C=π,并结合正弦函数、余弦函数的诱导公式处理有关 问题. 2.在△ABC中,由正弦函数、余弦函数的诱导公式可知,若cos C=cos B,则C=B;若sin C=sin B, 则 C=B; 若sin 2C=sin 2B,则2C=2B或2C=π-2B. 第一章　三角函数 高中同步 典例 已知在△ABC中,sin =sin ,试判断△ABC的形状. 解析    ∵在△ABC中,A+B+C=π, ∴A+B-C=π-2C,A-B+C=π-2B. 又∵sin  =sin  , ∴sin  =sin , ∴sin =sin ,∴cos C=cos B. 又∵B,C为△ABC的内角,∴C=B, ∴△ABC为等腰三角形. 第一章　三角函数 高中同步 $