第1章 §1 周期变化 §2 任意角（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件系统涵盖三角函数第一章核心知识，包括周期函数定义、角的概念与分类、终边相同的角、区域角及象限角判断等内容。课堂导入结合日出日落等现实问题辨析，通过潮汐水深数据案例，构建从周期现象观察到数学概念抽象再到应用的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实（如潮汐数据散点图分析周期），用数学思维梳理规律（如区域角表示三步法），借数学语言精准表达（角的集合、表格分类）。典例解析与规律总结结合，帮助学生发展抽象能力和推理意识，为教师提供结构化教学资源，提升课堂效率。

§1　周期变化　　    §2　任意角 周期函数 　　一般地,对于函数y=f(x),x∈D,如果存在一个非零常数T,使得对任意的x∈D,都有x+T∈D, 且满足f(x+T)=f(x),那么函数y=f(x)称作周期函数,非零常数T称作这个函数的周期. 如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就称作函数y=f (x)的最小正周期. 必备知识 清单破 知识点 1 第一章　三角函数 高中同步 　角的有关概念 知识点 2 1.角的概念 　　如图,平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB,形成角α. 其中点O是角α的顶点,射线OA是角α的始边,射线OB是角α的终边. 第一章　三角函数 高中同步 2.角的分类 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条没有作任何旋转的射线形成的角 第一章　三角函数 高中同步 　几个重要的角的集合 知识点 3 1.与角α终边相同的角β的集合为{β|β=α+k·360°,k∈Z}. 2.象限角的集合 象限角 象限角α的表示 第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z} 第二象限角 {α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z} 第三象限角 {α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z} 第四象限角 {α|k·360°+270°<α<k·360°+360°,k∈Z} 第一章　三角函数 高中同步 3.终边在坐标轴上的角(轴线角)的集合 角α的终边位置 角α的集合 在x轴非负半轴上 {α|α=k·360°,k∈Z} 在x轴非正半轴上 {α|α=k·360°+180°,k∈Z} 在y轴非负半轴上 {α|α=k·360°+90°,k∈Z} 在y轴非正半轴上 {α|α=k·360°+270°,k∈Z} 在x轴上 {α|α=k·180°,k∈Z} 在y轴上 {α|α=k·180°+90°,k∈Z} 在坐标轴上 {α|α=k·90°,k∈Z} 第一章　三角函数 高中同步 知识辨析 1.日出日落是一种周期现象,这种说法对吗? 2.任何周期函数都有最小正周期吗? 3.锐角一定是第一象限角吗?第一象限角一定是锐角吗? 4.第三象限角一定比第一象限角大吗? 5.连续抛掷一枚骰子,1,2,3,4,5,6这6个点数会周期性地重复出现吗? 6.始边与终边重合的角是零角,这种说法对吗? 第一章　三角函数 高中同步 一语破的 1.对.日出日落是一种周期现象,它是地球自转产生的自然现象,具有固定的周期性. 2.不是.如常数函数f(x)=c,任意一个正实数都是其周期,因而其不存在最小正周期. 3.一定,不一定.如390°角为第一象限角,但它不是锐角. 4.不一定.例如240°角为第三象限角,390°角为第一象限角,而390°>240°. 5.不一定.抛掷骰子出现的点数是随机的,这6个点数不一定会周期性地重复出现,可能一直出 现同一个点数. 6.不对.始边与终边重合的角(记为α)是α=k·360°(k∈Z). 第一章　三角函数 高中同步 关键能力 定点破 　周期现象与周期函数 定点 1 1.周期现象的判断方法 　　牢牢抓住“间隔相同,现象重复出现”这一重要特征进行判断. 2.周期函数的判断方法 (1)定义法:直接根据周期函数的定义判断即可. (2)图象法:作出函数的图象,观察函数图象是否具有周期现象. 第一章　三角函数 高中同步 典例 当潮汐发生时,水深会产生变化,为了研究水深的变化规律,小明、小红、小军三位同学 在某港口调查水深H(单位:m)和时间t(单位:h)的关系,下表是他们记录的该港口在某一天内 水深与时间的对应关系表. 时间 1:00 2:00 3:00 4:00 水深/m 5.0 6.2 7.5 7.3 时间 5:00 6:00 7:00 8:00 水深/m 6.2 5.3 4.1 3.1 时间 9:00 10:00 11:00 12:00 水深/m 2.5 2.7 3.5 4.4 第一章　三角函数 高中同步 时间 13:00 14:00 15:00 16:00 水深/m 5.0 6.2 7.5 7.3 时间 17:00 18:00 19:00 20:00 水深/m 6.2 5.3 4.1 3.1 时间 21:00 22:00 23:00 24:00 水深/m 2.5 2.7 3.5 4.4 第一章　三角函数 高中同步 (1)通过表中数据,你能发现水深的变化有什么规律吗? (2)根据上表提供的数据在所给的坐标系中作出水深H(单位:m)与时间t(单位:h)关系的散点 图;   (3)指出函数H(t)的周期. 第一章　三角函数 高中同步 解析    (1)水深随时间呈现周期性变化. (2)水深H(单位:m)与时间t(单位:h)关系的散点图如下:   (3)从(2)中散点图可以看出,函数H(t)的周期是12 h. 第一章　三角函数 高中同步 　终边相同的角的表示 定点 2 1.求在某个范围内与已知角终边相同的角的步骤 (1)将已知角表示成一般形式:α+k·360°(k∈Z),其中0°≤α<360°; (2)采用赋值法或不等式法求解,确定k的值; (3)写出适合条件的角. 2.求终边在某条射线上或在某条直线上的角的集合的策略 (1)若所求角的终边在某条射线上,则角之间相差360°的整数倍,所求角的集合为{β|β=α+k·360 °,k∈Z}(α为终边在该射线上的角,一般令0°≤α<360°); (2)若所求角的终边在某条直线上,则角之间相差180°的整数倍,所求角的集合为{β|β=α+k·180 °,k∈Z}(α为终边在该直线上的角,一般令0°≤α<180°). 第一章　三角函数 高中同步 典例 已知角α=-1120°. (1)把α写成k ·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出α是第几象限角; (2)写出与角α终边相同的角θ的集合,并求出适合不等式-720°≤θ<0°的角θ. 解析    (1)-1120°可表示为360°×(-4)+320°, ∴α=-4×360°+320°,α是第四象限角. (2)与角α=-1120°终边相同的角θ的集合是{θ|θ=k·360°+320°,k∈Z}. 由-720°≤k·360°+320°<0°,得- ≤k<- , ∵k∈Z,∴k=-2或k=-1,∴θ=-400°或θ=-40°. 第一章　三角函数 高中同步 　区域角的表示  　　区域角是指终边在坐标系的某个区域内的角.表示时可分为三步: (1)按逆时针方向先后找到区域的起始和终止边界; (2)由小到大分别标出起始和终止边界对应的在-360°到360°范围内的角α和β,并将该范围内 的区域角表示为{x|α≤x≤β}(不含边界时相应等号要去掉),其中β-α<360°; (3)起始、终止边界对应的角α,β再加上360°的整数倍,即得区域角的范围. 定点 3 第一章　三角函数 高中同步 典例 已知角α 的终边落在如图所示的阴影区域内(包括边界),求角α的集合.   图(1)    图(2) 第一章　三角函数 高中同步 解析    题图(1)中,若角α的终边落在射线OA上,则α=30°+k·360°,k∈Z. 若角α的终边落在射线OB上,则α=135°+k·360°,k∈Z. 所以角α的终边落在题图(1)中阴影区域内(包括边界)时,有30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k ∈Z. 故角α的取值集合为{α|30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}. 题图(2)中,当终边落在x轴上方的阴影区域内(包括边界)时,角α 的集合为{α|90°+k·360°≤α≤ 135°+k·360°,k∈Z}={α|90°+2k·180°≤α≤135°+2k·180°,k∈Z},记为集合M; 当终边落在x轴下方的阴影区域内(包括边界)时,角α 的集合为{α|270°+k·360°≤α≤315°+k·36 0°,k∈Z}={α|90°+(2k+1)·180°≤α≤135°+(2k+1)·180°,k∈Z},记为集合N, 所以终边落在题图(2)中阴影区域内(包括边界)的角α 的集合为M∪N={α|90°+n·180°≤α≤13 5°+n·180°,n∈Z}. 第一章　三角函数 高中同步 规律总结 区域角的表示是在有限制条件的角的基础上进行的,解题时要注意以下三点: ①分清区域的起始和终止边界; ②分清区域边界线是实线还是虚线(实线表示包含该边界,虚线表示不包含该边界); ③一般地,角α的终边在两个对顶阴影区域内(不包括边界)时,角α的范围可表示为“k·180°+θ1 <α<k·180°+θ2,k∈Z(θ1<θ2,且θ2-θ1<180°)”的形式. 第一章　三角函数 高中同步 定点4　象限角的判断  定点 4 1.角α的终边所在象限的判断方法 　　根据终边相同的角的概念,把角α转化到0°~360° 范围内,转化后的角的终边落在第几象限内,角α就是第几象限角. 2.角nα的终边所在象限的判断方法 由角α的大小或范围求出角nα的大小或范围,再利用终边相同的角的概念确定角的终边所在 象限,进而判断角nα是第几象限角即可. 　　注意:不要忽略nα为轴线角的情况. 第一章　三角函数 高中同步 3.角 (n≠0)的终边所在象限的判断方法 (1)分类讨论法 根据角α的终边所在象限,写出角α的范围(用含有整数k的式子表示),由此求出角 的范围,然 后对整数k进行分类讨论,从而判断角 的终边所在象限. (2)几何法 先把各象限都分为n等份,再从x 轴非负半轴的上方起,按逆时针方向在这4n个区域内依次循 环标上一、二、三、四.角α是第几象限角,则标号为几的区域即为角 的终边所在区域. 第一章　三角函数 高中同步 典例 若α是第一象限角,则(1)2α;(2) ;(3) 各是第几象限角? 解析    (1)∵α是第一象限角, ∴k·360°<α<k·360°+90°(k∈Z).(*) ∴k·720°<2α<k·720°+180°(k∈Z). 故2α是第一或第二象限角,或是终边在y轴非负半轴上的角. (2)解法一:由(1)中(*)式得k·180°< <k·180°+45°(k∈Z). ①当k为偶数时,令k=2n(n∈Z), 得n·360°< <n·360°+45°(n∈Z), 这表明 是第一象限角; ②当k为奇数时,令k=2n+1(n∈Z), 得n·360°+180°< <n·360°+225°(n∈Z), 第一章　三角函数 高中同步 这表明 是第三象限角. 综合①②知, 是第一或第三象限角. 解法二:如图,将各象限都分成两等份,再从x轴非负半轴的上方起,按逆时针方向在各区域内 依次循环标上一、二、三、四,则标有“一”的区域(阴影部分,不包括边界)即为角 的终边 所在的区域,故 是第一或第三象限角.   (3)解法一:由(1)中(*)式得k·120°< <k·120°+30°(k∈Z). 第一章　三角函数 高中同步 ①当k=3m(m∈Z)时,m·360°< <m·360°+30°(m∈Z),这表明 是第一象限角. ②当k=3m+1(m∈Z)时,m·360°+120°< <m·360°+150°(m∈Z),这表明 是第二象限角. ③当k=3m+2(m∈Z)时,m·360°+240°< <m·360°+270°(m∈Z),这表明 是第三象限角. 综合①②③知, 是第一或第二或第三象限角. 解法二:如图,将各象限都分成3等份,再从x轴非负半轴的上方起,按逆时针方向在各区域内依 次循环标上一、二、三、四,则标有“一”的区域(阴影部分,不包括边界)即为角 的终边所 在的区域,故 是第一或第二或第三象限角. 第一章　三角函数 高中同步 易错警示 当α=45°时,2α=90°,90°角的终边在y轴的非负半轴上,它既不是第一象限角也不是第二象限 角. 第一章　三角函数 高中同步 $