第1章 §4 4.1 单位圆与任意角的正弦函数余弦函数定义 4.2 单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件围绕正弦函数和余弦函数的概念及性质展开，从单位圆定义切入，衔接任意角三角函数定义，逐步延伸至基本性质、符号规律、特殊角值等内容，通过定义解析、表格对比、典例示范搭建学习支架。 其亮点是以单位圆为核心载体，融合几何直观与逻辑推理，通过“定义-性质-应用”链条培养数学眼光、思维与语言。如用单位圆研究单调性体现数学眼光，典例参数分类讨论培养数学思维，表格口诀规范数学语言，助力学生直观理解知识，教师可高效开展教学。

§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 必备知识 清单破 知识点1　任意角的正弦函数和余弦函数 如图,给定任意角α,作单位圆,角α的终边与单位圆的交点为P(u,v),点P的纵坐标v、横坐标u都 是唯一确定的.把点P的纵坐标v叫作角α的正弦值,把点P的横坐标u叫作角α的余弦值. 于是,在弧度意义下,对于α∈R,称v=sin α为任意角α的正弦函数,u=cos α为任意角α的余弦函数. 设角α终边上除原点外的一点Q(x,y),则sin α= ,cos α= ,其中r= . 知识点 1 第一章　三角函数 高中同步 知识点2　正弦函数、余弦函数的基本性质 知识点 2 函数 正弦函数v=sin α 余弦函数u=cos α 定义域 R 最值 当α=2kπ+ ,k∈Z时,取得最大值1;当α=2kπ- ,k∈Z时,取得最小值-1 当α=2kπ,k∈Z时,取得最大值1;当α=(2k+1)π,k∈Z时,取得最小值-1 值域 [-1,1] 周期性 周期:2kπ(k∈Z且k≠0),最小正周期:2π 第一章　三角函数 高中同步 单调性 在区间     - +2kπ, +    2kπ  (k∈Z)上单调递增,在区间   +2kπ, +2kπ (k∈Z)上 单调递减 在区间[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上单 调递增,在区间    [2kπ,2kπ+π] (k∈Z)上单调递减 第一章　三角函数 高中同步 知识点3　 正弦函数值和余弦函数值在各个象限内的符号 知识点 3 记忆口诀 正弦上正下负,余弦右正左负. 第一章　三角函数 高中同步 知识点4　特殊角的正弦函数值、余弦函数值 知识点 4 x 0               y=sin x 0       1       y=cos x 1       0 -  -  -  x π           2π — y=sin x 0 -  -  -1 -  -  0 — y=cos x -1 -  -  0     1 — 第一章　三角函数 高中同步 知识辨析 1.已知点P为角α终边上的点(非原点),则角α的三角函数值与点P所在的位置是否有关? 2.若sin α<0,则角α是第三或第四象限角,对吗? 3.若两角的同一三角函数值相等,则这两角是否一定为终边相同的角? 4.存在一个角α,满足cos α= ,对吗? 第一章　三角函数 高中同步 一语破的 1.无关.三角函数值只与角α的终边所在的位置有关,与点P在终边上的位置无关. 2.不对.若sin α<0,则角α的终边位于第三、四象限或在y轴的非正半轴上. 3.不一定.比如α= ,β= ,sin α=sin β= ,但α与β并不是终边相同的角. 4.不对.余弦函数是有界函数,其值域为[-1,1]. 第一章　三角函数 高中同步 关键能力 定点破 　运用任意角的正弦函数、余弦函数的定义求值  定点 1 1.已知角α的终边位置求正弦函数值、余弦函数值的方法: (1)先求出角α的终边与单位圆的交点坐标,再利用正弦函数、余弦函数的定义求出相应的函 数值. (2)在角α的终边上任选除原点外的一点P(x,y),则P到原点的距离r= ,则sin α= ,cos α=  . 2.当角α的终边上的点的坐标含参数时,要根据实际情况对参数的值进行分类讨论.当角α的 终边在一条经过原点的直线上时,应分类讨论,分别在两条射线上取点来确定其三角函数值. 3.角α的正弦函数值、余弦函数值是实数,这个实数的大小与点P(x,y)在终边上的位置无关,只 由角α的终边位置决定,即某角的正弦函数值、余弦函数值的大小只与其终边的位置有关. 第一章　三角函数 高中同步 典例 (1)已知角α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求sin α,cos α的值; (2)已知角α的终边落在直线y=-2x上,求2sin α+3cos α的值. 解析    (1)设点P到原点的距离为r, 则r= =5|a|. 若a>0,则r=5a, ∴sin α= = = ,cos α= = =- . 若a<0,则r=-5a, ∴sin α= = =- ,cos α= = = . (2)设P(x,-2x)(x≠0)是直线y=-2x上任意一点, 则OP= = |x|, 当x>0时,OP= x, 因此sin α= =- ,cos α= = , 第一章　三角函数 高中同步 所以2sin α+3cos α=- + =- . 当x<0时,OP=- x, 因此sin α= = ,cos α= =- , 所以2sin α+3cos α= - = . 综上,2sin α+3cos α=± . 第一章　三角函数 高中同步 正弦函数、余弦函数的性质  利用单位圆研究正弦函数、余弦函数性质的步骤 (1)在单位圆中确定角x的终边所在区域; (2)设角x的终边与单位圆的交点为P(cos x,sin x); (3)研究点P的横坐标及纵坐标随x的变化规律; (4)得出结论. 定点 2 第一章　三角函数 高中同步 典例 借助单位圆,求下列函数的单调区间、最大值和最小值以及取得最大值和最小值时自 变量α的值. (1)v=sin α,α∈ ; (2)u=cos α,α∈ . 第一章　三角函数 高中同步 解析    (1)由图①可知,v=sin α在 上单调递增,在 上单调递减.当α= 时,v=sin α取 得最大值1,当α=- 时,v=sin α取得最小值- .   图① (2)由图②可知,u=cos α在[-π,0]上单调递增,在 上单调递减.当α=-π时,u=cos α取得最小值 -1,当α=0时,u=cos α取得最大值1. 图② 第一章　三角函数 高中同步 判断正弦函数值、余弦函数值的符号  判断正弦函数值、余弦函数值的符号的两个步骤 (1)定象限:确定角α所在的象限. (2)定符号:利用正弦函数值、余弦函数值的符号规律:正弦上正下负,余弦右正左负来判断. 定点 3 第一章　三角函数 高中同步 典例 若- <α<0,则点(cos α,sin α)位于 (　    ) A.第一象限　　　　　　　　    B.第二象限 C.第三象限　　　     D.第四象限 解析    因为- <α<0,所以cos α>0,sin α<0,所以点(cos α,sin α)位于第四象限. D 第一章　三角函数 高中同步 利用单位圆解不等式  利用单位圆确定角的范围的步骤 (1)作出单位圆及角的终边; (2)通过单位圆观察角的正弦函数值(余弦函数值)的变化情况; (3)根据角的终边确定方程的解,根据角的终边在单位圆内的区域确定三角不等式的解集(在 确定区域时,可以将终边顺时针或逆时针转动,观察函数值的变化,从而确定符合条件的区域 范围). 定点 4 第一章　三角函数 高中同步 典例 在单位圆中画出符合下列条件的角α的终边所在区域,并由此写出角α的集合. (1)sin α≥ ; (2)cos α<- . 思路点拨    先分别在单位圆中作出满足sin α= ,cos α=- 的角的终边,再根据已知条件确定 角α的终边所在区域,进而写出角α的集合. 第一章　三角函数 高中同步 解析    (1)如图①所示,作直线y= ,交单位圆于A,B两点,作射线OA,OB.当射线OA或OB为角α 的终边时,sin α= ,当角α的终边落在阴影部分(包括边界)时,sin α≥ .故满足条件的角α的 集合为 α 2kπ+ ≤α≤2kπ+ ,k∈Z .   图① (2)如图②所示,作直线x=- ,交单位圆于C,D两点,作射线OC,OD.当射线OC或OD为角α的终 边时,cos α=- ,当角α的终边落在阴影部分(不包括边界)时,cos α<- .故满足条件的角α的集 第一章　三角函数 高中同步 合为 α 2kπ+ <α<2kπ+ ,k∈Z .   图② 易错警示 在写角α的临界值时,不要忘记加上2kπ(k∈Z),因为与角α终边相同的角有无数个,它们之间相 差2π的整数倍. 第一章　三角函数 高中同步 $