7.1.2正弦函数的性质（第2课时）（教学课件）高一数学沪教版必修第二册

第七章 三角函数 7.1 正弦函数的图像与性质 7.1.2 正弦函数的性质（第2课时） 学 习 目 标 1 2 3 能从单位圆定义出发，推导正弦函数的值域为，掌握其取得最大、最小值的自变量取值规律； 熟练掌握型函数的最值求解方法，能通过辅助角公式将型函数转化为基本型； 在各类三角函数最值求解中，通过“未知→已知”的转化，熟练运用转化与化归思想，提升数学运算能力和问题转化能力. 正弦函数的单位圆定义： 新课引入 ，你知道正弦函数的单位圆定义是什么吗？正弦函数的最小正周期是多少？ 最小正周期： ，研究一个周期内的性质，推广到全体实数 角的终边与单位圆交于点,则 结合正弦函数的单位圆定义，点的纵坐标能取到哪些值？是否有最大值和最小值？ 这就是我们本节课要探究的核心问题——正弦函数的值域与最值. 新知探究 探究一：正弦函数的值域与最值 观察视频中单位圆的动态旋转动画，想想点的纵坐标的取值范围是什么？ 由及单位圆中，得正弦函数的值域： 结合正弦函数的周期性，推广到全体实数，当和时，的取值规律是什么？ ①的值域为 ②最大值为，最小值为 当且仅当时，取得最大值； 当且仅当时，取得最小值。 新知探究 如图，结合正弦函数的周期性（）和正弦函数的图像特征，可知在全体实数范围内： 即时训练 1.下列说法正确的是（ ） A. 在上的最大值为，最小值为 B. 当时，取得最小值 C. 的值域为，无法取到端点值 D. 当时，取最大值，故所有最大值点为 A 错误：在上的最小值为，非； B 正确. C 错误：的值域为，当时能取到； D 错误：忽略正弦函数的周期性，最大值点为. B 知识小结 正弦函数的值域与最值 （的值域： 当且仅当时，取得最大值； 当且仅当时，取得最小值。 （2）最值 典例分析 例1 求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时所有 的值： 【分析】本题通过换元法、辅助角公式、配方法、降幂公式等手段，将不同形式的三角函数转化为基本正弦函数或二次函数，再利用其值域性质求解最值及对应自变量. 解： (1) 令 ，由 ，得 能取遍所有实数 因为 ， 的最大值是 1，最小值是 （； （2） ； （3； （. 所以 ， 的最大值是 2，最小值是 . 典例分析 当 取得最大值 2 时， ()，即 而当 取得最小值 时， ()，即 (2) 因为，所以的最大值是，此时 典例分析 即； 而的最小值是，此时 即． （3）令，由，得，则 于是，的最大值是，此时，，即 因为时， 所以，从而． 典例分析 而的最小值是，此时，，即 （ 因为 ，所以 的最大值是 4 此时 ，即 ； 而 的最小值是 0，此时 即 . 探究二：型函数的最值 结合以上例题中求解最值得过程，你能得出 型函数的最值吗？ 对于 ，它的值域是什么？ 新知探究 ① 的值域为 ，最大值 ，最小值 ； 当 时， 取最大值， 取最小值； 当 时，最值取反. ② 对于 令 ，则 ，函数转化为 值域仍为 ； 典例分析 例2 【分析】将矩形的边长用三角函数表示，再利用二倍角公式化简面积表达式，最后结合正弦函数的有界性求解最值. 则 ，，而 解：连接 . 设 ，，矩形 的面积为 如图，在一个半径为 的半圆形铁板中，截取一块矩形 ，使得矩形的顶点 、 在半圆的直径上，、 在半圆弧上. 问：如何截取矩形 ，使其面积达到最大值？并求出这个最大值. 典例分析 因此，在半圆形铁板中应截取 ， 这时矩形 的面积达到最大值 由此可知，当且仅当 时 矩形 的面积 有最大值 题型1 正型Asin(ωx+φ)最值求解及取点题 最大值点取值集合：； 最小值：，此时，即，代入得： 最小值点取值集合： 1.求的最值、值域，并写出取最值时的取值集合。 【分析】利用整体换元法，令，将复合函数转化为，再结合正弦函数性质求解. 解： 令，，，则函数化为。 由，得，因此值域为； 最大值：，此时，即，代入得： 题型2型辅助角化简求最值题 2.求的值域、最值，并写出取最小值时的取值集合。 【分析】将正余弦线性组合化为型，解题关键是准确化简，再结合型函数的最值规律求解. 解：，，则 ，取，因此： 令，则，，故： 值域为； 求最小值点，此时，即，代入得： 最小值点取值集合： 题型3 三角恒等变换化简求最值题 1.求的值域和最值. 【分析】先化简再求最值，解题关键是灵活运用同角三角函数关系、二倍角公式将复杂三角式化为型. 解：由二倍角公式：，，因此： ，，，，取，则： 令，则，，故： 值域为； 最大值：，最小值： 题型4 几何图形中三角函数周长 4.如图, 矩形 的四个顶点分别在矩形 的四条边上, , . 如果 与 的夹角为 , 那么当 取何值时, 矩形 的周长最大? 【分析】将外围矩形周长表示为含的三角函数，用辅助角公式化简后求最大值. 解：设矩形的长、宽分别为, . 周长函数： 当时，最大，此时，即 当时，矩形的周长最大. 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感谢聆听! 课堂小结 正弦函数的性质 1 知识点回顾 2 易错点警示 3 解题技巧 沪教版 · 必修二 核心知识梳理 1. 正弦函数 y = sinx 的最值 定义域： R 值域： [-1, 1] 最大值： 当 x = 2kπ + π 2 (k ∈ Z) 时，ymax = 1 最小值： 当 x = 2kπ - π 2 (k ∈ Z) 时，ymin = -1 2. 函数 y = Asin(ωx + φ) 的最值 (A ≠ 0) 最大值为 |A|， 最小值为 -|A| 值域为 [-|A|, |A|] 注：此处假设定义域为 R。若定义域受限，需结合图像分析。 易错点警示 ⚠️ 忽视定义域限制 当 x 在特定区间（如闭区间）上时，最大值不一定是 A，最小值不一定是 -A。 对策： 必须先求出整体 t = ωx + φ 的取值范围，再结合正弦曲线图像判断。 ⚠️ 忽略参数 A 的符号 当 A < 0 时，最值情况会反转。 例子： 若 y = -2sinx，当 sinx = 1 时，y 取最小值 -2。 ⚠️ 求最值点集合格式错误 求取最大/最小值时的 x 集合时，常忘记加上周期项 k ∈ Z。 提醒： 答案应写成集合形式 {x | x = ...}。 解题模型与技巧 模型一：整体换元法 核心方法 处理 y = Asin(ωx + φ) 在区间 [a, b] 上的最值问题。 Step 1: 令 t = ωx + φ Step 2: 由 x ∈ [a, b]，求出 t 的取值范围 [m, n] Step 3: 转化为 y = Asint 在 t ∈ [m, n] 上的最值问题 模型二：数形结合 直观理解 对于含参数或定义域复杂的问题，画出函数图像是避免错误的最佳方式。 利用“五点法”快速草图 标出定义域边界 观察最高点和最低点位置 $