精品解析：江西吉安永丰县永丰中学2025-2026学年高一下学期3月份数学综合训练

永丰中学2025级高一年级下学期3月份数学综合训练 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知点在第三象限，则角的终边在第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】D 【解析】 【分析】由点M所在的象限，确定正切和余弦的符号，得角终边所在的象限. 【详解】因为点在第三象限，所以，， 所以的终边在第四象限. 故选：D. 2. 已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线，可得，列方程即可求得答案. 【详解】因为向量共线， 所以存在实数 ，使得， 所以，解得，则. 故选：D. 3. 我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月表400千米，已知月球半径约为1738千米，则嫦娥五号绕月每旋转弧度，飞过的路程约为（）（ ） A. 1069千米 B. 1119千米 C. 2138千米 D. 2238千米 【答案】D 【解析】 【分析】利用弧长公式直接求解. 【详解】嫦娥五号绕月飞行半径为400+1738=2138， 所以嫦娥五号绕月每旋转弧度，飞过的路程约为（千米）. 故选：D 4. 函数（且）的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可将函数化简为，从而可求解. 【详解】由题意，，化简得， 根据函数的图象和性质， 可得在内为增函数且为正值， 在内为增函数且为负值，在内为减函数且为负值，故C正确. 故选：C. 5. 已知函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可得，，判断函数在上的单调性，结合单调性判断，，的大小，由此可得结论. 【详解】因为， 所以，， 因为函数，在上都单调递增， 所以函数在上单调递增， 又， 所以， 所以， 故选：D. 6. 设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长到，使，延长到，使，连接，则由已知条件可得为的重心，由重心的性质可得，再结合中点可求出，的面积，进而可求得答案 【详解】解：延长到，使，延长到，使，连接， 因为，所以， 所以为的重心， 所以设，则，, 所以, 所以， 故选：D 7. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的周期及函数在区间上无零点，列出不等式组，即可解出的取值范围. 【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，可得， 再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变， 可得的图象，因为，周期， 函数在上没有零点，则， 所以，因为，所以， 又在上没有零点，所以， 解得，， 又因为，所以当，，，， 所以或. 故选：B 8. 对于任意实数，要使函数在区间上的值出现的次数不小于4次，又不多于8次，则可以取（ ） A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由一个周期内有两个解可知，，据此可得答案. 【详解】由题可知，，则， 所以，，即，又，所以，解得，， 结合，可知k可取2，3. 故选：B. 二、多选题（每题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，在中，，，直线AM交BN于点Q，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据共线向量的性质，结合三点共线定理逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，则，故A错误； 对于B和C，因为A，M，Q三点共线，由共线定理可知，存在实数， 使得，设， 所以，所以 解得， ， 显然成立， 因为，所以， 故B，C正确； 对于D，因为，所以是的中点，因此， 由上可知， ，故D错误． 故选：BC 10. 如图是函数（其中，，）的部分图象，下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于y轴对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 若，则的最小值为 D. 方程在区间上的所有实根之和为 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据函数图象，先得到和周期，得出，再由最小值点，可求出，得出函数解析式，结合正弦函数的性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】由图象可得，，最小正周期为，所以，则， 所以； 又，则， 所以， 因为，所以，则， 因此，所以， 故函数的图象不关于轴对称；故A错； 又，所以是图象的一个对称中心，故B正确； 因为，当且仅当，即时，； 若，则且， 所以，当时，取得最小值，即C正确； 由可得，所以或，即或， 由可得，则或，所以或； 由可得，则或，所以或， 所以方程在区间上的所有实根之和为，即D错. 故选：BC. 【点睛】思路点睛： 由三角函数部分图象研究函数性质时，一般需要先由三角函数的性质，结合图象求出解析式，再根据正弦（余弦或正切）函数的性质，逐项求解即可. 11. 已知定义域为的函数对任意实数，满足：，且，，并且当时，.则下列结论中正确的有（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数在上单调递增 C. 函数是以2为周期的周期函数 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】令结合奇函数的定义判断A，设，结合当，得到，即可判断B，由说明C，结合周期性与奇偶性判断D. 【详解】令，可得，，函数是奇函数，故A不正确； 设，因为当，， 则，， 所以，，则， 所以， 即，所以， 所以函数在上单调递增，故B正确； 因为 所以，所以函数是以为周期的周期函数，故C正确； 所以，故D不正确． 故选：BC． 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 在平行四边形中，已知，，，且，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据得到是矩形，，计算得到答案. 【详解】，，，故，则平行四边形是矩形， ，，， ，则. 故答案为：. 13. 已知函数，点A，B，C是它们图象相邻的三个交点，且ABC是正三角形，则正数ω的值为_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】作出函数，的图象，其中D为AC的中点，由，求得，再由求解. 【详解】解：在同一坐标系中，作出函数，的图象，如图所示： 其中D为AC的中点， 由，得， 则，， 又， 即，解得， 故答案为： 14. 设为正整数.如果函数在区间内恰有2023个零点，则的值是__________. 【答案】1349 【解析】 【分析】令，，解得或是的零点，先根据正弦函数的周期性求出在每个周期上零点的个数，再根据题设即可求解. 【详解】令，， 由解得或， 即或, 根据正弦函数的图象和性质可知，在区间内有个解，， 所以当时，在区间内有2022个零点， 又在区间内有一个解， 综上函数在区间内恰有2023个零点， 故答案为：1349 四、解答题（15题13分；16—17题，每题15分；18—19题，每题17分；共77分） 15. 计算下列两个小题 （1）计算； （2）已知角终边上有一点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式直接化简求解即可； （2）先利用三角函数的定义求，再利用诱导公式代入求解即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 因为角终边上有一点， 所以，，， 所以. 16. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点，. （1）若，求的值； （2）若()，()，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算法则得到，再由三点共线解得的值，进而得到的值. （2）根据题意得到，，再结合三点共线，得到，结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为是线段的中点，所以， 又因为， 设，则有， 因为三点共线，所以，解得， 所以，， 所以. 【小问2详解】 因为，， 由（1）可知，，所以 因为三点共线，所以，即， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 17. 已知函数，记其最小正周期为，若，，若在上单调递增， （1）求的解析式； （2）不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据可知，代入的解析式即可求得.再根据可知，根据三角函数性质可得.最后根据在上单调递增即可求得，进而可求出函数的解析式；. （2）利用换元法，设，根据三角函数相关知识可知，则不等式对任意恒成立等价于.利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题得，. ，，即. ，，. ，， ， 即. . 因为函数在上单调递增， 令，. ，即. . ，，. 【小问2详解】 令，，，. 不等式对任意恒成立等价于. ，，当且仅当时取到最小值， ，解得：. 【点睛】本题综合考查三角函数的性质以及恒成立问题. 第（1）问解题的关键是根据的单调递增区间，及集合的包含关系求解. 第（2）问是恒成立问题，利用分离变量法求最值即可求解. 18. 已知函数的部分图象如图所示： （1）求函数的解析式； （2）将的图象向左平移个单位，再将所得到的图象横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，若函数在区间上恰有三个零点，且，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，若，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用周期可求得，由时，，计算可求得，过点，可求得，从而可求解析式； （2）利用图象变换求得，由题意知，与在区间上有三个交点，数形结合可求的范围； （3）由（2）知，，根据题意可得成立，进而求解即可. 【小问1详解】 由题意，的周期，， 当时，，， ，又，， 又由图知过点， ，， 故的解析式为； 【小问2详解】 由题意： ， 由题意知，与在区间上有三个交点， 作出在区间上的图象为： 由图象可知，当，即时，满足题意与在区间上有三个交点， 此时有， ； 【小问3详解】 由（2）知，， 又由，使得成立可知， 成立， 当时，， ，， 当时，， ，，， 又，． 19. 已知函数，，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，恒有成立，则称函数是D上的P级递减周期函数，周期为T；若恒有成立，则称函数是D上的P级周期函数，周期为T. （1）判断函数是R上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？ （2）已知，是上的P级周期函数，且是上的严格增函数，当时，.求当时，函数的解析式，并求实数P的取值范围； （3）是否存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论. 【答案】（1）是，理由如下： 依题意，函数定义域是R， ， 即，成立， 所以函数是R上的周期为1的2级递减周期函数. （2）当时，，且； （3）存在，.证明如下： 假定存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数， 即，恒有成立，则，恒有成立， 即，恒有成立，当时，，则，， 于是得，，要使恒成立，则有， 当，即时，由函数与的图象存在交点知，方程有解， 此时恒成立，则，即， 当，即时，由函数与的图象没有交点知，方程无解， 所以存在，符合题意，其中满足. 【解析】 【分析】（1）利用P级递减周期函数定义，计算验证作答. （2）根据给定条件，利用P级周期函数定义，依次计算时解析式，根据规律写出结论作答. （3）假定存在符合题意的k值，利用P级周期函数定义列出方程，探讨方程解的情况即可作答. 【小问1详解】 函数是R上的周期为1的2级递减周期函数，理由略； 【小问2详解】 因，是上的P级周期函数，则，即， 而当时，，当时，，， 当时，，则， 当时，，则， …… 当时，，则， 并且有：当时，，当时，，当时，，……， 当时，， 因是上的严格增函数，则有，解得， 所以当时，，且. 【小问3详解】 存在，符合题意，其中满足，证明略. 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永丰中学2025级高一年级下学期3月份数学综合训练 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知点在第三象限，则角的终边在第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 2. 已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月表400千米，已知月球半径约为1738千米，则嫦娥五号绕月每旋转弧度，飞过的路程约为（）（ ） A. 1069千米 B. 1119千米 C. 2138千米 D. 2238千米 4. 函数（且）的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 对于任意实数，要使函数在区间上的值出现的次数不小于4次，又不多于8次，则可以取（ ） A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 2 二、多选题（每题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，在中，，，直线AM交BN于点Q，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图是函数（其中，，）的部分图象，下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于y轴对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 若，则的最小值为 D. 方程在区间上的所有实根之和为 11. 已知定义域为的函数对任意实数，满足：，且，，并且当时，.则下列结论中正确的有（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数在上单调递增 C. 函数是以2为周期的周期函数 D. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 在平行四边形中，已知，，，且，，，则______. 13. 已知函数，点A，B，C是它们图象相邻的三个交点，且ABC是正三角形，则正数ω的值为_____________． 14. 设为正整数.如果函数在区间内恰有2023个零点，则的值是__________. 四、解答题（15题13分；16—17题，每题15分；18—19题，每题17分；共77分） 15. 计算下列两个小题 （1）计算； （2）已知角终边上有一点，求的值． 16. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点，. （1）若，求的值； （2）若()，()，求的最小值. 17. 已知函数，记其最小正周期为，若，，若在上单调递增， （1）求的解析式； （2）不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数的部分图象如图所示： （1）求函数的解析式； （2）将的图象向左平移个单位，再将所得到的图象横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，若函数在区间上恰有三个零点，且，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，若，使得成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数，，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，恒有成立，则称函数是D上的P级递减周期函数，周期为T；若恒有成立，则称函数是D上的P级周期函数，周期为T. （1）判断函数是R上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？ （2）已知，是上的P级周期函数，且是上的严格增函数，当时，.求当时，函数的解析式，并求实数P的取值范围； （3）是否存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $