第1章 §3 弧度制（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦弧度制核心内容，涵盖角的度量、角度与弧度换算、特殊角对应关系及扇形弧长面积公式，通过对比角度制自然过渡，以表格梳理换算关系，知识辨析构建学习支架，助力学生衔接前后知识。 其亮点在于用表格直观呈现换算与公式（数学眼光），知识辨析引导批判性思考（数学思维），典例结合函数思想解决最值（数学语言）。如特殊角对应表培养抽象能力，扇形问题提升运算与应用意识，学生能深化理解，教师可高效教学。

§3　弧度制 知识点1　角的度量 必备知识 清单破 知识点 1 1.弧度制 在单位圆(半径为单位长度1的圆)中,把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角.其单位 用符号rad表示,读作弧度(通常“弧度”或“rad”省略不写).在单位圆中,每一段弧的长度就 是它所对圆心角的弧度数.这种以弧度作为单位来度量角的方法,称作弧度制. 　　一般地,弧度数与实数一一对应.正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零 角的弧度数是0. 2.角的度量方法有角度制和弧度制. 第一章　三角函数 高中同步 知识点2　角度制与弧度制的换算关系 知识点 2 1.角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°=2π rad 2π rad=360° 180°=π rad π rad=180° 1°=      rad ≈0.017 45 rad 1 rad=      ≈57.30°=57°18' 角度数× = 弧度数 弧度数× = 角度数 第一章　三角函数 高中同步 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 弧度 0           度 135° 150° 180° 270° 360° — 弧度     π   2π — 第一章　三角函数 高中同步 知识点3　扇形的弧长与面积公式 　　设扇形的半径为r,弧长为l,面积为S,圆心角为n°(α为圆心角的弧度数),则扇形的弧长及面 积公式如表所示: 知识点 3 扇形的弧长公式 l=  l=αr 扇形的面积公式 S=  S= lr= αr2 第一章　三角函数 高中同步 知识拓展 1.终边相同的角的集合:在弧度制下,与任意角α终边相同的角β的集合S={β|β=2kπ+α,k∈Z}. 2.象限角的表示: 象限角 象限角α的集合表示 第一象限角   第二象限角   第三象限角   第四象限角   第一章　三角函数 高中同步 3.角的终边的对称与垂直: 角α与β的终边的位置关系 α,β的关系 角α与β的终边关于x轴对称 α+β=2kπ(k∈Z) 角α与β的终边关于y轴对称 α+β=(2k+1)π(k∈Z) 角α与β的终边关于原点对称 α-β=(2k+1)π(k∈Z) 角α与β的终边关于直线y=x对称 α+β= π(k∈Z) 角α与β的终边关于直线y=-x对称 α+β= π(k∈Z) 角α与β的终边在同一条直线上 α-β=kπ(k∈Z) 角α与β的终边互相垂直 α-β=kπ+ (k∈Z) 第一章　三角函数 高中同步 知识辨析 1.与角 终边相同的角的集合可以表示为 α α= +k·360°,k∈Z 吗? 2.1弧度是长度等于半径的弦所对的圆心角的大小,对吗? 3.大圆中1弧度的角和小圆中1弧度的角一样大,对吗? 4.若扇形的圆心角α=30°,弧长l=30,根据公式α= 可知扇形的半径r=1,对吗? 第一章　三角函数 高中同步 一语破的 1.不能.在角的表示中,角度制与弧度制不能混用,应该表示为 α α= +2kπ,k∈Z 或{α|α=30° +k·360°,k∈Z}. 2.不对.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小. 3.对.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小,与圆的半径的大小无关. 4.不对.公式α= 中圆心角α的单位必须是弧度制才行,所以扇形的半径r= = . 第一章　三角函数 高中同步 关键能力 定点破 扇形的弧长和面积公式 定点 1.运用扇形的弧长和面积公式时的注意事项 (1)由扇形的弧长和面积公式,可知对于α,r,l,S,可“知其二求其二”,它实质上是方程思想的 运用. (2)运用弧度制下的扇形的弧长和面积公式时,若角是以“度”为单位,则必须先化成弧度,再 计算. 第一章　三角函数 高中同步 2.有关扇形的最值问题 (1)当扇形的周长一定时,扇形的面积有最大值.其求法是把面积S转化为关于半径r的二次函 数,但要注意r的取值范围,要特别注意扇形的弧长l必须满足0<l<2πr. (2)当扇形的面积一定时,扇形的周长有最小值.其求法是把周长C转化为关于半径r的函数,但 要注意r的取值范围. (3)解决扇形的周长和面积的最值问题的关键是运用函数思想,把要求的最值问题转化为函 数的最值问题进行求解. 第一章　三角函数 高中同步 典例 (1)已知扇形的面积是16,则当扇形的半径和圆心角各取何值时,扇形的周长最小? (2)已知一个扇形的周长为a,则当扇形的圆心角多大时,扇形的面积最大?并求出这个最大值. 解析    (1)设扇形的半径为r,弧长为l, 则 lr=16,即l= , ∴扇形的周长C=2r+ ≥2 =16, 当且仅当2r= ,即r=4时取等号, 当r=4时,圆心角α=2 rad, 故当扇形的半径为4,圆心角为2 rad时,扇形的周长取得最小值,且最小值为16. (2)设扇形的弧长为l,半径为r,圆心角为α,面积为S. 由已知得2r+l=a,即l=a-2r, ∴S= lr= (a-2r)·r=-r2+ r= + . 第一章　三角函数 高中同步 易知r>0,l=a-2r>0,∴0<r< , ∴当r= 时,S取得最大值,且Smax= , 此时l= ,α= =2 rad, 故当扇形的圆心角为2 rad时,扇形的面积取得最大值,且最大值为 .第§4　正弦函数和余弦 函数的概念及其性质 第一章　三角函数 高中同步 $