专题1.2 任意角（高效培优讲义，6知识&9题型精讲+强化训练）高一数学北师大版必修第二册

本讲义聚焦任意角的核心知识点，系统梳理角的概念推广（正角、负角、零角）、象限角的定义与判断、终边相同的角的集合表示等内容，构建从基础概念到应用的学习支架，帮助学生形成连贯的知识脉络。 资料通过分层设计知识点与即学即练，结合典型题型（如终边相同角的判定、象限角范围表示），引导学生用数学眼光观察角的旋转规律，用数学语言精准表达集合关系，课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过变式练习查漏补缺，提升推理能力与应用意识。

专题1.2 任意角 教学目标 1.了解任意角的概念，能区分正角、负角与零角； 2.理解象限角的概念，能判断角所在的象限； 3.掌握终边相同的角的含义，能写出终边相同的角组成的集合。 教学重难点 1.重点 （1）终边相同的角：掌握其概念及集合表示形式； （2）象限角的概念：理解象限角的定义，能判断角所在的象限。 2.难点 （1）终边相同的角的集合应用：准确用集合表示指定终边对应的角； （2）特殊角的归属：区分终边在坐标轴上的角（非象限角）与象限角； （3）确定n分角终边所在象限。 知识点01 角的概念推广 （1）角的始边/终边定义： 若平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB，则形成角。其中，点O是角的 顶点 ，射线OA是角的 始边 ，射线OB是角的 终边 。 （2）角的分类： 数学上对角的规定：按 逆时针 方向旋转形成的角叫作 正角 ；按 顺时针 方向旋转形成的角叫作 负角 ；若一条射线没有作任何旋转，称它形成了 零角 （零角的始边与终边重合，若是零角，则）。 （3）若一个角的终边沿逆时针或顺时针方向旋转 360°的整数倍 ，那么所得新角的终边与原角的终边重合。 【即学即练】 1．射线绕端点逆时针旋转到达位置，由位置绕端点旋转到达位置，得，则射线旋转的方向与角度分别为（　　） A．逆时针， B．顺时针， C．逆时针， D．顺时针， 【答案】B 【分析】由题意可得，，从而可求出，进而可得答案. 【详解】由题意可得，设，则 ， 解得， 所以射线绕端点顺时针旋转， 故选：B 2．(24-25高一上·1.2任意角·)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角的定义求解即可. 【详解】将时钟拨快20分钟，分针顺时针旋转，所以分针转过的度数为． 故选：D. 知识点02 象限角的概念 在一个平面直角坐标系中：角的顶点在坐标原点，始边在轴的非负半轴；以角的终边（除端点外）在平面直角坐标系的位置对角分类： 角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角 ；如果角的终边在坐标轴上，这个角就不属于任何象限。 【即学即练】 3．若角与角的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据题意列出满足的条件进行判断. 【详解】由题知，则， 故角的终边所在的象限是第三象限． 故选：C 4．(24-25高一下·重庆字水中学·调研)已知角，则角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】由终边相同角和象限角的定义即可得解. 【详解】因为, 所以角与角终边相同， 又因为 所以角在第三象限. 故选：C. 知识点03 终边相同的角及其表示 一般地，所有与角终边相同的角（连同角在内），可构成集合： ，即任何一个与角终边相同的角，都可以表示为角与周角的整数倍的和。 【即学即练】 5．(24-25高一下·安徽蚌埠固镇二中、怀远三中、五河二中·月考)下列各角中，与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，结合选项逐个判断即可. 【详解】因为， ，. ， 所以与角终边相同的角是. 故选：A. 6．(22-23高一上·陕西宝鸡教育联盟·)与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用终边相同的角的表示方法，逐一检验即得. 【详解】因为与角终边相同的角是，， ，则与角终边相同的角是， 而其他选项的角都不能用类似的式子表示． 故选：C． 知识点04 象限角的集合表示 第一象限角的集合表示为： ； 第二象限角的集合表示为： ； 第三象限角的集合表示为： ； 第四象限角的集合表示为： 。 【即学即练】 7．(23-24高一上·江西景德镇第一中学·期末)终边在第四象限的角的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据任意角的定义即可写出答案. 【详解】终边在第四象限的角的集合是或. 故选：C. 8．(22-23高一下·广西钦州第四中学·月考)集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当取偶数时，确定角的终边所在的象限；当取奇数时，确定角的终边所在的象限，再根据选项即可确定结果． 【详解】集合中， 当为偶数时，此集合与表示终边相同的角，位于第一象限； 当为奇数时，此集合与表示终边相同的角，位于第三象限. 所以集合中角表示的范围为选项B中阴影所示. 故选：B. 知识点05 终边在坐标轴上的角的集合表示 终边落在轴的非负半轴上的角：； 终边落在轴的非正半轴上的角：； 终边落在轴上的角：； 终边落在轴的非负半轴上的角：； 终边落在轴的非正半轴上的角：； 终边落在轴上的角：； 终边落在坐标轴上的角：。 【即学即练】 9．终边与坐标轴重合的所有角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用任意角表示终边与轴重合的角，即可得. 【详解】终边与轴重合的角为，即， 终边与轴重合的角为，即，， 所以终边与坐标轴重合的所有角的集合是． 故选：B 知识点06 角终边对称或垂直问题（拓展） （1）若轴对称，则； （2）若的终边关于轴对称，则； （3）若的终边垂直，则。 【即学即练】 10．若与的终边关于直线对称，且，则 ． 【答案】 【分析】作出图示，根据终边相同的角的概念写出的表示. 【详解】如下图所示：设与的终边上各有一点，直线第一象限内的部分上有一点， 因为，所以，所以， 所以， 由终边相同的角的概念可知， 故答案为：. 题型01 任意角的概念 【典例1】钟表的分针在一个半小时内转了（    ） A．180° B． C．542° D． 【答案】D 【分析】根据分针旋转的圈数和方向求解. 【详解】分针是每小时顺时针旋转一圈（- ），所以根据任意角的定义：1个半小时旋转了 ； 故选：D. 【变式1】如图，圆的圆周上一点以为起点按逆时针方向旋转，转一圈，之后从起始位置转过的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点逆时针方向旋转一分钟转的度数再乘以即可求解. 【详解】因为点以为起点按逆时针方向旋转，转一圈， 所以点逆时针方向旋转一分钟转的度数为， 设之后从起始位置转过的角为， 故选：D． 【变式2】(20-21高一下·陕西咸阳百灵学校·月考)若将钟表调快5分钟，则分针转动角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据任意角的概念计算可得； 【详解】解：将钟表的分针拨快5分钟，则分针顺时针转过，则分针转动角为， 故选：C 【变式3】下列所示图形中，的是 ；的是 ．    【答案】 ①④ ②③ 【分析】根据角的终边与始边的位置依次去判断即可. 【详解】在①中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以； 在②中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以 ； 在③中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以； 在④中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以. 的是①④；的是②③. 故答案为：①④；②③. 【变式4】如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则 ． 【答案】． 【分析】由角的定义即可求解. 【详解】由角的定义可得． 故答案为： 题型02 求终边相同的角 【典例1】(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期中)下列角中，与终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】终边相同的角相差360°的整数倍，所以要找到一个正数，使得等于选项中的某个角. 【详解】因为， 所以与终边相同的角是. 故选：B. 【变式1】(24-25高一上·黑龙江·)下列各角中与437°角的终边相同的是（   ） A．67° B．77° C．107° D．137° 【答案】B 【分析】根据终边相同的角之间相差周角的整数倍，我们可以表示出与的角终边相同的角，分析题目中的四个答案，找出是否存在满足条件的值，即可得到答案． 【详解】与角的终边相同的角为，， 当时，，故B正确； 将A，C，D代入，，得出均不是整数，即其他三个选项均不合要求. 故选：B. 【变式2】与60°角终边相同的角可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用终边相同角的概念，结合弧度制可判断. 【详解】A,B弧度角度混用，错误. 与角终边相同的角可以表示，则C错误． 弧度制下表示为，则D正确. 故选：D. 【变式3】(23-24高一下·江西景德镇·期中)下列与角终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定与角终边相同的角为，，再依次判断每个选项即可. 【详解】与角终边相同的角为，， 对选项A：取，不是整数解，A错误； 对选项B：取，不是整数解，B错误； 对选项C：取，，C正确； 对选项D：取，不是整数解，D错误. 故选：C 【变式4】(23-24高一上·湖南株洲醴陵金鹰高级中学·月考)下列各角中，与角终边重合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用终边相同的角的集合，即可求解. 【详解】与角终边重合的角的集合是， 当时，. 故选：D 题型03 根据图形区域写出角范围 【典例1】已知，则角的终边落在的阴影部分是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令即可判断出正确选项. 【详解】令，得，则B选项中的阴影部分区域符合题意. 故选：B． 【变式1】(21-22高一·5.1.1任意角-·)集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°,k∈Z}中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用赋值法来求得正确答案. 【详解】当k＝2n，n∈Z时,n360°＋45°≤α≤n360°＋90°，n∈Z； 当k＝2n＋1，n∈Z时，n360°＋225°≤α≤n360°＋270°，n∈Z. 故选：C 【变式2】(24-25高一下·安徽蚌埠固镇县私立行知高级中学·月考)已知角的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围 . 【答案】 【分析】根据题意先求解终边在角的终边所在直线上的角的集合，再结合图形即可求解. 【详解】终边在角的终边所在直线上的角的集合， 终边在角的终边所在直线上的角的集合， 因此，终边在图中阴影部分内的角的取值范围为. 故答案为：. 【变式3】如图所示，终边落在阴影部分的角的取值集合为 ． 【答案】 【分析】由已知，分别表示出射线OA和射线OB终边所表示的角度，然后根据题意表示阴影部分的范围即可. 【详解】终边落在射线OA上的角的集合是，终边落在射线OB上的角的集合是，所以终边落在阴影部分(含射线OA，不含射线OB)的角的集合是. 故答案为：. 【变式4】(21-22高一·7.1.1任意角（备作业）-·)如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是 . 【答案】{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z} 【分析】写出终边在阴影部分的边缘的角即得解. 【详解】解：终边落在阴影部分第二象限最左边的角为, 终边落在阴影部分第四象限最左边的角为. 所以终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}. 故答案为：{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z} 题型04 终边与在坐标轴上的角 【典例1】若角的终边相同，则的终边在（    ） A．x轴的非负半轴上 B．轴的非正半轴上 C．轴的非负半轴上 D．轴的非正半轴上 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用终边相同的角的特征求解判断. 【详解】由角的终边相同，则，即， 所以的终边在轴的非负半轴上. 故选：A 【变式1】终边与坐标轴重合的角α的集合是(　　) A．{α|α＝k·360°，k∈Z} B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z} C．{α|α＝k·180°，k∈Z} D．{α|α＝k·90°，k∈Z} 【答案】D 【详解】终边在坐标轴上的角为90°或90°的倍数角，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z},故选D. 【变式2】有一个小于的正角，这个角的6倍的终边与x轴的非负半轴重合，则这个角可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由题设知且，结合即可判断的可能值. 【详解】由题意，且，则，又， ∴时，；时，；时，；时，；时，； 故选：ACD 【变式3】分别写出终边在y轴非负半轴､y轴非正半轴和y轴上的角的集合. 【答案】见解析 【分析】根据终边相同的角的集合表示及集合的并集，即可求出. 【详解】终边在y轴非负半轴上的角的集合. 终边在y轴非正半轴上的角的集合. 终边在y轴上的角的集合. 【变式4】分别写出终边在x轴正半轴、x轴负半轴和x轴上的角所对应的集合． 【答案】答案见解析 【分析】根据终边相同的角的表示得出答案即可； 【详解】解：x轴正半轴； x轴负半轴； x轴上的角 题型05 求已知角所在象限 【典例1】若与角的终边相同，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】根据已知有，变形即可得对应象限. 【详解】因为与角的终边相同，所以， 则，所以是第三象限角． 故选：C 【变式1】(24-25高一下·辽宁大连第八中学·月考)的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据终边相同的角判断即可. 【详解】且角是第二象限角， 角的终边在第二象限. 故选：B 【变式2】(24-25高一上·安徽铜陵·期末)的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据终边相同的角和象限角的定义计算. 【详解】因为，易知的终边在第二象限， 故角的终边在第二象限. 故选：B. 【变式3】(22-23高一下·上海嘉定区中光高级中学·期中)若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据象限角的概念判断即可. 【详解】若是第一象限角，则， ，则是第四象限角，故D错误； ，则是第一象限角，故A错误； ，则是第二象限角，故B错误； ，则是第三象限角，故C错误. 故选：C. 【变式4】(24-25高一上·重庆渝北中学·)已知角，则角的终边落在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】求出与的角终边相同，从而得到得到答案. 【详解】，故与的角终边相同， 其中在第二象限，故角的终边落在第四象限. 故选：B. 题型06 由已知角所在的象限确定某角的范围 【典例1】若为第二象限角，则的终边所在的象限是（    ） A．第二象限 B．第一、二象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】D 【分析】根据给定条件，由的范围求出的范围，再分奇偶作答. 【详解】因为为第二象限角，则， 因此， 而为偶数，当为奇数时，为奇数，则为第四象限角， 当为偶数时，为偶数，则为第二象限角， 所以的终边所在的象限是第二、四象限. 故选：D 【变式1】(21-22高一·7.1.1任意角-·)（多选）若是第三象限的角，则可能是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 【答案】AC 【分析】根据角限角的定义得出角的范围，再运用不等式的性质可得选项. 【详解】解：由于是第三象限的角，故， 所以， 所以. 当为偶数时，为第一象限角； 当为奇数时，为第三象限角. 所以可能是第一象限角，也可能是第三象限角. 故选：AC. 【变式2】若为第一象限角，则的终边所在的象限可能是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】AC 【分析】由题设，进而求的范围，即可判断终边所在的象限. 【详解】由题设，，， ∴，令， ∴，故的终边所在的象限可能是第一、三象限. 故选：AC 【变式3】若α是第二象限角，则180°－α是第 象限角． 【答案】一 【分析】利用象限角的定义进行求解. 【详解】若α是第二象限角，则，， 所以，， 即，， 所以180°－α是第一象限角． 故答案为：一. 【变式4】(19-20高一·内蒙古呼和浩特金山学校·月考)若是第四象限，则是第 ． 【答案】三象限角 【分析】根据对称性可知是第一象限角，然后再根据任意角的定义,即可得到所在象限. 【详解】因为是第四象限的角，所以是第一象限角， 则由任意角的定义知，是第三象限角． 故答案为：三象限角． 题型07 确定n分角所在象限 【典例1】(22-23高一下·上海大同中学·期中)已知是第一象限角，那么（    ） A．是第一、二象限角 B．是第一、三象限角 C．是第三、四象限角 D．是第二、四象限角 【答案】B 【分析】由是第一象限角，可得，，进而得到，，进而求解. 【详解】因为是第一象限角， 所以，， 所以，， 当为偶数时，是第一象限角， 当为奇数时，是第三象限角， 综上所述，第一、三象限角. 故选：B. 【变式1】(21-22高一上·河南安阳高级中学·期中)若是钝角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】由求出，结合不等式性质即可求解. 【详解】，，,在第四象限. 故选：D 【变式2】若α是第一象限的角，则是（    ） A．第一象限角 B．第四象限角 C．第二或第三象限角 D．第二或第四象限角 【答案】D 【分析】根据题意求出的范围即可判断. 【详解】由题意知，，， 则，所以，． 当k为偶数时，为第四象限角；当k为奇数时，为第二象限角． 所以是第二或第四象限角. 故选：D. 题型08 终边在某直线上的角的表示 【典例1】(23-24高一上·河北石家庄河北师大附中·月考)若角的终边在直线上，则角的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角的终边在直线上，利用终边相同的角的写法，考虑角的终边的位置的两种情况，即可求出角的集合. 【详解】由题意知角的终边在直线上， 故或， 即或， 故角的取值集合为， 故选：D 【变式1】终边落在直线上的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定的倾斜角为，再分当终边在第一和三象限时角度的表达式再求解即可. 【详解】易得的倾斜角为，当终边在第一象限时，，；当终边在第三象限时，，．所以角的集合为． 故选：B 【变式2】(20-21高一下·宁夏银川三沙源上游学校·期中)终边在直线上的角的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据终边相同的角的定义即可表示. 【详解】终边在直线上的角可表示为， 故角的取值集合是. 故选：C. 【变式3】(21-22高一·7.1.1任意角-·)求终边落在直线上的角的集合． 【答案】{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}． 【分析】根据终边相同的角的集合的表示可得答案. 【详解】解：终边落在射线上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}， 终边落在射线上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}， 所以终边落在直线y＝x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋（2k＋1）·180°，k∈Z} ＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}． 所以终边落在直线上的角的集合为{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}． 题型09 两角终边对称问题（拓展题型） 【典例1】若角与的终边分别关于x轴、y轴、原点、直线对称，则角与分别具有怎样的等量关系？ 【答案】答案见解析 【分析】根据终边相同角的表示即可得出结果. 【详解】解：若角与的终边关于x轴对称， 则角与的等量关系是，． 若角与的终边关于y轴对称， 则角与的等量关系是， 若角与的终边关于原点对称， 则角与的等量关系是． 若角与的终边关于直线对称， 则角与的等量关系是，． 1．设集合，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形表达式为相同的形式，利用集合间的关系，比较可得． 【详解】由题意得 ， 即M是由的奇数倍构成的集合， 又 ， 即N是由的整数倍构成的集合， 则， 故选：C． 2．(21-22高一·5.1.1任意角（学案）-·)经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是（   ）. A．60°，720° B．－60°，－720° C．－30°，－360° D．－60°，720° 【答案】B 【分析】根据旋转方向确定角的正负，由旋转的大小确定角的绝对值，即可得解. 【详解】钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的， 而×360°＝60°，2×360°＝720°， 故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°. 故选：B 3．(23-24高一上·江苏徐州睢宁县树人高级中学·月考)下列各角，与角终边相同的角是（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用终边相同的角的关系，逐项判断即得. 【详解】对于A，， 角与角终边相同，A是； 对于C，角是第二象限角，角是第四象限角，C不是； 对于B，，即角与角终边相同，B不是； 对于D，角是第三象限角，角是第四象限角，D不是. 故选：A 4．角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】分析可知的终边与的终边相同，结合象限角的定义分析判断. 【详解】因为，可知的终边与的终边相同， 且为第三象限角，所以角是第三象限角. 故选：C. 5．若与的终边互为反向延长线，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可得，，进而求解. 【详解】因为与的终边互为反向延长线， 所以，， 即，. 故选：D. 6．(24-25高一上·天津双港中学·期中)如图，终边落在阴影部分（含边界） 的角的集合是    【答案】 【分析】根据图形分别表示终边为，的角的集合即可得到结果. 【详解】由图可知，终边为的角的集合为，终边为的角的集合为， 故终边落在阴影部分（含边界） 的角的集合是. 故答案为：. 7．(21-22高一上·湖北武汉中学·月考)集合中，角所表示的取值范围（阴影部分）正确的是 （填序号）. 【答案】③ 【分析】根据集合直接判断即可. 【详解】当时，集合，当时，集合， 则可得出角所表示的取值范围为③. 故答案为：③. 8．如图所示，终边在阴影区域内（含边界）的角的集合为 ． 【答案】 【分析】求出终边在直线OM上、直线ON上的角的集合进行求解即可. 【详解】终边在直线OM上的角的集合为： ． 同理可得终边在直线ON上的角的集合为， 所以终边在阴影区域内（含边界）的角的集合为． 故答案为： 9．(25-26高一上·四川广元外国语学校高中分校·)是第几象限角（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】由即可得到终边相同的角. 【详解】，且是第三象限角，则是第三象限角. 故选：C 10．(21-22高一下·河南南阳·期末)已知角，则角的终边落在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】利用象限角的定义判断可得出结论. 【详解】因为，而是第三象限角，故角的终边落在第三象限. 故选：C. 11．(21-22高一下·河南南阳第一中学·月考)若，则的终边在（   ） A．第二或第三象限 B．第一或第三象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 【答案】B 【分析】分k为奇数和偶数讨论可得. 【详解】当k为奇数时，记，则，此时为第三象限角；当k为偶数时，记，则，此时为第一象限角. 故选：B 12．若，则的终边在（    ） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】A 【分析】分和讨论可得角的终边所在的象限. 【详解】解：因为，所以 当时，，其终边在第三象限； 当时，，其终边在第一象限. 综上，的终边在第一、三象限. 故选：A. 13．(21-22高一·5.1.1任意角-·)的终边落在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】找到与终边相同的角，且能看出在第几象限. 【详解】因为－1 060°＝－3×360°＋20°，所以－1 060°的终边与20°的终边相同，故落在第一象限． 故选：A 14． 所在象限是（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】由，根据终边相同的角的表示方法可得出答案. 【详解】，所以所在象限与所在的象限相同,即第一象限， 故选：A. 15．(24-25高一下·陕西汉中部分学校·)若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】根据象限角的定义及其范围，进行计算即可. 【详解】因为是第二象限角， 所以， 所以 从而， 所以是第四象限角． 故选：D. 16．(23-24高一上·山东枣庄薛城区·期末)已知集合钝角，第二象限角，小于的角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据钝角的范围，即可得出选项C正确，再由第二象限角的范围，即可判断出选项ABD的正误，从而得出结果. 【详解】因为钝角大于，且小于的角，一定是第二象限角，所以，故选项C正确， 又第二象限角的范围为， 不妨取，此时是第二象限角，但，所以选项ABD均错误， 故选：C. 17．(16-17高一下·宁夏银川一中·期中)已知α锐角，那么2α是（    ） A．小于180°的正角 B．第一象限角 C．第二象限角 D．第一或二象限角 【答案】A 【分析】α锐角，0°<α<90°，进而得到0°<2α<180°. 【详解】∵α锐角，∴0°<α<90°，∴0°<2α<180°， 故选：A． 18．若角的终边与240°角的终边相同，则角的终边所在象限是（    ） A．第二或第四象限 B．第二或第三象限 C．第一或第四象限 D．第三或第四象限 【答案】A 【分析】写出的表达式，计算后可确定其终边所在象限． 【详解】由题意，所以，， 当为偶数时，在第二象限，当为奇数时，在第四象限． 故选：A． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 任意角 教学目标 1.了解任意角的概念，能区分正角、负角与零角； 2.理解象限角的概念，能判断角所在的象限； 3.掌握终边相同的角的含义，能写出终边相同的角组成的集合。 教学重难点 1.重点 （1）终边相同的角：掌握其概念及集合表示形式； （2）象限角的概念：理解象限角的定义，能判断角所在的象限。 2.难点 （1）终边相同的角的集合应用：准确用集合表示指定终边对应的角； （2）特殊角的归属：区分终边在坐标轴上的角（非象限角）与象限角； （3）确定n分角终边所在象限。 知识点01 角的概念推广 （1）角的始边/终边定义： 若平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB，则形成角。其中，点O是角的________，射线OA是角的________，射线OB是角的________。 （2）角的分类： 数学上对角的规定：按________方向旋转形成的角叫作________；按________方向旋转形成的角叫作________；若一条射线没有作任何旋转，称它形成了________（零角的始边与终边重合，若是零角，则）。 （3）若一个角的终边沿逆时针或顺时针方向旋转________________，那么所得新角的终边与原角的终边重合。 【即学即练】 1．射线绕端点逆时针旋转到达位置，由位置绕端点旋转到达位置，得，则射线旋转的方向与角度分别为（　　） A．逆时针， B．顺时针， C．逆时针， D．顺时针， 2．(24-25高一上·1.2任意角·)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数为（    ） A． B． C． D． 知识点02 象限角的概念 在一个平面直角坐标系中：角的顶点在坐标原点，始边在轴的非负半轴；以角的终边（除端点外）在平面直角坐标系的位置对角分类：________________________________；如果角的终边在坐标轴上，这个角就不属于任何象限。 【即学即练】 3．若角与角的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．(24-25高一下·重庆字水中学·调研)已知角，则角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 知识点03 终边相同的角及其表示 一般地，所有与角终边相同的角（连同角在内），可构成集合：________________________，即任何一个与角终边相同的角，都可以表示为角与周角的整数倍的和。 【即学即练】 5．(24-25高一下·安徽蚌埠固镇二中、怀远三中、五河二中·月考)下列各角中，与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 6．(22-23高一上·陕西宝鸡教育联盟·)与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 知识点04 象限角的集合表示 第一象限角的集合表示为：________________________________________________； 第二象限角的集合表示为：________________________________________________； 第三象限角的集合表示为：________________________________________________； 第四象限角的集合表示为：________________________________________________。 【即学即练】 7．(23-24高一上·江西景德镇第一中学·期末)终边在第四象限的角的集合是（ ） A． B． C． D． 8．(22-23高一下·广西钦州第四中学·月考)集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（      ） A． B． C． D． 知识点05 终边在坐标轴上的角的集合表示 终边落在轴的非负半轴上的角：________________________________； 终边落在轴的非正半轴上的角：________________________________； 终边落在轴上的角：________________________________； 终边落在轴的非负半轴上的角：________________________________； 终边落在轴的非正半轴上的角：________________________________； 终边落在轴上的角：________________________________； 终边落在坐标轴上的角：________________________________。 【即学即练】 9．终边与坐标轴重合的所有角的集合是（    ） A． B． C． D． 知识点06 角终边对称或垂直问题（拓展） （1）若轴对称，则________________________________； （2）若的终边关于轴对称，则________________________________； （3）若的终边垂直，则________________________________。 【即学即练】 10．若与的终边关于直线对称，且，则 ． 题型01 任意角的概念 【典例1】钟表的分针在一个半小时内转了（    ） A．180° B． C．542° D． 【变式1】如图，圆的圆周上一点以为起点按逆时针方向旋转，转一圈，之后从起始位置转过的角是（    ） A． B． C． D． 【变式2】(20-21高一下·陕西咸阳百灵学校·月考)若将钟表调快5分钟，则分针转动角为（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列所示图形中，的是 ；的是 ．    【变式4】如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则 ． 题型02 求终边相同的角 【典例1】(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期中)下列角中，与终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25高一上·黑龙江·)下列各角中与437°角的终边相同的是（   ） A．67° B．77° C．107° D．137° 【变式2】与60°角终边相同的角可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3】(23-24高一下·江西景德镇·期中)下列与角终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【变式4】(23-24高一上·湖南株洲醴陵金鹰高级中学·月考)下列各角中，与角终边重合的是（    ） A． B． C． D． 题型03 根据图形区域写出角范围 【典例1】已知，则角的终边落在的阴影部分是（    ） A． B． C． D． 【变式1】(21-22高一·5.1.1任意角-·)集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°,k∈Z}中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是（   ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25高一下·安徽蚌埠固镇县私立行知高级中学·月考)已知角的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围 . 【变式3】如图所示，终边落在阴影部分的角的取值集合为 ． 【变式4】(21-22高一·7.1.1任意角（备作业）-·)如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是 . 题型04 终边与在坐标轴上的角 【典例1】若角的终边相同，则的终边在（    ） A．x轴的非负半轴上 B．轴的非正半轴上 C．轴的非负半轴上 D．轴的非正半轴上 【变式1】终边与坐标轴重合的角α的集合是(　　) A．{α|α＝k·360°，k∈Z} B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z} C．{α|α＝k·180°，k∈Z} D．{α|α＝k·90°，k∈Z} 【变式2】有一个小于的正角，这个角的6倍的终边与x轴的非负半轴重合，则这个角可以为（    ） A． B． C． D． 【变式3】分别写出终边在y轴非负半轴､y轴非正半轴和y轴上的角的集合. 【变式4】分别写出终边在x轴正半轴、x轴负半轴和x轴上的角所对应的集合． 题型05 求已知角所在象限 【典例1】若与角的终边相同，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式1】(24-25高一下·辽宁大连第八中学·月考)的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】(24-25高一上·安徽铜陵·期末)的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3】(22-23高一下·上海嘉定区中光高级中学·期中)若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】(24-25高一上·重庆渝北中学·)已知角，则角的终边落在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型06 由已知角所在的象限确定某角的范围 【典例1】若为第二象限角，则的终边所在的象限是（    ） A．第二象限 B．第一、二象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【变式1】(21-22高一·7.1.1任意角-·)（多选）若是第三象限的角，则可能是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 【变式2】若为第一象限角，则的终边所在的象限可能是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3】若α是第二象限角，则180°－α是第 象限角． 【变式4】(19-20高一·内蒙古呼和浩特金山学校·月考)若是第四象限，则是第 ． 题型07 确定n分角所在象限 【典例1】(22-23高一下·上海大同中学·期中)已知是第一象限角，那么（    ） A．是第一、二象限角 B．是第一、三象限角 C．是第三、四象限角 D．是第二、四象限角 【变式1】(21-22高一上·河南安阳高级中学·期中)若是钝角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式2】若α是第一象限的角，则是（    ） A．第一象限角 B．第四象限角 C．第二或第三象限角 D．第二或第四象限角 题型08 终边在某直线上的角的表示 【典例1】(23-24高一上·河北石家庄河北师大附中·月考)若角的终边在直线上，则角的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【变式1】终边落在直线上的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式2】(20-21高一下·宁夏银川三沙源上游学校·期中)终边在直线上的角的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【变式3】(21-22高一·7.1.1任意角-·)求终边落在直线上的角的集合． 题型09 两角终边对称问题（拓展题型） 【典例1】若角与的终边分别关于x轴、y轴、原点、直线对称，则角与分别具有怎样的等量关系？ 1．设集合，那么（   ） A． B． C． D． 2．(21-22高一·5.1.1任意角（学案）-·)经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是（   ）. A．60°，720° B．－60°，－720° C．－30°，－360° D．－60°，720° 3．(23-24高一上·江苏徐州睢宁县树人高级中学·月考)下列各角，与角终边相同的角是（   ）. A． B． C． D． 4．角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 5．若与的终边互为反向延长线，则有（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高一上·天津双港中学·期中)如图，终边落在阴影部分（含边界） 的角的集合是    7．(21-22高一上·湖北武汉中学·月考)集合中，角所表示的取值范围（阴影部分）正确的是 （填序号）. 8．如图所示，终边在阴影区域内（含边界）的角的集合为 ． 9．(25-26高一上·四川广元外国语学校高中分校·)是第几象限角（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 10．(21-22高一下·河南南阳·期末)已知角，则角的终边落在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．(21-22高一下·河南南阳第一中学·月考)若，则的终边在（   ） A．第二或第三象限 B．第一或第三象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 12．若，则的终边在（    ） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 13．(21-22高一·5.1.1任意角-·)的终边落在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14． 所在象限是（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．(24-25高一下·陕西汉中部分学校·)若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 16．(23-24高一上·山东枣庄薛城区·期末)已知集合钝角，第二象限角，小于的角，则（    ） A． B． C． D． 17．(16-17高一下·宁夏银川一中·期中)已知α锐角，那么2α是（    ） A．小于180°的正角 B．第一象限角 C．第二象限角 D．第一或二象限角 18．若角的终边与240°角的终边相同，则角的终边所在象限是（    ） A．第二或第四象限 B．第二或第三象限 C．第一或第四象限 D．第三或第四象限 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $